Analisi I - Riassunto completo + Geometria

Formattazione del testo

F V V VF F V V    p q p q p q     x , p x x | p x     x | p x x , p x     x , y | p x , y x | y , q ( x , y )      insieme dei maggioranti di A.A R; B b | a A, a bsi dice estremo superiore di A ( ) il minimo maggiorante di Asup Asi dice estremo inferiore di A ( ) il massimo minorante di Ainf A     sup A A sup A max A A a; b   sup A A A a; b      inf A A inf A min A A a; b   inf A A A a; bCOMPOSIZIONE DI FUNZIONI       fx D X f x y imm YDate due funzioni f e g:   gy g y K          La composizione delle due funzioni è: f gf g : x f x y g y g f xAffinché la composizione abbia soluzione deve avvenire che g sia definita nell’immagine di f, poiché f genera un valore che sta in , il quale

è l’argomento della funzione g.imm f

A volte è necessario considerare un dominio diverso dal campo di esistenza della prima funzione affinché possa   essere definita la seconda. Due funzioni non componibili si indicano con: D g f 3f : x x : R REs. di conseguenza non si può considerare tutto il campo reale come dominio, ma  g : y ln y : R R solamente l’insieme dei reali positivi. Posto come dominio , la funzioneR    3f g g f x ln xPer la composizione di funzioni vale la proprietà associativa:      h g f h g fMentre non vale la proprietà commutativa: f g g fFUNZIONI MONOTONE   è monotona crescente se mantiene l’ordinamento, è monotona decrescente se non lo mantiene.f : a; b R           Crescente: x , x a; b x x f x f x1 2 1 2 1 2         

1. Decrescente: x , x a; b x x f x f x1 2 1 2 1 2
2. Una funzione che presenti tratti costanti (orizzontali) non è né monotona crescente né monotona decrescente.
3. In generale, una funzione monotona mantiene l'ordinamento su tutto il suo CE, quindi cresce o decresce sempre.
4. ∀x ∈ ℝ ∧ x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
5. Una funzione non è monotona.
6. f | x , x a; b x x f x f x1 2 1 2 1 2
7. f g g f
8. monotona crescente monotona crescente monotona crescente
9. monotona crescente monotona decrescente monotona decrescente
10. monotona decrescente monotona crescente monotona decrescente
11. monotona decrescente monotona decrescente monotona crescente
12. FUNZIONI INIETTIVE →
13. ∀x,y ∈ ℝ → x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)
14. Una funzione si dice iniettiva quando, ad una sola x, corrisponde una ed una sola y e ad una sola y corrisponde una ed una sola x.
15. In altre parole, una funzione iniettiva soddisfa il test delle rette orizzontali ed è per questo monotona.
16. Per esempio, la funzione non

è iniettiva se considerata su tutto il suo CE, ma diventa iniettiva se la si considera solo in un dominio. La retta invece è una funzione iniettiva se non è ortogonale a uno degli assi.

FUNZIONI INVERSE:

Una funzione ha il suo inverso solo se è iniettiva.

è iniettiva: f(x) : a; b → R

f(x) : R → a; b

f^-1(x) = f(x)

f : D → imm D

f^-1 : imm D → D

f(x) = y; g(y) = x

g(f(x)) = x

Consideriamo ora anche g non più in funzione di y, ma in funzione di x.

g(f(x)) = x

Es. con f(x) = 2x, è iniettiva, quindi esiste l'inversa.

f(x) = 2x

f^-1(x) = 1/2x

LIMITI:

Dato ε un intorno di 0, deve essere aperto, se fosse chiuso,

l'intorno non potrebbe stare in .U a;a; b bb    x a; b | f x y   la x trascina la y fino a L.lim f x Lx x0             

Definizione di limite: 0 0 : x x f x L0                    

quindi al diminuire di diminuisce anche : 0 0 : x x x L f x L0 0            

Se la definizione di limite è , allora la negazione è:0 0 : x x f x L0            0 : 0 : x x f x L0 

I limiti possono sussistere per valori che tendono al valore da destra o da sinistra .x x x 000

Teorema:    il limite è unico.lim f x Lx x0                 

Es. ; lim f x 0 0 : x 1 f x 1f x x x 1      

Osserviamo che dipende da :        

0x x0               in questo caso è asintoto orizzontale.

lim f x L 0 k 0 : x k f x L y L ∞x     ∞      lim f x h 0 k 0 : k x h∞x         lim lim limf x f x L f x L    x xx x x x 00 0

Non sempre il limite di una funzione esiste, infatti alcune funzioni, per x che tende ad un particolare valore, non hanno un limite definito, ma una classe limite (un insieme di valori a cui tendono): per esempio [−1, 1] assume infiniti valori tra -1 e 1: la sua classe limite è 1; lim sin x ∞x [−1, 1] assume infiniti valori tra -1 e 1: la sua classe limite è lim 1;1sin xx 0       

Se in una funzione allora la funzione si dice continua in , altrimenti ha una discontinuità eliminabile in , ovvero, la funzione si può considerare lim lim x ff x f x f x 00  x x x x0 0

moltiplico per : ;sin x 0 1sin x sin x cos xsin x   ma per la funzione “schiaccia”cos xx 0cos x 1xsin x contro CVDy 1x cos xx 1   lim 1 exx 0 1 cos x  poichélim 0xx 0    2 21 cos x 1 cos x sin x sin x 1 1        lim lim lim lim sin x 1 0 0        x x 1 cos x x 1 cos x x 1 cos x 2   x 0 x 0 x 0 x 0FUNZIONI ILLIMITATE, LIMITATE E OSCILLANTI   Dato un intervallo e una crescente in si presentano due possibilità:f a,a, x bb