Analisi matematica, appunti, prof. De Maio

CRITERIO DI CONTINUITA’

Sia una funzione da A in R monotona.

()

Se è un intervallo allora è continua in A.

DIMOSTRAZIONE

∀ ∈ ∩ lim () = ( )

0 0

→₀

Procediamo per assurdo:

∃ ∈ : è

0 0 lim () ≤ ( ) ≤ lim ()

Supponiamo che sia crescente: 0

− +

→ →

0 0

))

(; ( ⊆

0

Ricordiamo che esso non è un intervallo poiché per assurdo imponiamo che non ci sia continuità.

∈

Prendiamo

= ₀ ≤ ₀ ⇒ () <

Se abbiamo

> ₀ ⇒ () ≥ ( )

Oppure 0 95

⇕ ()

Questi non sono valorei assunti quindi smentirebbero che è un intervallo.

⇕

Assurdo che esista un punto di discontinuità.

TEOREMA DEGLI ZERI

: [; ] → [; ]. () − () < 0

Sia ed f continua in Se allora

(, )

∃ ∈ ): ( = 0

0 0

I due estrerni dell’intervallo hanno segni opposti.

ESEMPIO

[−1; 0]

() = +

() = +

{ =0 1

() = (−1) = −1<0

() = (0) = 1

DIMOSTRAZIONE )

() < 0 () > 0; = = ⇔ ( <

Supponiamo che e né a né b possono essere soluzioni : e

0 0 0

)

0 ( > 0.

e 0

Troviamo il punto medio:

+ +

0 0 1 1

= =

e

1 2

2 2 )

= = ( > 0;

1) , se

1 0 1 1 1 96

)

= = ( < 0.

2) , se

1 1 1 0 1

; ]

1) [

1 1 ) )

≤ ( < 0 ( > 0

0 1 1 1

≤

1 0

)

( = 0 abbiamo la soluzione

2

• )

= = ( > 0;

, se

2 1 2 2 2

• )

= = ( < 0.

, se

2 2 2 1 2

≤ ≤ ≤ ≤

0 1 2 2 1 0

+

2 2

= ( ) = 0 ho la soluzione;

3 3

2

• )

= = ( > 0;

, se

3 2 3 3 3

• )

= = ( < 0.

, se

3 3 3 2 3

+

) )

= ( < 0 ( > 0

e

+1

2

( + 1) = 0

( + 1) ≠ 0

• )

= = ( > 0;

, se

+1 +1 +1 +1

• )

= = ( < 0.

, se

+1 +1 +1 +1

≤ ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ ≤

0 1 +1

≤ ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

+1 3 2 1 0

[;

( ) ⊆ ] crescente

∈ 97

[;

( ) ⊆ ] decrescente

∈

) )

( < 0 ( > 0

− − − −

−1 −1 −2 −2 −3 −3 0 0

− = = = =⋯=

2 4 8 2

−

− =

2

Una successione monotona è regolare, quindi:

∃ lim =

0

→+∞

∃ lim =

0

→+∞ −

= +

2

=

0 0

lim ( ) ∙ ( ) ≤ 0

→+∞

( ) → ( )

0 0

2

))

(( ≤ 0

0 )

( = 0

0

TEOREMA PONTE PER LE FUNZIONI CONTINUE

: → . ⇔ ∀ ⊆

Sia f è continua in x₀ con x₀∈DA∩A e convergente ad x₀ allora:

)

lim ( = ( )

0

→+∞

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI (BOLZANO)

[;

: ] → () ().

Sia continua allora assume tutti i valori compresi tra ed

DIMOSTRAZIONE

() < ().

Supponiamo che 98

() < < ()

Devo dimostrare che y è un valore assoluto della funzione:

[;

∃ ∈ ] () =

() = () − definita in [a;b]

g è continua

secondo il teorema degli zeri:

()=()−<0 )

) ⇒ ∃ ∈]; [ ∶ ( = 0

0 0

()=()−>0 ) )

( − = 0 ⇔ ( =

0 0

TEOREMA

: ⊆ → . ()

Sia con intervallo ed continua in Allora è un intervallo.

DIMOSTRAZIONE

= () = ()

∈ ∈

(; ) ⊆ ().

