Analisi I ed Algebra lineare

Disequazioni irrazionali:

• n pari / n dispari
• h dispari
  • ⎧ f(x) < [g(x)] ⁿ
• h pari
  • ⎧ β(x) > 0
  • ⎧ g(x) > 0
  • β(x) < [g(x)] ⁿ
• h dispari f(x) > [g(x)] ⁿ
• h pari
  • ⎧ β(x) > 0
  • ⎧ g(x) > 0
  • ⎧ g(x) < 0 ∪ β(x) > [g(x)] ⁿ

Trigonometria

x² + y² = 1 circonferenza goniometrica

cos x = ^OH/_OP

sen x = ^PH/_OP

Formula di addizione e sottrazione:

• cos (β - α) = cosβ cosα + senβ senα
• cos (β + α) = cosβ cosα - senβ senα
• sen (β - α) = senβ cosα - senβ cosα
• sen (β + α) = senβ cosα + senβ cosα
• tg (α + β) = ^{tgα + tgβ}/_{1 - tgα tgβ}
• tg (α - β) = ^{tgα - tgβ}/_{1 + tgα tgβ}

Formule di duplicazione:

• sen2α = 2senα cosα
• cos2α = cos²α - sen²α

Formule parametriche:

• sen x = ^2t/_{1 + t²}
• cos x = ^{1 - t2}/_{1 + t²}
• tg x = ^2t/_{1 - t²}
• tg ^x/₂ = t

Numeri Complessi

C = ℝ × ℝ = {(a, b) | a, b ∈ ℝ} ossia C è definito dal prodotto cartesiano ℝ × ℝ

z = (a, b) ossiano un suo generico numero

Siano:

• z₁ = (a₁, b₁)
• z₂ = (a₂, b₂)

definiamo somma + :

< C × C ⟶ C

• (z₁, z₂) ⟼ z₁ + z₂
• z₁ + z₂ = (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂; b₁ + b₂)

osserviamo che (C, +) è un gruppo abeliano

Proprietà Gruppo Abeliano:

1. Associativa: z₁ + z₂ + z₃ = (z₁ + z₂) + z₃
2. z + 0 = z. O = (0, 0) elemento neutro
3. ∀ z ∈ C, ∃ z' : z + z' = z' + z = 0 dove z = (a, b) z' = (−a, −b)
4. ∀ z₁, z₂ ∈ C z₁ + z₂ = z₂ + z₁

Definiamo prodotto :

< C × C ⟶ C

dati z₁ = (a₁, b₁) z₂ = (a₂, b₂)

Definiamo:

• z₁ • z₂ = (a₁, b₁)(a₂, b₂) = (a₁ a₂ − b₁ b₂; a₁ b₂ + b₁ a₂)

(C - {(0, 0)}, •) gruppo abeliano

Punto di Accumulazione:

f: X → ℝ

x₀ ∈ ℝ

x₀ è punto di accumulazione ⇔ ∀ I_δ(x₀), I_δ ∩ X - {x₀} ≠ ∅

Definizione Limite

f: X → ℝ ∪ ℝ

x₀ punto di accumulazione per X

lim x→x₀ = l

lim x→x₀ f(x) = l ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈I_δ(x₀) ∩ X - {x₀}: |f(x) - l| < ε

lim x→x₀ f(x) =  -∞ 3   l 1   +∞ 2

1. ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈I_δ(x₀) ∩ X - {x₀}: |f(x) - l| < ε
2. ∀M>0 ∃δ_M>0 : ∀x∈I_δ_M(x₀) ∩ X - {x₀} f(x) > M
3. ∀M>0 ∃δ_M>0 : ∀x∈I_δ_M(x₀) ∩ X - {x₀} f(x) < -M

Teorema dei Carabinieri

Hip   f_j g_j h   X ⊆ ℝ → ℝ x_o punto di accumulazione per X

lim_x→xo f(x) = l = lim_x→xo g(x) = l

∃ Ɛ > 0 ∀ x ∈ X ∩ I_Ɛ (x_o) ∩ X - {x_o} f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

th lim_x→xo h(x) = l

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)            ↓            l

Dimostrazione:

