Analisi matematica, appunti, prof. De Maio

ANALISI MATEMATICA 1

Autore: Roberta Di Rosa 1

• Teorema di unicità del limite

• Teorema di permanenza del segno

• Primo teorema del confronto

• Teorema dei carabinieri

INDICE • Algebra dei limiti

• Limiti notevoli

• Teorema sulle funzioni monotone e

applicazioni

1. CAPITOLO 1

• Connettivi Logici

• Predicati e Quantificatori 4. CAPITOLO 4

• •

Gli insiemi Successioni

• •

Insieme delle parti Sottosuccessioni

• •

Prodotto cartesiano Teorema ponte

• •

Relazione binaria Limite della funzione composta

• •

Definizione di funzione tra due insiemi Funzione continua

• •

Funzione iniettiva Disequazioni intere razionali di primo e

• Funzione pari secondo grado

• •

Funzione composta Disequazioni irrazionali

• •

Funzione invertibile e teorema Teorema di Bolzano- Weierstrass

dell’invertibilità • Simboli di Landou

• •

Strutture algebriche Simboli di equivalenza

• •

Campo Teorema di cancellazione degli elementi

• Relazione d’ordine trascurabili

• •

Massimo e minimo di una funzione Infiniti e infinitesimi

• •

Maggiorante e minorante Ordine di un infinitesimo

• •

Sottoinsiemi limitati e illimitati Ordine di un infinito

• •

Estremo inferiore e superiore Principio degli elementi trascurabili

• •

Campo ordinato Asintoti

• •

Isomorfismi Criterio del rapporto per successioni

• •

Campo archimedeo Teorema del criterio del rapporto per

• successioni

Partizione di un insieme •

• Successioni di Cauchy

Classe di equivalenza •

• Criterio di Cauchy

Teorema principio di induzione •

• Funzione continua

Binomio di Newton • Discontinuità di prima e seconda specie

• Criterio di continuità

• Teorema degli zeri

2. CAPITOLO 2 • Teorema ponte per le funzioni continue

• Tipi di funzioni • Teorema dei valori intermedi

• Sistemi di riferimento su retta e piano • Teorema di Weierstrass

• Verso di rotazione di un piano • Teorema di permanenza del segno per le

• Valori per la retta funzioni continue

• Estremi di una funzione • Teorema di continuità della funzione

• Funzioni elementari inversa

• Funzione potenza

• Potenze con numeri reali

• Valore assoluto 5. CAPITOLO 5

• •

Intervalli Derivate

• •

Intorni Derivata destra e sinistra

• •

Insiemi separati e contigui Derivate fondamentali

• •

Funzione valore assoluto Regola di derivazione

• •

Funzioni goniometriche Derivata di una funzione composta

• •

Funzione periodica Regola di derivazione delle inverse

• •

Funzione seno e coseno Punti di una discontinuità di una derivata

• •

Funzione arcoseno Funzione derivata e derivata seconda

• •

Funzione arcocoseno Classe delle derivate

• •

Funzione tangente Punto di massimo e minimo relativo

• •

Funzione arcotangente Teorema di Fermat

• Teorema di Rolle

• Teorema di Cauchy

3. CAPITOLO 3 • Teorema di Lagrange

• Punto di accumulazione e punto isolato • Teorema di de l’Hopital

• Parte intera di un numero reale • Funzione concava e convessa

• Limiti • Condizioni di concavità e di convessità

• Teorema sulle restrizioni • Grafico di una funzione

• Carattere locale del limite • Funzione iperboliche

• Teorema di limatezza totale • Funzione di Taylor con il termine

• Limite destro e sinistro complementare di Peano 2

• •

Polinomio di Mclaurin Proprietà degli integrali

•

6. CAPITOLO 6 Partizione

• •

Le serie Somma inferiore e superiore

• •

Teorema sulle serie numeriche Criterio di integrabilità di Reimann

• •

Serie a termini non negativi Proprietà degli integrali definiti

• •

Criterio del confronto Teorema della media

• • Calcolo fondamentale dell’integrali

Serie armonica

• •

Serie geometrica Integrali impropri

• •

Confronto asintotico Teorema di Cantor

• •

Criterio del rapporto e della radice Criterio di integrabilità delle funzioni

• Serie resto continue

• •

Criterio di convergenza di Cauchy Integrale impropri

• Serie assolutamente convergente

• Serie a segni alterni

• Criterio di Leibnitz

7. CAPITOLO 7

• Funzione primitiva 3

CAPITOLO 1 4

è lo studio dell’esattezza riguardo il ragionamento.

