Analisi I - Riassunto completo + Geometria

NOZIONI PRELIMINARI

funzioni da sapere a memoria:

 Equazione di una retta qualunque:

  in cui a è il coefficiente angolare e b l’intercetta, ovvero il punto di incontro tra la funzione

y ax b

e l’asse delle ordinate. Il punto d’incontro della retta con l’asse delle ascisse è determinato dalla

 b



soluzione dell’equazione associata alla funzione: x a





a tg

 Equazione di una retta passante per due punti:

  

  y y y

y y x x   

 

 

 

0 0 y y

( x

x x y

) y x

  

  0 0

0 0

x x x

y y x x

1 0 1 2

quindi il coefficiente angolare è il rapporto tra l’incremento della variabile indipendente e

l’incremento della variabile indipendente.



se l’incremento è del 100% (esempio di inclinazione di una strada)

a 1

  è l’equazione della famiglia di rette parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

y x b

 Equazione dell’iperbole equilatera più semplice:

1

 è una funzione dispari, ovvero è simmetrica rispetto all’origine degli assi. Quindi basta studiare

y x

il suo andamento in un quadrante per capire anche quello nel quadrante opposto.

k



 è una famiglia di iperboli equilatere con centro nell’origine.

y x

 Equazione della parabola più semplice:

 è pari e ha la concavità rivolta verso l’alto. Se il coefficiente di è positivo la concavità è

2

2 x

y x

rivolta verso l’alto, se è negativo la concavità è rivolta verso il basso.

 è una famiglia di parabole. Al variare di cambia la velocità con cui la parabola cresce, quindi

2 a

y ax   

la sua concavità. Se a 0 y 0

 Equazione di una parabola qualunque:

   in cui rappresenta l’intercetta, le intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse

2 c

y ax bx c   

2

b b 4 ac

  

2

sono determinate dalle soluzioni dell’equazione :

ax bx c x

1

, 2 2 a

 

  

2

b b 4 ac

 

il vertice sta nel punto ;

 

 

2 a 4 a



 è una famiglia di parabole con vertice nell’origine degli assi

2

y ax 

 

 è una parabola avente vertice nel punto che interseca l’asse delle ascisse nei punti

2 ( 0

; c )

y x c

 , soluzioni dell’equazione associata alla funzione

c   



 è dispari perché

3 f ( x ) f ( x )

y ax

 Equazioni di iperboli particolari:

1

 non è né pari (ovvero simmetrica rispetto all’asse delle ordinate) né dispari e il suo

y 

x 1 1







andamento a equivale al comportamento a della funzione . È quindi la stessa

y

x

x 0

1 x

funzione traslata di +1

1



 è pari

y 2

x

1



 è dispari

y 3

x 

x 1



 non è né pari né dispari, infatti è simmetrica rispetto al punto all’aumentare di il

y (

1

;

1

) x



x 1

rapporto tra il numeratore e il denominatore diventa sempre minore, tendendo perciò a 1; viceversa,

tendendo a 1 il denominatore tende a 0, quindi la funzione tende ad infinito.

x

1



 è pari e non è un’iperbole

y  2

1 x

 

 è definita solo per

y x x 0

 



0 x 0



 è definita su tutto R



y  

 x x 0 1 

    



 con

a a n , n Z

y x n 

In questa funzione si osserva il variare della funzione al variare di a.

a

y x

      

- è una parabola simile a . Per la parabola di grado maggiore

2

a 1 a 2 k f ( x ) y x 0 x 1



sta sotto a quella di grado minore, viceversa per . La funzione è pari.

x 1

       

- è una funzione simile a . Per la funzione di grado

3

a 1 a 2 k 1 f ( x ) y x 0 x 1



maggiore sta sotto a quella di grado minore, viceversa per . La funzione è dispari.

x 1

    

- è una funzione simile a . È definita solo per e la funzione di grado

0 a 1 f ( x ) y x x 0



maggiore sta sopra a quella di grado minore, viceversa per .

x 1

1



       

- è simile a quindi è sempre positiva. Per la funzione di

y

a 1 a 2 k f ( x ) 0 x 1

2

x 

grado maggiore sta sotto a quella di grado minore, viceversa per . La funzione è pari.

x 1

1



        

- è un’iperbole simile a . Per la funzione di grado

y

a 1 a ( 2 k 1

) f ( x ) 0 x 1

x



maggiore sta sopra a quella di grado minore, viceversa per . La funzione è dispari.

x 1

1

      

- è una semi-iperbole che sta solamente nel primo quadrante. Per

1 a 0 2 k f ( x )

a

 

 la funzione di grado maggiore sta sopra a quella di grado minore, viceversa per .

0 x

x 1

1 1 1

    

     

- è un’iperbole simile a . Per la funzione di grado

1 y

a 0 ( 2 k 1

) f ( x ) 0 x 1

a x



maggiore sta sopra a quella di grado minore, viceversa per . La funzione è dispari.

x 1

x x

x 1

 

  

 è dispari e per ,

y x 

 2 2

2 x

1 x

1 x

x   

Inoltre: il numeratore cresce più del denominatore, altrimenti cresce di più il

0 x 1

denominatore. 

