Analisi Matematica 1

INSIEMI NUMERICI

È definito quando abbiamo un criterio con cui stabilire se un oggetto è.

x non è un elemento di quell'insieme:

• A, B, X, Y → insiemi
• a, b, x, y → elementi

A = {1, 2, 3} → A è definito per tabulazione

• Non devono esserci elementi ripetuti
• Non conta l'ordine degli elementi
• Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi: (A = B)

Ogni elemento che appartiene ad A deve appartenere anche a B.

Ogni elemento di B deve appartenere anche ad A:

• ∀x (x∈A ⇒ x∈B)
• ∀x (x∈B ⇒ x∈A)

Per dimostrare che due insiemi sono uguali (A=B) devo dimostrare che A⊂B e che B⊂A;

A⊂B → A è contenuto in B ma non coincide con B;

∀x (x∈A ⇔ x∈B) ∃x ∈ B: x ∉ A

Entrambe vere

Talvolta si considerano insiemi che hanno per elementi altri insiemi

A = { {1}, {3}, {2} };

{2} ∈ A? Si

{3} ∈ A? Nose fosse stato vero 3 ∈ A mentre A ha per elementi degli insiemi;

Si definisce "insieme vuoto" ∅ l'insieme che non contiene alcun elemento.Per qualsiasi insieme A possiamo affermare che...∅ ⊆ A

INSIEME DELLE PARTIFissiamo un insieme X e consideriamo l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X.

Questo si chiama insieme delle parti di X e si indica con ^pP(X);

X = {1, 2, 3}P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}

CARDINALITÀ DI UN INSIEME Aè il numero dei suoi elementi → |A| oppure Card(A)Se |X| = n allora |P(X)| = 2ⁿ

INSIEMI NUMERICI

ℕ→ insieme numeri naturali ; 0, 1, 2...ℤ→ interi ; 0, -1, -2...ℚ→ razionali ; P/0dove p, q ∈ ℤ, q ≠ 0

→ numero finito di cifre oppure infinite cifre periodiche,dopo la virgola.

ℝ→ reali ;quelli che dopo la virgola presentano unasuccessione qualsiasi di cifre diverse da zero,anche quelle infinite e non periodiche.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Sviluppo potenza n-esima di un binomio

Formula di Newton:

(a + b)ⁿ = _{k = 0}ⁿ (n k) a^n-k b^k

(a + b)⁵ = (0 0) a⁵ + (1 0) a⁴b + (2 0)a³b² + (3 0)a²b³ + (4 0)a¹b⁴ + (5 0)b⁵

(5 0) = 5! (1 1) = 5! = 5! 0! = 1

(5 1) = 5! / 4! x 1! = 5

(5 2) = 5! / 3! x 2! = 4 x 5 2 = 5 x 4 / 2 x 1 = 10

(5 3) = 5! / 2! x 3!

Vale che: (n k) = (n - 1 k - 1) + (n - 1 k)

Esercizio *

Triangolo di Tartaglia:

1 (a + b)²

1 1 (a + b)³

1 2 1 (a + b)⁴

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 (a + b)⁵

(a + b)⁴ = a⁴b + sasda + a³1.8

3! 1 =7

2 (5 4) a³b² + 5 x 4 x 5 a²b³ + 4 a⁴b + a³b + 4 a⁴ + 4

Valore Assoluto

Si dice valore assoluto del numero reale a (si chiama a volte anche modulo di a) il numero non negativo così definito:

|a| = a se a > 0

-a se a < 0

-1 = x | 1 x + 1

|-2| = (-2) = 2; |3| = 3;

x | <= <= -2 x <= 2;

Per definizione |x| = { x se x >= 0; -x se x < 0}

se x >= 0 Ho -xa^2 x < 0 a - se x < a 0

Se x < 0 Ho -a < x < a 2 x < x

(mu k) (mu - 1 - a) (vu k - mu - k + 1) k

as ٠ smam

Entrambi hanno come ris. mu 1 (mu-1) (mu-2 ) ... (mu-k)