La logica matematica

P= ipotesi;

Q= tesi;

⇒ rappresenta il ragionamento che porta dall’ipotesi alla tesi, P⇒Q.

La logica matematica non era inizialmente riconosciuta come una scienza esatta, ma ha avuto bisogno

della formulazione di assiomi.

Alla base della logica matematica abbiamo le proposizioni. Una proposizione è una qualsiasi espressione

vera o falsa.

Es. ‘’5<2’’è una proposizione falsa.

è l’insieme delle proposizioni con p che è una proposizione.

P

Le operative applicate ad un insieme di proposizioni sono dette CONNETTIVI LOGICI.

1) NEGAZIONE

P segnato è la negazione della proposizione p.

Essa è vera se p è falsa, falsa se p è vera.

2) CONGIUNZIONE LOGICA

È una proposizione vera se e solo se p e q sono vere;

d= p⋀q

p= Parigi è la capitale della Francia;

q= “5<2”; ⇒

p è vera, q è falsa d è falsa

3) DISGIUNZIONE LOGICA

La proposizione è vera se almeno una delle due è vera.

d= p⋁q. 5

1 LEGGE DI DE MORGAN: La negazione di una congiunzione logica coincide con la

disgiunzione di due negazioni.

2 LEGGE DI DE MORGAN: La negazione di una disgiunzione logica coincide con la

congiunzione di due negazioni. Le leggi di De Morgan trasformano una congiunzione in una

disgiunzione e viceversa.

4) IMPLICAZIONE LOGICA:

d= p⇒q

Date due proposizioni p e q, d è falsa se e solo se p vera e q falsa. P è condizione sufficiente per

q; q è condizione necessaria per p.

DOPPIA IMPLICAZIONE o EQUIVALENZA LOGICA:

d=p⇔q

p condizione necessaria e sufficiente di q.

p⇒q⋀q⇒p.

PREDICATI E QUANTIFICATORI

Un predicato P(x) è un insieme di proposizioni che dipendono da una variabile x.

-Quantificatori esistenziali:

• Esiste almeno una x tale che P(x) …

∃x: P(x)…

• Esiste ed è unica un’x tale che P(x)…

• ∃! x: P(x)…

-Quantificatori universali:

Esiste una qualsiasi x tale che P(x)…

∀x: P(x)…

Neghiamo i quantificatori…

“Per ogni x P(x) è vera” ovvero non “per ogni x P(x) è vera” 6

∃x: ⇔non ⇔ ∃x:

P(x) è falsa (∀x: P(x)) non P(x)

-Definizione di continuità:

: ⇾

₀ ∈ ⇔

è continua in ”∀Ԑ > 0 ∶ ∃ > 0: ∀ ∈ ( ₀ − ; ₀ + ) ∶ |() − (₀)| < Ԑ”

₀ ∈ ⇔

non è continua in

” ∃Ԑ > 0 ∶ ∃ > 0: ∀ ∈ (₀ − ; ₀ + ) ∶ |() − (₀)| < Ԑ”

⇕

“∃Ԑ > 0: ∀ > 0: ∀ ∈ (₀ − ; ₀ + ): |() − (₀)| < Ԑ”

⇕

“∃Ԑ > 0: ∀ > 0: ∃ ∈ (₀ − ; ₀ + ): |() − (₀) ≥ Ԑ”

GLI INSIEMI

Il concetto di insieme è un concetto primitivo, ovvero non ha una definizione; poiché esso comporterebbe

ad un processo infinito.

Anche il concetto di elemento di un insieme è primitivo.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto:

∈ ∉ .

;

Dato un insieme A, B è un sottoinsieme di A se ogni x appartenente a B appartiene anche ad A.

⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∃ ∈ ∶ ∈

Due insiemi si dicono uguali se ogni elemento di A appartiene a B e ogni elemento di B appartiene ad

A. 7

= ⇔ ⊆

⊆

INSIEME DELLE PARTI

Si dicono insieme delle parti di A tutti i possibili sottoinsiemi di A.

