Analisi matematica 1

I NUMERI COMPLESSI

ℓ = ℚ_i = {ℝ² ∣i}

• ℻ⁱ = ℻ * ℻_i, ℻ = (x₁, y₁)
• ℻₂ + ℻ⁱ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
• ℻ * ℻ⁱ = (x₁ * x₂ - y₁ * y₂, x₁ * y₂ + x₂ * y₁)

Se ℻̅ = (x,0) allora ℻̅ = x

(0,1) è una coppia notevole perché se (0,1)² = (0,-1) (0;1) = - (1 - 1;0) = -

UNITA IMMAGINARIA

ℓ₁ * ℓ₂ = j

Se consideriamo ℻ = (x_i y_i) = (x;0) + (0;y)

FORMA ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI

℻ = x + jy

{x,y ∈ ℝ} > {x + jy: y = 0} = ℝ

℻ = x + jy = Re ℻ - jIm ℻

DEFI: il coniugato ℻ di ℻̅ è ℻ di x - jy

PROPOSIZIONE: ℻̅ è reale se e solo se = ℻

ℓ̅ è real ⇔ ℻̅ = ℻

OSS: ℻ = 0 se: {x = 0; y = 0}

Svolgiamo le operazioni tramite la forma definitiva:

• ℻₁ + ℻₂ = 1 - j¹ - j(−¹) - 1/3
• -1 (1/3) = - 1. 1
• -1^℻₁ - j = (1-j). 1/3 = - 1/3

℻₁ = 1 - j

℻₂ = - j/3

z₁ = (1-i5)

̅z₂ = (1-i5)² = 1 + (-1) - 2i

Il piano contenente numeri complessi è chiamato PIANO di GAUSS

̅z: (x₁, y_i)

asse (immaginario)

̅z è il simmetrico rispetto all’asse delle x.

se z = (x; y) allora ̅z = (x; -y)

def) |z| = √(x² + y²) β ∈ ℜ⁺ β ≥ 0

1. |z| = β

z è il modulo di un numero complesso ed è la distanza del punto rappresentante z dall’origine

se z è reale e quindi y = 0 allora |z| = |x|

l’angolo θ è detto argomento di z: θ = argz

e (x; y) sono le coordinate polari

disegnamo:

• z ∈ ℂ
• |z| = u

prendendo in considerazione z = x + sy e ̅z = x - sy

̅z: (x + sy) (x - sy) = x² + y² richiamiamo il modulo |z|= √x² + y²

avendo z = 0 il reciproco 1/z = x - sy

es) dividi la parte reale da quella immaginaria:

̅z = (√3 - i) + (√3 - i) = x² + y² richiami il **modulo** di √x² - 1√x²

= (1/2) x - 1

Imp::

^K     0     1     …     m-1

Rig.     ^Θ⁄_m     ^2π⁄_m     ^Θ⁄_2π     ^Θ(m-1)2π

=>le radici m-esime formano un poligono di m lati iscritto nellacirconferenza.

es.: se abbiamo 4 radici allora si forma* nella circonferenza*

LA FORMULAdelle radicim-esime

se z= ρe^jΘ    allora    ^m√_z = √_m(ρ)e^{j(Θ+2kπ⁄m)} form trigon

se z=)cosΘ+jsenΘ) allora ²

Forma trigonometrica^m√_z=²z=²z=²z(Θ+2kπ⁄m)²

cos^jsen(^Θ+2kπ⁄_m)

^²1√

β=j         Θ =²&

    e^jΘ³0    ²j²0 ¹e^jΘ sup3j

¹²¹⁄^j(+2kπ)²⁄

³Θ<³=³Θo3sup2³allora z<³:z0=

con K = 0, 1, 2, 3

K=0 => e^θ θ = 0 allora z₀=1

K=1 => e^jπ⁄2 θ = π⁄2 allora z₁= j

K=2 => e^jπ θ = π allora z₂= -1

K=3 => e^3jπ⁄2 θ = 3π⁄2 allora z₃=-j

Limite del quoziente

se b_n ≠ 0 e b ≠ 0 (con lim b_n = b) allora

a_n/b_n converge e lim a_n/b_n = a/b.

Esaminiamo due casi:

• se ^a_n/_bn = 0
• 0 ^a_n/_bn = ∞

il teorema non si applica - sono forme indeterminate

Applicazioni:

• lim m² = 0 -> lim m^p = 0
• lim m² = ∞ -> lim m^p = ∞

Se abbiamo una successione: a_km^k + a_k-1m^k-1 + ... + a₁m + a₀, quale sarà il limite del polinomio?

-> lim m^k [ a_k + ^a_k-1/_m + ... + ^a₁/_m^k-1 + ^a₀/_m^k ] = lim m^ka_k

-> se lim ^{a_kmk + a_k-1mk-1+...+a₁m+a₀}/_{bnmⁿ + bn-1m^n-1 + ... + b1m + b0} =

• 0 se k < n
• ^a_k/_bk se k = n
• diverge se k > n

Es:

• lim ^2-3m2/_4+m = 3
• lim ^1+m/_4m³+2m = 0
• lim ^m4+4m/_m = ∞

Le forme indeterminate

• ∞ - ∞
• 0 · ∞
• ∞/∞
• 0/0

Es:

• (m+1)²-(m-1)²
• 1/m²
• 1/(m+1)
• m-1/m
• 1/m^1/m

LIMITI DI FUNZIONI

Per una funzione \( R: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \): le *punto di accumulazione* ∈ x₀ ∈ \mathbb{R} per A se in ogni intorno del punto trovi dei punti vicini a questo per potere valutare la funzione:

• \( x \rightarrow x_{0} \) con \( x \neq x_{0} \Rightarrow (x_{0} - \delta < x_{0} + \delta) \not \in A \)
• Intervallo aperto che contiene \( x_{0} \Rightarrow (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \)
• Quindi con \( x_{0} \in \mathbb{R} \): l'intorno del punto di raggio di semidimensione \( \delta \) > 0;

Vari casi:

1° Caso: CONVERGENZA (regolare in x₀)

• \(\lim_{x \to x_{0}} R(x) = l \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x \in I_{\delta} (x_{0}): |R(x)-l| < \varepsilon\)
• Distanza tra \( R(x), l \in \varepsilon \) <<<

2° Caso: DIVERGENZA (regolare in x₀)

• \(\lim_{x \to x_{0}} R(x) = + \infty \Leftrightarrow \forall H > 0 \exists \delta > 0 : 0 < |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow R(x) > H \)
• \(\Rightarrow x \in (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)-\{ \} \quad etc. \)
• \(\lim_{x \to x_{0}} R(x) = - \infty \Leftrightarrow \forall H > 0 \exists \delta > 0 : 0 < |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow R(x) < -H \)

3° Caso: INDETERMINATA o NON REGOLARE in x₀ (non ammette il limite)

• A non è limitata superiormente
• Impatti: "intorno di +\infty" \(\rightarrow \{x:x > H^3\} \Rightarrow H \rightrightarrows +\infty

1° Caso: CONVERGENTE A +\infty

• \(\lim_{m \to +\infty} R(x) = l \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists x_{0} : \forall x \ Rightarrow x> x \Rightarrow |R(x)-E| < \varepsilon \)

2° Caso: DIVERGENTE

• \(\lim_{m \to +\infty} R(x) = +\infty \Leftrightarrow \forall H > 0 \exists x_{0} : \forall x > x_{0} \Rightarrow R(x)> H \)