Intervalli

Si chiama intervallo di estremi a e b uno dei seguenti insiemi:

• [a,b] insieme dei numeri reali x: a ≤ x ≤ b;
• [a,b) x: a ≤ x < b;
• (a,b] x: a < x ≤ b;
• (a,b) x: a < x < b;
• (-∞, b) x: x < b;
• (a, +∞) x: a < x;
• (-∞, +∞) = ℝ = (-∞, +∞)

Funzione

Dati due insiemi A e B qualsiasi, una funzione ƒ di dominio A, a valori in B, è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

ƒ: A → B,

x → ƒ(x);

Il simbolo ƒ(x) indica il valore che la funzione ƒ associa ad x;

Si usa x → ƒ(x).

ƒ: ℝ → ℝ

Per le funzioni potenza ad esponente reale ma non razionale:

f(x) = k^α è definita solo per x > 0;

Se α > 0, per x > 0; se α < 0;

x^-, x^-2, x^-3, √^-x, x^-π — essenziali

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Se α è un numero reale positivo e diverso da 1, la funzione:

• a^R → R
• a(x) = α^x

si chiama funzione esponenziale; α > 0, α ≠ 1;

mentre

• log(0; +∞) → R
• log(x) = log_a x

si chiama funzione logaritmica in base a; α > 0, α ≠ 1;

x² = log_a(x) ;

• x = 0, log_a(x) = 1 → (0;1)
• x = 1, log_a(x) = a^-1 → (1, ¹/_a)
• x = -1, log_a(x) = a¹ → (-1, ¹/_a)
• log_a(x) = ( ¹/₂ )^x
• x = 0, log_a(x) = 1 → (0;1)
• x = 1, log_a(x) = ¹/₂ → (1; ¹/₂)
• x = -1, log_a(x) = 2 → (-1; 2)

x: R → (0; +∞) ⊂ R

Limiti di funzioni

Def (Intorno)

Un intorno di un punto ₀ ∈ ℝ è un intervallo aperto che contiene questo punto. Dire che x si muove in un intorno di ₀ significa che questo x ∈ (₀ - δ, ₀ + δ) dove si pensa 0 < δ << 1.

Def (Definitivamente)

Una funzione f(x) ha una certa proprietà definitivamente per x → c se esiste un intorno _c di c tale che quella proprietà vale per f(x) per ogni x ∈ _c, x ≠ c.

Un intorno di +∞ è (a, +∞) Un intorno di -∞ è (-∞, b)

Def (Limite)

Sia c ∈ ℝ ∪ {-∞, +∞} e sia ϕ una funzione definita almeno definitivamente per x → c. Si dice che lim_x→c ϕ(x) = L (con L ∈ ℝ) se per ogni intorno _Uc di L esiste un intorno _Vc di c tale che ∀x ∈ _Vc, x ≠ c ⇒ ϕ(x) ∈ _Uc.

PROPOSIZIONE

LA FUNZIONE \(f(x)\) AMMETTE ASINTOTO OBLIQUO PER \(x \to +\infty\) SSE VALGONO LE SEGUENTI CONDIZIONI:

1. ESISTE FINITO \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \neq 0\);
2. ESISTE FINITO \(\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - mx\right) = q\);

IN TAL CASO \(y = mx + q\) È ASINTOTO OBLIQUO PER \(x \to +\infty\).

SI DICE CHE \(f\) HA UN ASINTOTO VERTICALE DI EQUAZIONE \(x = c\) \((c \in \mathbb{R})\) PER \(x \to c\) (OPPURE \(x \to c^+\) O \(x \to c^-\)) SE \(\lim_{x \to c} f(x) = +\infty\) O \(-\infty\);

(OPPURE QUESTO ACCADE PER \(x \to c^+\) O \(x \to c^-\));