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INTRODUZIONE DI FUNZIONI
DEFINIZIONE
X INSIEME
d: X x X -> R FUNZIONE DISTANZA
OSSERVAZIONE
- CONSIDERIAMO Rm
- quello che definiamo o METRICA su Rm
- SIA
d_1 (x,y) = |x-y|
- d_1 é DISTANZA EUCLIDEA
d_m: Rm x Rm -> R
(x,y) -> [(Σk=1m |x_k - y_k|)1/2]
B_2(y,r) = B_2(0,1) = {x | x_1 + |x2| < 1}
QUINDI, APPARE 1/2... LA BORDA È...
Sa PεR2 -> P=(x_1,x_2) -> x_2+y2 ≤ 1
B_2(1,1) = PεR2 | x_1 + |y| ≤ 1
y < x < 1
é UNA BORDA POLARE
d_∞(x,y)=max{|x_i - y_i|, i=1,..,m}
Sa PεRm -> Pε(x,y)
B_0(y,r)=B_0(0,1)={max |xi - yi|}
B_∞(0,1)={PεRm| max |x_i|, |y_i| ≤ 1}
Esempio
A ⊂ Rm
- chiuso → limitato ( → compatto)
C(A) = C0(A) = {f: A → R, f continua in A} spazio delle funzioni continue
Definisco d: C(A) × C(A) → R+
- d(ƒ, g) = maxA |ƒ(x) - g(x)|; è una distanza uniforme.
- R ben definito poiché nel vettore è un uno per max |ƒ(x) - g(x)|A
- Rispetta le proprietà
- d(ƒ, g) ≥ 0 poiché il massimo è elemento maggiore o uguale a 0
- d(ƒ, g) = 0 ↔ maxA |ƒ(x) - g(x)| = 0 ↔ ƒ(x) - g(x) = 0 ∀x ∈ A
- d(ƒ, g) = 0 ↔ ƒ = g
- d(ƒ, g) = maxA |ƒ(x) - g(x)| = maxA |g(x) - ƒ(x)| = d(g, ƒ)
- d(ƒ, g) ≤ d(ƒ, h) + d(h, g)
|ƒ(x) - g(x)| ≤ |ƒ(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|; ∀ x ∈ A la relazione è rispettata per un vettore.
maxA |ƒ(x) - g(x)| ≤ maxA {|ƒ(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|}
≤ maxA {|ƒ(x) - h(x)|} + maxA {|h(x) - g(x)|}
d è una distanza; C(A), d, è uno spazio metrico.
- A ⊂ Rm compatto
- Cb(A) = Cb(A) = {g ∈ C(A), g limitata su A}
- Definisco d: C0(A) x C0(A) → R+
- d(ƒ, g) = supA |ƒ(x) - g(x)|
- d ben definita poiché ƒ e g limitate, allora l{supA |ƒ(x) - g(x)|}
- d è una distanza;
- (C0(A), d), è uno spazio metrico.
A ⊂ Rm compatto
C1(A) = {f; A → R; ƒ continua e derivabile con continua.
Def n(x) successione di funzioni n: A⊆R
fn: A -> R funzione
(fn) converge uniformemente a f(x)
∀ε >0 ∃(n=.(ε) >0 t.c. ∀n≥m si ha
|fn(x)- f(x)| < ε ∀x∈A
(occorre sino a sup x∈A |fn(x)- f(x)| |< ε|)
Oss.
- La definizione si può riscrivere con la definizione di limite uniforme,
quindi,
fn => f lim n -> ∞ sup x∈A |fn(x)-f(x)|=0
- Nemco nella convergenza puntuale hm(x) ∀x & ∀ε anche ∋∃m=.(x, ε)
- Se A è compatto e fn è continua al passo ne sup si puo
sostituire max x∈A
(fn(x)) convergono uniformemente a f(x) => fn(x)) converte puntuale a f(X)
anche la convergenza uniforme si può...
Esempio: Ver(umane)?
- fn(x)= xn x∈(0,1) allora ?fn=f in (0,1)? NO
infatti:|fn(x)-f(x)| ∃mn=log ε -> -∞ quando non si este
mn(x,ε) log x x->1^
- fn(x)=xn x∈[0,a}, 0 log ε'+ log d n >0
=> log ε
-|log|x||log|x
mn(ε)>0 + log n a
quindi
fn=f=0 in [0,a] O
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