Analisi matematica 1

Analisi I

Gli insiemi

Cantor (1895): un insieme è una collezione di oggetti che si chiamano elementi dell'insieme.

Un insieme è connoscere e conoscere tutti gli elementi dell'insieme significa conoscere una proprietà che definisce l'insieme.

A:_{{tutti gli studenti del proprio centrale}}

B:_{{Studenti nati nel mese di agosto}}

Se nessuno studente è nato nel mese di agosto, B è l'insieme privo di elementi e si dice che B è l'insieme vuoto e si indica con B = ∅.

P.S.

Se E è un insieme e "n" un elemento di E, si dice che n appartiene a E e si scrive n ∈ E.

Se "n" non è un elemento di E, si dice che n non appartiene a E e si scrive n ∉ E.

Esempio sui numeri naturali N = {0, 1, 2, 3}.

Sottoinsieme

Se E è un insieme, si dice che un insieme F è suo sottoinsieme se tutti gli elementi di F sono elementi di E e si scrive F ⊆ E.

Contenuto

E:

P = {n ∈ N : n è un numero primo}

= { n ∈ N : n ≠ 1, non esistono divisori di n diversi da 1 e n. }

P ⊆ N, E ⊆ E, 8 ∉ F

∞ ∈ E, ∀ α ∈ P

Unione di elementi dell'insieme di due insiemi:

A ∪ E = è l'insieme costituito da tutti gli elementi dei due mitaggi.

E ∩ F: { n ∈ E oppure n ∈ F }.

Analisi I

Gli insiemi

Cantor (1845). Un insieme è una collezione di oggetti, che si dicono elementi dell'insieme.

Un insieme è conosciuto quando si conoscono tutti gli elementi dell'insieme

oppure si conosce una proprietà che definisce l'insieme.

A = {Facoltà, docenti, lingua centrale}

B = {Studenti nati nel mese di agosto}

Se nessun studente è nato nel mese di agosto B = ∅

B = L'insieme privo di elementi e si dice insiemi vuoto e si scrive B = ∅

P.S.

Se E è un insieme e n è un elemento di E, si dice che n appartiene a E e si scrive n ∈ E

Se y non è un elemento di E, si dice che y non appartiene a E, e si scrive y ∉ E.

E = insieme dei numeri naturali 0, 1, 2, 3...

N = {0, 1, 2, 3...}

Sottoinsieme: se E è un insieme, si dice che un insieme F è suo sottoinsieme se E, se tutti

gli elementi di F sono elementi di E, e si scrive F ⊆ E

Testi che

P = {n ∈ N : n è un numero primo}

= {n ∈ N : n ≠ 1, non esistono divisori di n diversi da 1 e n}

P ⊆ N, 1 ∈ P ⊂ E, 8 ∉ P

0 ∈ N - 0 ∈ P - 2 ∈ P

E sono detti due insiemi D detti:

1. F ∪ E = E se F è l'insieme contenuto in tutto gli elementi dei sopraddetti

Se c ∈ E oppure c ∈ F, E ∪ F = {n ∈ E oppure n ∈ F}

2. Si dice intersezione di E ed F l'insieme degli elementi che appartengono ad E.

E ∩ F = {n ∈ E∩E : m ∈ F}

E=

E=

{1,3}

F=

{3,5}

E ∪ F=

{1,5,3}

E ∩ F=

{3}

3. Si dice differenza bt da F l'insieme degli elementi di E che non appartengono a F.

E \ F=

{m ∈ E : m ∉ F}

∃

M⊆P : m ∈ N

Esiste un divisore di n diverso da ... de m}.

"non esiste"

∃m

∃n∃M ⊆ N

{n ∈ N : ∃m ∈ N\{m} ∈ n ∈ N ∪ {1}}

∃m ∈ N: tale che ogni m ∈ N\{m}

n ∈ N\{1} ∉

{n ∈ N \ A: tale che n ∈ N \ {n, ∉ ogni m}} {m}

Insiemi numerici

1. Assiomi relativi alle operazioni

   Sono definiti su N due operazioni + e · con le seguenti proprietà:

   1. Proprietà associativa

      a+(b+c)=(a+b)+c

   2. Proprietà commutativa

      a+b=b+a

      a·b=b·a

   3. Proprietà distributiva

      a·(b+c)=a·b+a·c

   4. Esistenza dell’elemento neutro

      Esistono due elementi 0 e 1 tali che:

      a+0=a

      a·1=a

2. Assiomi relativi all’ordinamento

   È definita una relazione d’ordine tra coppie di numeri naturali con le seguenti proprietà:

   1. Proprietà riflessiva

      a=a

   2. Proprietà antisimmetrica

      Se a <= b e b <= a allora b=a

   3. Proprietà transitiva

      Se a <= b e b <