Analisi 2, prof. De Maio Umberto

Successioni di funzioni

Una funzione che va da un insieme equipollente di ℝ ad ℝ

Convergenza puntuale su x → f_μ(x) μ ∈ ℕ. La successione f_μ(x) converge puntualmente ad f_μ ↔∀ x ∈ D ∀ ε > 0 ∃ m₀ ∈ ℕ : ∀ μ > m₀ |f_m(x) - f(x)| < ε.

Continuità

La convergenza puntuale non conserva la continuità.

Limitatezza

La convergenza puntuale non conserva la limitatezza.

Derivabilità

La convergenza puntuale non conserva la derivabilità.

f_m(x) &rightarrow; f(x) x ∈ D.

Integrabilità

La convergenza puntuale non conserva l'integrabilità.

f_m(x) &rightarrow; f(x) con x ∈ [a, b].

Successioni di funzioni

Una funzione che va da un un insieme equipollente di R a R

D: insieme dei numeri reali.

R: codominio.

Se alla x assegno un valore reale essa è detta successione numerica.

Convergenza puntuale

La successione f_n(x) converge puntualmente ad f_μ ∀ x ∈ D, lim_μ^μ f_n(x) = f(x) ∀ x ∈ D, ∀ ε > 0, ∃ m₀ ∈ N : ∀ μ > m₀.

Continuità

La convergenza puntuale non conserva la continuità.

Limitatezza

La convergenza puntuale non conserva la limitatezza.

Derivabilità

La convergenza puntuale non conserva la derivabilità.

_fm(x) -> f(x), x ∈ D, _fm(x) ⤧ f'(x).

Integrabilità

La convergenza puntuale non conserva l'integrabilità.

_fm(x) -> f(x), con x ∈ [a, b], ∫_a^b _fm(x) ⤧ ∫_a^b f(x).

Convergenza uniforme

f_n → f. f_n converge uniformemente ad una funzione f in D ↔∀ ε > 0 ∃ m ∈ N ∀ x ∈ E I_m, ∀ m > m', |f_n(x) - f(x)| < ε.

ε non dipende da x, m' dipende da ε e non da x. |f_n(x) - f(x)| < ε ∀ x ∈ E D. sup |f_m(x) - f(x)| < ε ↔ sup_D |f_m(x) - f(x)| = → lim sup_D |f_m(x) - f(x)| = 0.

Convergenza uniforme ⇒ convergenza puntuale

f_n → f, n → f_n → f(x) → f(x) in D. Ma non vale il viceversa.

Una funzione f ∈ C^(k) (D) (avvero appartiene all'ordine m), se la funzione f e tutte le sue derivate fino all'ordine k appartengono.

Metodo di convergenza puntuale

lim |f_m| → l ∈ E IR. La funzione converge puntualmente ad l.

Metodo di convergenza uniforme

lim sup |f_m(x) - f(x)| | x ∈ E| → 0

1. Convergenza puntuale → lim |f_m(x)| = l ∈ IR.
2. Oppia = f(x).
3. f_m(x)f(x) = q(x).
4. 0 < lim sup_D |f_n(x) - g(x)| < lim maggiore [q(x)] ↔ = ⇒ max = e lim maggiore (D).
5. lim |f_m(e)| = |f(e)| = 0 → sup = 0.

Successione di Cauchy

(a_n)_n∈&Nopf; è una successione di Cauchy ↔ ∀ ε > 0 ∃ m₀ :∀ m,n ≥ m₀ |a_n - a_m| < ε.

Teorema

Se a_n è una successione di Cauchy ⇒ a_n converge. Successione di Cauchy = successione convergente.

Teorema di Cauchy

Se f_n, f : &Ropf; ⇒ &Ropf; allora f_n converge uniformemente in D ∀ ε > 0 ∃ m₀ ∈ &Nopf; : ∀ m,n ≥ m₀ |f_n(x) - f_m(x)| < ε   ∀ x ∈ D.

Dimostrazione

1. Hp) lim f_m=f   ∀ ε > 0 ∃ m₀ ∈ &Nopf; : ∀ m ≥ m₀ |f_m(x) - f(x)| < ε   ∀ x ∈ D.
2. Fisso un ε > 0 ⇒ ∃ m₀ ∈ &Nopf; : ∀ m ≥ m₀ |f_m(x) - f_m(x)| < ε.
3. |f_n(x) - f(x) + f(x) - f_m(x)| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |f_m(x) - f(x)| ≤ 2ε.

Lim puntuale (?) = lim ∃ n₀ : ∀ m,n ≥ m₀ |f_n(x) - f_m(x)| < ε   ∀ x ∈ D ∃ = numero.