1) ∀ Ɛ > 0 ∃ Ɛ>0 ∀ x ∈ I_Ɛ (x_o) ∩ X - {x_o} |f(x) - l| < Ɛ

l - Ɛ < f(x) < l + Ɛ

2) ∀ Ɛ > 0 ∃ Ɛ > 0 : ∀ x ∈ I_Ɛ (x_o) ∩ X - {x_o} |g(x) - l| < Ɛ

l - Ɛ < g(x) < l + Ɛ

th ∀ Ɛ > 0 ∃ Ɛ>0 ∀ x ∈ I_Ɛ (x_o) ∩ X - {x_o} |h(x) - l| < Ɛ

Ɛ = min { Ɛ₁, Ɛ₂ }³

l - Ɛ < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < l + Ɛ

        quindi l - Ɛ < h(x) < l + Ɛ

Successione

f: ℕ → ℝ è una funzione il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali.

(a_n) ∈ ℕ

Esempio:

a_n = 2n + 1 a_n = n + 3

(a_n)_{n ∈ ℕ} è crescente

h < m

f(n) ≤ f(m) ⇔ f(n) < f(n+1) a_n < a_n+1

Quindi

(a_n)_{n ∈ ℕ} è crescente ⇔ (a_n) ≤ a_n+1 è decrescente ⇔ (a_n) ≥ a_n+1

Nell'insieme ℕ esistono un unico punto di accumulazione che è +∞ con il suo intorno I_N; t < ∞

sup a_n

1. ∀ n ∈ ℕ a_n ≤ sup a_n
2. ∀ ε > 0 ∃ n ∈ ℕ a_n > sup a_n - ε

lim a_n { +∞ 3 l 1 -∞ 2

1. ∀ ε > 0 ∃ n ∈ ℕ: ∀ n₂, n_ε | a_n-l | < ε
2. ∀ M ∃ n: ∀ n ≥ n_M a_n > M
3. ∀ M > 0 ∃ n_M: ∀ n > n_M a_n < -M

TEOREMA DEGLI ZERI

Hip f : [a,b] → ℝ

f è continua in [a,b]

f(a), f(b) < 0

th esiste almeno un punto x₀ ∈ ]a,b[ : f(x₀) = 0

• 1 passo

f(a) > 0

f(b) < 0

se f(c) = 0 allora abbiamo trovato il punto

con f(c) ≠ 0:

se f(c) > 0 allora

a = (b - a) / 2

• 2 passo

se f(c') = 0 abbiamo trovato il punto

se f(c') > 0:

f(c') < 0:

restringiamo quindi via via l'intervallo alle vicinanze di un punto x₀ ∈ la cui immagine f(x₀) = 0

Relazione derivabilità e continuità:

• Se _{limx→x₀ f(x) = β(x₀)} → indica che è continua
• _{limx→x₀ f(x) - β(x₀) = 0}
• moltiplichiamo e dividiamo per x - x₀
• _{limx→x₀ (f(x) - β(x₀)) / (x - x₀) (x - x₀) = 0}
• f' _(x₀) = 0
• essendo derivabile f'(x) è un valore finito
• ricordando che:
• _{f(x₀ + h) - β(x₀)} con ^{h = x - x₀}
• _{f(x) - β(x₀)}
• x - x₀
• _{limx→x₀ (f(x) - β(x₀)) / (x - x₀)}

DERIVATE FUNZIONI ELEMENTARI:

• D k = 0 _{k ∈ ℝ}
• D a^x = a^x ln a
• D e^x = e^x ln e = e^x
• D xⁿ = x^n-1
• D log_ax = ¹⁄_{x ln a}
• D ln x = ¹⁄_x
• D sin x = cos x
• D cos x = -sin x
• D tg x = ¹⁄_cos²x = 1 + tg²x
• D ctg x = -¹⁄_sen²x
• D arcsen x = ¹⁄_√(1-x²)
• D arccos x = -¹⁄_√(1-x²)
• D aretg x = ¹⁄_1+x²
• D √x = ¹⁄_2√x