Analisi Matematica 1

Insiemi numerici

È definito quando abbiamo un criterio con cui stabilire se un oggetto è o non è un elemento di quell'insieme. A, B, X, Y → insiemi α, b, x, y → elementi

A = {1, 2, 3} → A è definito per tabulazione

• Non devono esserci elementi ripetuti.
• Non conta l'ordine degli elementi.
• Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi: (A = B)
• Ogni elemento che appartiene ad A deve appartenere anche a B. E ogni elemento di B deve appartenere anche ad A.

A ⊂ B → A è contenuto in B ma non coincide con B. Deve essere entrambe vere.

Insiemi numerici ripetuti

È definito quando abbiamo un criterio con cui stabilire se un oggetto è o non è un elemento di quell'insieme. A, B, X, Y → insiemi 0, 6, X, Y → elementi A {1, 2, 3} → A è definito per tabulazione

• Non devono esserci elementi ripetuti;
• Non conta l'ordine degli elementi;
• Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi: (A = B)
• Ogni elemento che appartiene ad A deve appartenere anche a B e ogni elemento B deve appartenere anche ad A;

∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A) Implica-zione logica

Per dimostrare che due insiemi sono uguali devo dimostrare che A ⊆ B e B ⊆ A A ⊆ B → A è contenuto in B ma non coincide con B; ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∃x ∈ B : x ∉ A_E deve essere entrambe vere_∈ → appartenenza

Relazione tra due oggetti matematici che stanno su due piani gerarchici diversi_⊆ → inclusione

Relazione tra due oggetti matematici che stanno sullo stesso livello gerarchico Talvolta si considerano insiemi che hanno per elementi altri insiemi

A = {{1, 2}, {3}, {1, 2, 3}} {2} ∈ A? Sì {3} ⊆ A? No → Se fosse stato vero 3 ∈ A mentre A ha per elementi degli insiemi; Si definisce "insieme vuoto" ∅ l'insieme che non contiene alcun elemento

Per qualsiasi insieme A possiamo affermare che... ∅ ⊆ A

Insieme delle parti

Fissiamo un insieme X e consideriamo l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X. Questo si chiama insieme delle parti di X e si indica con ^P(X);

X = {1,2,3}; ^P(X) = { ∅, {1,2,3}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3} }

Cardinalità di un insieme

È il numero dei suoi elementi → |A| oppure card(A) Se |X| = n allora |^P(X)| = 2ⁿ

Insiemi numerici

• N → insieme numeri naturali; 0,1,2...
• Z → interi; 0, -1, -2...
• Q → razionali; ^P / _q dove p,q ∈ Z, q ≠ 0 → numero finito di cifre oppure infinite cifre periodiche, dopo la virgola.
• R → reali; quelli che dopo la virgola presentano una successione qualsiasi di cifre diverse da zero, anche quelle infinite e non periodiche.

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

Operazioni con gli insiemi

X insieme universo, nel senso che tutti gli insiemi di cui si parla sono sottoinsiemi di X.

• Intersezione A ∩ B Insieme degli elementi che appartengono a tutti e due. A ∩ B = {x: x ∈ A e x ∈ B}
• Unione A ∪ B {x: x ∈ A o x ∈ B}
• Differenza A \ B {x: x ∈ A e x ∉ B}
• Complementare Se A ⊆ X allora A^C = X \ A
• Prodotto cartesiano A × B {(a, b) con a ∈ A e b ∈ B} Generalmente A × B ≠ B × A; [0,1] × [1,2] [1,2] × [0,1]

Proprietà delle operazioni

Proprietà dell'intersezione A ∩ B = B ∩ A

Proprietà dell'unione A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Proprietà distributive A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Leggi di De Morgan (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

Operazioni con ∅ e insieme universo X A ∩ ∅ = ∅; A ∩ X = A; X^C = ∅; ∅^C = X;

Sommatoria

_i=1ⁿ α_i Indice di sommatoria _i=1^∞ 1/i = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + ...

_i=3ⁿ i² = 3² + 4² + 5² + ... + (n-1)² + n² Indice muto _i=3^∞ i² = _j=3^∞ j²

Proprietà delle sommatorie

C_i=1ⁿ α_i = C _i=1ⁿ α_i

C_i=1ⁿ a_i = C a₁ + C a₂ + ... + C a_n