() = { : ⊆ }

Anche un insieme vuoto è un insieme delle parti di A.

-OPERAZIONI TRA GLI INSIEMI intersezione A∩B

1) Dati due insiemi A e B, si definisce un insieme C tale che la x appartenga ad A e

B ∩ = = { : “ ∈ ∈ ”}

2) Dati due insiemi A e B, si definisce unione A∪B un insieme C tale che la x appartenga ad A oppure

a B. ∪ = = { : “ ∈ ∈ ”}

3) Si definisce complemento di B un insieme di x appartenenti ad A ma non a B.

Così come per le proposizioni, anche per gli insiemi possiamo enunciare delle leggi di De Morgan.

• di X e appartenenti all’insieme delle parti di X, il

Dato un insieme X con A e B sottoinsiemi

complemento dell’unione di A e B è uguale al complemento di A intersecato al complemento di

B. , ⊆

, ∈ ()

( ∪ ) = ∩ 8

• di X e appartenenti all’insieme delle parti di X, il

Dato un insieme X con A e B sottoinsiemi

complemento dell’intersezione di A e B è uguale al complemento di A unito al complemento di

B. , ⊆

, ∈ ()

( ∩ ) = ∪

PRODOTTO CARTESIANO

Dati due insiemi A e B non vuoti, il prodotto cartesiano è:

{(,

= ) ∶ ∈ ∈ } ≠

Della coppia (a, b), la prima componente è unita al primo insieme. Quindi possiamo dire che

{,

(, ) = { , }}

RELAZIONE BINARIA

Dati due insiemi noti A e B, si definisce relazione binaria tra A e B un qualunque sottoinsieme di R del

prodotto cartesiano: ⊆

-Se A=B la relazione è definita in A. (, ) ∈ ⊆

⇕

∈ .

1. La relazione R è riflessiva se e solo se per qualsiasi valore di vale la relazione 9

2. Una relazione si dice simmetrica se e solo se

⇔ , ∈

⇕

(, ) ∈ ⇒ (, ) ∈

, , ∈

3. Una relazione transitiva è una relazione se e solo se con

( ) ⇒

4. Una relazione è antisimmetrica se e solo se

( ) ⇒ ∼,

5. Una relazione si dice relazione di equivalenza, indicata con il simbolo se e solo se essa gode

di proprietà simmetrica, riflessiva e transitiva.

6. Una relazione si dice relazione di ordine in A se e solo se R è riflessiva, antiriflessiva e transitiva.

DEFINIZIONE DI FUNZIONE TRA DUE INSIEMI A e B

⊆

∈ esiste un’unica y appartenente a B tale che

f è una funzione da A in B se e solo se per ogni

(, )appartenga .

la coppia ad ∀ ∈ ∃! ∈ : (, ) ∈

: ⇾

L’insieme A è detto dominio della funzione.

L’insieme B è detto codominio della funzione.

tramite f l’insieme di y appartenente a B tale che esiste un’x appartenente

Si definisce immagine di A

= (). ()è

ad A tale che sottinsieme di B.

() = { ∈ : ∃ ∈ : = ()}

Se l’immagine di A coincide con il codominio la funzione si dice suriettiva. 10

() = ()

Sia C un qualunque sottoinsieme di B, x è controimmagine di C appartenente ad A tale che

appartenga a C. ⁻() = { ∈ : () ∈ }

⁻() ⊆ ∀ ∈

FUNZIONE INIETTIVA

: ⇾ ₁ ₂

è iniettiva se e solo se per qualsiasi e appartenenti ad A, diverse tra loro, avremo due

diverse funzioni. Possiamo quindi dire che ad elementi distinti associa immagini distinte.

: ⇾ è ⇔

∀ ₁ ₂ ∈ ₁ ≠ ₂ ⇒ (₁) ≠ ( ₂) ⇔ ₁ = ₂ ⇒ (₁) = ( ₂)

Una funzione f è biettiva se e solo se f è sia iniettiva che suriettiva. Ciò implica che la funzione ha

una e una sola soluzione ⁻() = { ∈ : () = } = {}

FUNZIONE PARI ∈ ⇒ − ∈

() = (−) ∀ ∈

f si dice pari se e solo se

La funzione pari non può essere biettiva perché varrebbe solo per 0.