 

Si nota che per la funzione che rappresenta il

y x

0 x 1

numeratore è maggiore della funzione denominatore, quindi

da 0 a 1 il grafico della funzione sarà crescente, mentre dopo

uno la situazione si inverte e il grafico della funzione sarà

discendente.

N.B. Il prof Piazza dice di “usmare” la funzione, in modo

spannometrico e intuitivo.

1



 è pari

y  2

1 x

 

   

2

x 1 1 x 0

 

   

2

x 1 1 x 0

 

 con

a

y x a R

 

 con

x

y a a 0

 

x

x 0

0

  

a 1 x

1 a

 0

x

a

  

0 a 1 x

1 a 0

 

 x

a



 è pari

y x

 

 y Logx log x

10



 y ln x   

Al diminuire della base la curva logaritmica è maggiore per e minore per

x 1 0 x 1

INSIEMI

N: interi naturali

Z: interi relativi

Q: razionali

I: irrazionali

R: reali

C: complessi

        

Z { z : n R z n z n

}

z

     

1

Q {

q : q z 0 z , z Z }

2 1 2

z 2

DIMOSTRAZIONE DELL’ESISTENZA DEI NUMERI IRRAZIONALI

Dimostrazione per assurdo.

p



Ipotesi: 2 q



Tesi: 2 Q

Dimostrazione: 

 ; ;

2 2

2 q p

q 2 p

è pari, poiché, se esso equivale ad un numero moltiplicato per 2, esso deve necessariamente essere pari

2

p 

(numero pari: );

a 2

k

   

p è pari ;

k Z | p 2 k

 

; ; è pari; p è pari;

2 2 2 2

2

2

q 4

k q q

2k p

ma se p e q sono pari, allora non è una frazione ridotta ai minimi termini, quindi non può essere espresso

2

q  

da una frazione ridotta ai minimi termini CVD

2 Q

ALCUNI SIMBOLI E PROPRIETÀ

   

2

A { x | x k k N }

    

B { y | y 2 k 1 k N }

  insieme universo

       

A | A x A x

    

A B x A x B

      

A B A B ( A B A B )

 

A \ B A B

    

A B ( A \ B ) A

    

A B A \ B A

    

A B {( x , y ) | x A y B

}

m      

   intersezione di tutti gli insiemi presenti nell’insieme M {

m | i m B }

B

M B i

i

i



i 1

o     

   unione di tutti gli insiemi presenti nell’insieme O {

o | i , o B }

B

O B i

i

i



i 1      

Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione A ( B ) ( A B )

i i

     

Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione A ( B ) ( A B )

i i

     

A ( B C ) ( A B ) ( A C )

Esempio:      

A ( B C ) ( A B ) ( A C )

OPERAZIONI IN UN INSIEME E LORO PROPRIETÀ

Se in un insieme, per esempio nell’insieme Q, inserisco due operazioni binarie, che posso chiamare in qualsiasi

modo, in questo caso “somma” (+) e “prodotto” (·), stabilisco una relazione per la quale, presi due elementi

   

dell’insieme Q , ( x , y ) Q Q x * y Q

Esistono 9 proprietà delle operazioni in un insieme:

+ x



  

1. Commutativa xy yx

x y y x  

       

2. Associativa ( xy ) z x ( yz ) xyz

( x y ) z x ( y z ) x y z

  

3. Distributiva x ( y z ) xy xz 

 

4. Esistenza dell’EN xEN x

x EN x  

1

   

 

5. Esistenza inverso x ( x ) EN x EN

 

x



per somma

x EN     

6. Transitiva x y y z x z

dell’ordinamento  



7. Tricotomia aut aut

x x

x y y

y

      

8. Compatibilità dell’ord. x y z Q x z y z

rispetto alla somma    

9. Compatibilità dell’ord x y , z | 0 z xz yz

rispetto al prodotto

Un insieme nel quale valgano le prime 5 proprietà si dice campo. Un insieme nel quale valgano tutte le 9

proprietà si dice campo ordinato. Q è un campo ordinato.

ALCUNE PILLOLE  



n   n n 1

      

k 1 2 3 ... n 2



k 1   

 

n n n 1 2 n 1

 

2

k 6



k 1  

n

n

   

 

 

3 k n k

a b a b

 

 

k



k 0

 

n n

!

  

   



 

k k ! n k !



0

! 1

 

n

   1

 

 

n

 

n

   1

 

 

0

SUCCESSIONI

Poniamoci il problema di capire quanto valga il numero e. Esso, per definizione, è dato dalla seguente formula:

 

n

 

1  

  

  forma di indecisione

e lim 1 1

 

  n

n

Questo numero non fa parte di Q, ma di I, e più precisamente si tratta di un numero trascendente, come, per



esempio, . Ricordiamo che dell’insieme I fanno parte tutti i numeri irrazionali che sono soluzioni di polinomi di

grado n e i numeri trascendenti, che non sono soluzione di alcun polinomio.

