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Successioni di funzioni
Una funzione che va da un insieme equipollente di R ad R
F { fµ : D -> R } con D ⊆ R
f : N -> F
f(m) -> fµ
D : insieme dei numeri reali R : codominio
Se alla x assegno un valore reale essa è detta successione numerica.
Convergenza puntuale
fµ : D -> R
x -> fµ(x) µ ∈ N
La successione fµ(x) converge puntualmente ad fµ
∀ x ∈ I limµ fµ(x) = f(x) ∀ x ∈ I ∀ ε > 0 ∃ m0 ∈ N : ∀ m ≥ m0
|fm(x) - f(x)| < ε
Continuità
La convergenza puntuale non conserva la continuità.
Limitatezza
La convergenza puntuale non conserva la limitatezza.
Derivabilità
La convergenza puntuale non conserva la derivabilità.
fm(x) -> f(x), x ∈ D f'm(x) ≯ f'(x)
Integrabilità
La convergenza puntuale non conserva l'integrabilità.
fm(x) -> f(x) con x ∈ [a,b]
∫ab fm(x) ≯ ∫ab f(x)
Convergenza uniforme
fm↦D↦R
fm converge uniformemente ad una funzione f in D ⇔ ∀ε>0 ∃m̂ ∈ N ∀x ∈[a,b], ∀m ≥ m̂, |fm (x) - f(x)| < ε
ε non dipende da x, m̂ dipende da ε e non da x
|fm (x) - f(x)| < ε ∀x ∈ E
sup (|fm (x) - f(x)|) < ε
lim supm [fn (x) - f(x)] = 0
CONVERGENZA UNIFORME ⇒ CONVERGENZA PUNTUALE
Una funzione f ∈ Ck(D) (ovvero appartenere all'ordine m),
Se la funzione f e tutte le sue derivate fino all'ordine k app sono continue.
METODO DI CONVERGENZA PUNTUALE
lim fm (x) = l ∈ R
La funzione converge puntualmente ad l.
METODO DI CONVERGENZA UNIFORME
lim sup[|fm (x) - f(x)|, x ∈ E] = 0
- convergenza puntuale ⇒ limm fm (x) = l ∈ R appx = f(x)
- fm (x) f(x) = q(x)
- >|q(x)| = >max=ε lim maggiore min=0
- lim sup |fm (ε) - f(ε)| = 0 => sup=0
x = x0 < b-a
∀ε > 0
|fm(x) - f(x)| ≤ ε + ε (b-a)
lim fm (x) = f(x)
lim |fm (x) - f(x)| ≤ ε (b-a)
lim |fm(x) - f(x)| ≤ ε b-a
lim |fm(x) - f(x)| = fm = f
Dimostrazione 2
lim f(t)=Φ (x)
∀t, x ∈ E (a,b)
lim f(m) (t) = lim f(m)(x)
t→x t→x
lim f(m)(t) - lim f(m)(x) = lim f(m)(x) = Φ (x)
t→x t→x
Intercendo i limiti questi devono essere uguali
lim lim f(t), lim lim f(t) f(x), f(x) = f(z)
t→x ->x -> x
Criterio Integrabilita Secondo Riemann
∀ ε > 0 particomla Pε ∈ (a,b)
S (Pε f) - s (Pε f) < ε
={x0,xn= b}
S (Pε f) = ∑ max ( x?
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