Analisi matematica 1

Analisi I

Gli insiemi

Cantor (1895): un insieme è una collezione di oggetti che si dicono elementi dell'insieme.

Un insieme si conosce quando si conoscono tutti gli elementi dell'insieme

oppure si conosce una proprietà che definisce l'insieme.

A={italiano, tedesco, lingua orientale} B={studenti nati nel mese di agosto}

Le nuove italiane sono nate nel mese di agosto.

B≠∅∅

B è l'insieme privo di elementi e si indica

insieme nullo o insiemi ∅ B=∅

P.S.

Se E è un insieme, e n un elemento di E. Si dice che n appartiene a e n∈E.

Se y non è un elemento di E, si dice che y non appartiene a E. E si scrive y∉E.

Es: Insieme dei numeri naturali 0,1,2,3

N={0,1,2,3,...}

Osservazione: se F è un insieme, si dice che insieme F è un sottoinsieme di E, se tutti

gli elementi di F sono elementi di E. Si scrive F⊆E F≠∅ Coniuntato

E:

• P={n∈N: n è un numero primo}

={n∈N: n≥2, non esistono divisori di n diversi da 1 e N}

P⊆N e P≠∅ P≠∅

0∈N con P

• p∈P con P

Piano E ed F sono insiemi fra altres:

1) Insieme F è un F insieme sotto a tutto gli elementi del appracheno siet E, e appare nel F. E∪F={n∈E. oppure n∈F. oppure n∈F}

2. Si dice intersezione di E con F l'insieme degli elementi che appartengono ad E.

E∩F = {x | x∈E ∧ x∈F}

Es.

A = {2, 1, 3} F = {1, 3, 5}

E∪F = {1, 2, 3, 5}

E∩F = {1, 3}

3. Si dice differenza tra due l'insieme agli elementi di E che non appartengono a F.

E∈F = {x | x∈E ∧ x∉F}

{x | x∈P ∧ x∈N esiste un divisore di N diverso da 1 e da n}

numeri naturali

"esiste almeno un"

"non esistono"

ogni

N∈N due direzioni di n è un numero m∈N tale che m∈N

P∩P = {n∈N imp. N} {n | ∀n | c∈N ∪ 1}

n0 m∈N tale che ogni m∈N {1, m, ∈N ∪ 1}

{n | n∈N AT t = 1 m∈N \{n_n = nⁿ}}

(ii) Rappresentazione geometrica di Q.

Siano m ∉ Z, n ∈ N, (n ≠ 0), s.s. m₀ > 0^n = 0.

Si consideri il sottomultiplo a/n e il multiplo secondo m (a/n ≠ 0 ↔ m)

Se P ∈ S tale che OP = m (a/n ↔ 0 ↔ m)

P ∈ S : a ∈ Q = [0,1[ ∪ {0,1/2, 2/2, 3/2, 4/2}]

Teorema

Σ S rappresenta S̅ mediante aggiunti alle diagonali alle pic. est. di una quaziale se tale e non convergenza di un numero razionale.

Dimostrazione

Dimostriamo questo teorema per assurdo.

A= B

non B

non A

non B = falso falso

P₀

A = 1

0/1

A^2 = 2

9^2 = 0^2 = => < 2 non => poiché 9 eliminare => 9² < eliminare =>

togliamo 90 = divid. ⇒/moltip. 9² = dividi. mult.

2 quindi non 9² che ASSURDO.

x² - 9x - 14 < 0

x₁ x₂ =−2_√3/-4

x²- 2x - 3 > 0

x - 2

x + 1

x - 2x + 3 >0

x² - 4x+11x0

x - 3 = 0

x^{(t). (x - 3)}

x 2 (R; x < 11 - √ 33)/4) u( x 2 (R; x < - 1) (2 x 2 (R; x> 3)

x 2 (R; x < - 1 x 2 (R; x > 11 - √ 33)/4/

Si dice che

S_n ≤ X < S_n+10^-n

Sia a₀, a₁, ..., a_n, a_n+1 tali che

X = a₀ + a₁ / 10 + ..... + a_n10^-n

S_n = a₀ + .... + a_n10^-n

₁₁    3,14159

S₂ = 3,14

_3,14

S₃ = 3,14          _{Sn ≤ X}

S_n è un'approssimazione per difetto di X, mentre

S_n+10^-n è una rappresentazione per eccesso

di X, ovvero di - una semiretta geometrica.

X - S_n < 10^-n

_Sn+1 ≤ X < _Sn+10^-n

X

_Sn

10^-n

S_n è un'approssimazione di X con n cifre decimali esatte ed si scrive

X ≈ S_n con n cifre decimali

S_n = a₀, a₁, ..., a_n

n cifre decimali di X

_piGRECO = 3, 14159

_piGRECO ≤ 3,14 < 3, 141

Quello detto fino adesso vale per X > 0

X > 0 = Considera X > 0 ed eliminiamo la rappresentazione decimale di X si cambia segno.

_- ^X < 0,23^{3 con} . 0 ^0,23

- 0,976 > X ≤ . 0,23

- _Y

_0.1

X = 0

a₀, a₁, a_n

< a_X

<_1,4412

₅

_piGRECO '< X < piGRECO'

= 3, 1415

con 1 cifra

con 1 conto

le quante cifre decimali esatte si può calcolare

_2,7

₆

_2,1

(n+1)_k = ⁽ⁿ⁾C_(k-1) + ⁽ⁿ⁾C_k = ⁽ⁿ⁺¹⁾C_k

∆_k=0^{n (n)}C_k a^n+1-k b^k = a_n+1 ∆_k=0¹⁽ⁿ⁾C_k ^a + ∆_k-1 ⁽ⁿ⁾C_k-1

= ⁽ⁿ⁺¹⁾C_k a^n+1-k b^k + a^n+1-k b^k

= ⁽ⁿ⁺¹⁾C_k a^n+1-k b^k

(a + b)ⁿ⁺¹ = ∆_k=0^{n+1 (n+1)}C_k a^n+1-k b^k

= (n+1)₀⁰ aⁿ⁺¹ + ∆_k=1ⁿ⁺¹ a⁽ⁿ⁺¹⁾ bⁿ⁺¹

= ⁽ⁿ⁺¹⁾C_k a^n+1-k b^k

Estremo superiore e inferiore di un insieme

Definizione: a è il bell’acqua AGRAFI se ∀x ∈ R è un maggiorante (inferiore) di x ∈ X (x ≤ a (x ≥ a)).

• A limitato su superiore (inferiormente) (finito se esistono maggioranti (inferiore)).
• A limitato.

Estremo → (Smaltire il lusso limitante si X:

• Es:
• X = {x ∈ R: x ≤ 0}
• X = 0 maggiorante di A mentre 0 ≤ a a ∀a ∈ R.
• Ogni x ≥ a è un maggiorante di X.
• X superiormente limitato.

Numeri inf Centrali

Per esempio:

Per assurd: x < y₀ ∈ R: maggiorante di A. Allora ∃ y₀ ≤ a ∀x ∈ R: y₀ ≥ y₀; 0 < 0.

• => y₀ ≤ y₀ < 0 ⇒ y₀ ∈ A-1.
• Quindi non esistono numeranti di A e quindi A non superiormente limitato.
• B = {(1/n: n ∈ N \ {0})}
• (1/n)^1 ≤ 1 poichè 1 ≥ 0.
• ∀n ∈ N \ {0}
• 1/n ≤ 1
• 1/n ∈ B
• B^A ∃ un maggioriato di B