Consideriamo l’intervallo Vogliamo dimostrarlo.

(;

∈ ) ⇒ ∈ () ⇔ ∃ ∈ : () =

<<

Applichiamo la 2° proprietà dell’estremo inferiore:

∃ ∈ : () <

Applichiamo la 2° proprietà dell’estremo superiore: )

∀ > 0 ∃ ∈ : ( > −

∃ ∈ : () > 99

⇕ () < < ()

Secondo il teorema dei valori intermedi:

)

∃̅ ∈ : (̅ = dimostrato.

TEOREMA DI WEIERSTRASS

[;

: ] → [; ]

Sia continuo in chiuso e limitato, allora:

[; ) )

∃ ∈ ]: ( ≤ () ≤ ( ∀ ∈ [; ]

1 2 1 2

Con:

o = punto di minimo;

1

o = punto di massimo;

2 )=

(

o valore di minimo;

1 )=

(

o valore di massimo.

2

DIMOSTRAZIONE

Partiamo dal dimostrare che è illimitato:

∃ > 0: ∀|()| ≤ ∀ ∈ [; ]

Ragioniamo per assurdo:

∀ ∈

prendiamo un senza maggiorante, quindi:

[; )

∃ ∈ ]: ( >

Secondo il teorema del confronto: >

lim = +∞

→+∞ 100

)

lim ( = +∞

→+∞

< < ,

Se è limitata.

Secondo Bolzano-Weierstrass possiamo estrarre una sottosuccessione convergente.

( ) ( )

∃ → : ⊆

0

⇓

< <

< <

0

2° TEOREMA DI BOLZANO

: [; ] →

Se con continua assume tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo.

TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO PER LE FUNZIONI CONTINUE

)

: → ∈ ∩ . ( > 0

Sia continua in A se un Se allora:

0 0

∃ : ∀ ∈ ∩ , () > 0

0 0

TEOREMA

: → ()

Sia monotona e un intervallo. Allora è continua in X.

TEOREMA DI CONTINUITA’ DELLA FUNZIONE INVERSA −1

: → () : () →

Sia con intervallo ed continua e strettamente monotona allora è continua

().

in 101

DIMOSTRAZIONE −1

= : () →

Applico il teorema precedentemente enunciato e ne risulta che:

se è monotona g è strettamente monotona, ovvero:

−1

(()) = (()) =

,

L’immagine del dominio della funzione g è ovvero un intervallo.

⇕

g è continua

⇕

−1

è continua.

TEOREMA

: → .

Sia con intervallo ed continua in

⇔

Allora è initettiva è strettamente monotona. [1; 2] ∪ [4; 7].

Il teorema vale per anche un I compatto, ad esempio

DIMOSTRAZIONE

, ∈ < () ≠ ()

() < () ⇔ [; ].

è strettamente crescente in

Per assurdo, supponiamo che non sia vero che:

∀ < < ⇒ () < () < ()

() ():

Supponiamo quindi che cada prima di 102

() < () < ()

Per il teorema dei valori intermedi avremo quindi che:

(; )

∃̅ ∈ ): (̅ = ()

̅ =

è iniettiva: (); ():

Non può quindi cadere prima di supponiamo allora casa dopo

() < () < ()

⇕

(; )

∃̿ ∈ ): (̿ = ()

̿ = anche in questo caso è un assurdo.

() < () < ().

Dunque è vera

- Mostriamo adesso che è strettamente crescente in [a;b]

)

< < ( < ( )

; con

1 2 1 2

)

() < ( < ()

1 )

() < ( < ()

2

Supponiamo

) ) ) ) (; ): )

( > ( → () < ( < ( ⇒ ∃̅ ∈ (̅ = ( )

1 2 2 1 1 2

⇓

̅ =

2

Ma questo è un assurdo.

f è strettamente crescente nell’intervallo

∀, ∈ [; ] ⊂ ( < < < )

1 2

Sto quindi negando che sia strettamente monotona. 103

)<(

< ⇒( )

) ⇒

1 1 1 1 non è strettamente crescente o decrescente

)>(

< ⇒( )

2 2 2 2

= min( ; )

1 2

= max( ; )

1 2 104

CAPITOLO 5 105

DERIVATE

: → ∈ ∩ .

con Considero:

0