FUNZIONE COMPOSTA : ⇾ : ⇾ ⊆ 11

∘ : ⇾

∈ ⇾ (())

∘ ∘

Dire e dire non è la stessa cosa.

FUNZIONE INVERTIBILE

Si indica con

: ⇾

⇾ : ⇾

è invertibile se e solo se esiste solo una tale che da B ad A:

1) ( ∘ ) = ()

2)( ∘ ) = ()

Oltre queste due condizioni, f è invertibile se il codominio di g coincide col dominio di f.

DIMOSTRAZIONE CHE g È UNICA

Procediamo per assurdo e prendiamo due funzioni diverse g e h.

: ⇾ ℎ: ⇾ () = ℎ() ∀ ∈

() = (()) = ( ∘ )() = ∘ ( ∘ ℎ) = [( ∘ ) ∘ ℎ] = ( ∘ ℎ)

TEOREMA DELL’INVERTIBILITA’

: ⇾

Data allora è invertibile se e solo se è biettiva.

: ⇾ 12

⇾ + ≠0

⁻: ⇾

= () ⇔ = ⁻()

− ()

+ = ⇔

- Significato geometrico

Abbiamo detto che è biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva

∀ ∈ ∃! ∈ : = ()

Fissando un valore y e conducendo una retta parallela all’asse x che passi per y, se essa incontra

la funzione in un solo punto allora la funzione è iniettiva.

STRUTTURE ALGEBRICHE

Dato un insieme S si definisce operazione ovunque definita in S una qualunque applicazione di in

. ⏊: ⇾

(, ) ⇾ ⏊

⏊

Si definisce struttura algebrica un insieme o una qualsiasi applicazione che gode della proprietà

associativa: (⏊) ⏊ = ⏊(⏊)

(; ⏊)

GRUPPO: è un gruppo se e solo se rispetta le seguenti proprietà:

‘’’’

1. Esiste un ed è appartenente ad tale che x composto e= e composto x

∃ ∈ : ⏊ = ⏊ =

2. Qualsiasi x appartenente ad S esiste una x appartenente ad S tale che:

∀ ∈ ∃ ∈ : ⏊’ = 13

’⏊ =

⏊ = ⏊

Un gruppo si dice commutativo o abeliano se

CAMPO (, +,∙)

Una struttura algebrica è un campo:

(; +)

o Se è un gruppo abeliano;

(\{0} ∙)

o Se è un gruppo commutativo;

( + ) = + .

o Vale la proprietà distributiva:

RELAZIONE D’ORDINE TOTALE (; ≤)

Supponiamo di avere un insieme S con una relazione d’ordine.

(; ≤)

si dice totalmente ordinato se e solo se qualsiasi appartenente ad risulta a minore o uguale

.

di e minore o uguale di sono quindi confrontabili:

∀, ∈ ≤ ≤

MASSIMO E MINIMO DI UNA FUNZIONE

∈

rispetto alla relazione d’ordine se e solo se per qualsiasi x appartenente ad

è il MINIMO è

:

minore o uguale di ∀ ∈ ≤

∈

rispetto alla relazione d’ordine se e solo se per qualsiasi x appartenente ad

è il MASSIMO è

maggiore o uguali di x: ∀ ∈ ≥

Un insieme S si dice BEN ORDINATO se ogni suo sottoinsieme è dotato di minimo.

MAGGIORANTE E MINORANTE ⊆ .

Dato un insieme S con una relazione d’ordine totale e un sottoinsieme 14

∈ ≤ .

è un MINORANTE di A se e solo se qualsiasi a appartenente ad A risulta

∈ ≥ .

è un MAGGIORANTE di A se e solo se qualsiasi a appartenente ad A risulta Con il

maggiorante, a differenza del massimo, non sappiamo se esso appartenga ad A. Possiamo avere infiniti

maggioranti, ma un solo massimo e un solo minimo.

-Dimostriamo che il minimo è unico ₁ ₂ .

Procediamo per assurdo, ovvero immaginiamo due minimi ed appartenenti ad

∀ ∈ ≤ , ₂ .

La definizione di minimo &egra