I numeri complessi
ℓ = ℂ = {ℝ2 | i + i x}
z1 = (x1, y1) z2 = (x2, y2)
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2)
z1 · z2 = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)
Se z = (x, 0) allora z = x(0, 1) è una coppia notevole poiché se (0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) == (-1, 0) = −unità immaginaria ⟹ z = 2 = -1
Forma algebrica dei numeri complessi
Se consideriamo z = (x; y) (x; 0) + (0; y)(x; 0) + (0; 1)(y; 0)
z = x + y ⟹ forma algebrica dei numeri complessi ℂ = {x + y x, y ∊ ℝ} ⊃ {x + y; y = 0} = ℝ
z = x + y = Re z + y
Definizioni e proposizioni
Definizione: Il coniugato z di z è z = x - y
Proposizione: z è reale se e solo se z = z ⟹ z ∊ real
Osservazione: z = 0 se (x = 0 y = 0)
Operazioni con la forma algebrica
Risolviamo le operazioni tramite la forma algebrica:
z1 + z2 = 1 - + 3⁄3 - -1(-1⁄3) = 1 - 1 = 4⁄3
z1 · z2 = (1 - ) ·1⁄3 = -⁄3 + 1⁄3 {z1 = 1 - z2 = -⁄3}
I numeri complessi ℂ = ℝ = (ℝ, i + j × ℝ)
z1 = (x1; y1) z2 = (x2; y2)
z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2)
z1 · z2 = (x1 · x2 - y1 · y2; x1 · y2 + x2 · y1)
Se z = (x; 0) allora z = x(0; 1) è una coppia notevole […] prendere se (0; 1)2 = (0; 1)(0; 1) == (-1; 0) = unità immaginaria = j
Se consideriamo z̅ = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x; 0) + (0; 1)(y; 0)
z = x + jy ⇒ forma algebrica dei numeri complessi ℂ = {x + jy | x, y ∈ ℝ} ⊃ {x + jy; y = 0} = ℝ
z = x + jy = Re z + j · Im₀
Definizione: Il coniugato z̅̅ di z è z̅̅ = x - jy
Proposizione: z̅ è reale se e solo se z = z̅̅ ⇔ z̅ è real […] ⇔ z̅̅ = z̅̅̅
Osservazione: z̅̅ = 0 se {x = 0 y = 0}
Operazioni con la forma algebrica
Svolgiamo le operazioni tramite la forma algebrica:
z₁ + z₂ = (…3) = 1 - j (..1/3) = 1 - (1/3) = 1 - (1/3) = 4/3 j
z̅₁ · z̅₂ = (1 - j) … = ̅₁ - ̅₁ = -1/3 = 1 - j …(1/3)
z̅₁ = …-1 = -1 - j
z̅₂ = - …(1/3)
z̅² = (1 - j)² = 1 + (-1) - 2j
Il piano di Gauss
Il piano contenente i numeri complessi è chiamato piano di Gauss.
(0 | 1) j0-jasse immaginariox(asse reale)
z̅(x; -y)
Rappresentiamo z̄ = 1 - j
z̄ = x + jy
x = 1 y = j
z̄(1 - j)
z̅ è il simmetrico rispetto all'asse dell'x. Se z = z(x; y) allora z̅ = (x; -y)
Def: |z| = √x² + y²
β ∈ℝ+ β > 0 |z| = β
|z| è il modulo di un numero complesso ed è la distanza del punto rappresentante z̄ dall'origine. Se z̄ ∈ ℝ e quindi y = 0 allora |z| = |x|
L’angolo θ è detto argomento di z̄: θ ≡ arg z̄ e (x; y) sono le coordinate polari.
Diagramma:
z ≡ |z| = u
Prendendo in considerazione z = x + jy e z̅ = x - jy
z̄ = (x + jy)(x - jy) = x² + y² ↘ richiama il modulo |z| = √x² + y²
Avendo z ≠ 0 il reciproco
x + jy x - jy = x - jy x² + y² parte reale
Es. dividi la parte reale da quella immaginaria:
z̄ = √3 - 1 - 1 - √3 = 1 - j
-1 - j = - √3 - 1 - j(x) = √3 - j - j - 1 = 1 - 0.5 j + 1
= (√3 - 1)( - √3 - 1)
Rappresentiamo: z = 1 + j
L'argomento principale in questo caso è pi/2
z ∈ ℂ \ {0} ⇒ Arg z ∈ ]-pi; pi]
Rappresenta: z = 1 - j
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