  1

 

Ora poniamo Questa è l’equazione di una successione che dipende dalla variabile indipendente

f n a a

n n

n

n. Come esplicitato nella formula, una successione si comporta in modo molto simile ad una funzione, con la





differenza sostanziale che il grafico di una successione si sviluppa solo su valori di .

n Z

1



Vediamo che l’andamento del grafico di risulta essere molto simile a

a n n

  1

 . È importante notare che il grafico di una successione si studia solo per

f x x 1 

valori di n interi positivi. Dal grafico si deduce che lim 0

n





n

n

 

1

 

 

lim 1 e

 

n

 

n  

Entrambi i grafici tendono a un numero finito per . Questo tipo di successioni si dice “successione

n

convergente”. 

a sin n

  n



f x sin x   

Questo grafico invece rappresenta una successione indeterminata, legata al grafico periodico di .

f x sin x

Esistono quindi 3 tipi di successioni: Indeterminate Convergenti

Divergenti (vanno all’infinito all’aumentare di n)

LA LOGICA DELLE PROPOSIZIONI

Una proposizione è una frase di cui si possa stabilire se è vera o falsa. 



Date due proposizioni si indica con la loro negazione, con la congiunzione tra le due, con p

p

p, q q

q

p, q 



la disgiunzione, con l’implicazione e con la doppia implicazione. Vediamo una tabella in cui si

p q

p q

riassumono i valori di questi connettivi. 

 



p p

q q

p q p

p q q

V V V V V V

V F F V V V

F V F V Vx F

F F F F V V

I cosiddetti “predicati” sono delle particolari proposizioni che dipendono da una variabile x e si indicano con

  . Quando alla variabile si sostituisce un valore il predicato diventa una proposizione.

P x    

   

Per esempio: P x x R x 4  

  

Due simboli particolari: quantificatore universale x, P x  

  

quantificatore esistenziale x | P x

    

  

     

Le loro negazioni: es. tutti hanno fame. Neg. Esiste uno che non ha fame.

x

, P x x

, P x x | P x

   

  

x | P x x , P x

LA COMPLETEZZA DI R 

  

Se consideriamo un insieme e due elementi allora:

k , h R

A R A R     k è maggiorante di A

x , x A | x k

    h è minorante di A

x , x A | x h

 



Es. consideriamo l’intervallo A 0

;

1 In questo intervallo, 1 è maggiorante esterno ad A e 0 è minorante interno.

Inoltre per ogni intervallo è possibile studiare l’esistenza di un massimo e di un minimo:

     

max A M | M A x A

, x M

     

min A m | m A x A

, x M

 

Es. non ha né max né min

0

;

1

  ha min= 0 e non ha max

0

;

1

Ora prendiamo in considerazione l’insieme Q dei numeri razionali e stabiliamo in esso due insiemi:

  



 

    

2

A x | x 0 x 0 | x 2 

con

  

 x , y Q

 

   

2

B y | y 0 y 2 

  

    

 : per perché y 0

x

x A 0

y , y

B y x

x    

per perché 2 2

x 0

, y x x 2 y

    

2 2

x 2 y x 2 y

B contiene tutti i maggioranti di A e A contiene tutti i minoranti di B.

 

A B Q

Esiste il punto che non è contenuto né in A né in B. Esso quindi non appartiene a Q.

2 

È quindi necessario introdurre il concetto di numero reale, più ampio di numero razionale: Q R

Proprietà della completezza di R:

   

10) Completezza: è l’insieme dei maggioranti di A, B ha minimo R è completo.

A , A R , B

Se considero un qualsiasi sottoinsieme di R non vuoto e l’insieme dei suoi maggioranti, allora l’insieme dei

2 min B

maggioranti deve ammettere minimo in R. Infatti in R: in cui sup indica l’estremo superiore

2 sup A

L’INSIEME C DEI NUMERI COMPLESSI

Ricordiamo il concetto di prodotto cartesiano tra insiemi:



    con genera un sottoinsieme del piano cartesiano

2 A

, B R

A B R R R

Gli intervalli considerati possono essere chiusi o aperti, con gli esterni compresi o meno.



   

 

  



 

Es. 5

5 0

;

; 6

6 ;

1

0 0 R

; ;

1

1

L’insieme C dei numeri complessi comprende coppie di numeri reali , tali che

R R

   ha soluzione}

2

C {

x | x 1 0

  

a , b x

1

  

c

, d x 2      

     

x x a , b c

, d a c

, b d

1 2

Operazioni somma e prodotto in C:     

   

x x a , b c

, d ac bd , ad bc

1 2  

Valgono le proprietà commutativa, associativa e distributiva. L’elemento neutro rispetto alla somma è 0

,

0

 

l’elemento neutro rispetto al prodotto è .

1

,

0 

 

a b

 

L’inverso rispetto alla somma è l’opposto, mentre l’inverso rispetto al prodotto è ;

 

 

2 2 2 2

a b a b

Quindi C è un campo. Non ha senso parlare di ordinamento in C poiché non si tratta di un insieme

   



rappresentabile su una retta, ma solo in un piano. non ha senso

a

; b c

; d

        

       

Esiste i