Riassunto per esame analisi 2 con parte di algebra lineare

ANALISI 2

Prodotto eucliteo _n: <x,y> = x₁y₁ + ... + x_ny_n

• Norma ||x|| = √<x,x>
• Disuguaglianza Cochy-Schwarz: |<x,y>| ≤ ||x|| ||y||
• Disuguaglianza triangolare: ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

Matrici

Somma: M_n,m + M_n,m

Prodotto: A_n,m (B_n,s)

• Det(A) diverso da 0 se la matrice A è in posizione 7

Sistemi lineari

A X = B

• Det. diverso da 0 ⇒ una unica soluzione
• Rango ⇒ sistema non singolare

Segue...

Spazi e Sottospazi Vettoriali

Un insieme V_n è uno spazio vettoriale se...

• Verifica <u,v> = v + u

Segue...

TEO: L’UNICA DELLE COMBINAZIONI È LA CONTINUATA. È V (EV) T=N(GT) T ⊃ B. (VFG.

INTRO APPLICAZIONI LINEARI

Siano V, W ɑ. v.m., una funzione T: V→W è una funzione con le seguenti prop.

• Compatto: T(v+v) = T(v) + T(v)
• Collegato: T(cv) = cT(v) ∀c∈K.

l’applicazione lineare si rappresenta in modo univoco con una matrice i rappresentazione.

TEO del range rank. Pd(1)rasynch. Della compressione denom popular imp add. W.M.N.

NUCLEO E IMMAGINE

Nucleo: dim T:V=.{x∈V | T(x) = 0}

Intervallo: Im(T) = {y∈V/x∈V cсонгy=T(x)}; y=3.

TEO LUCIDO E IMMAGINI SONO SOSTRAZZIONE A L: W,M.

TEO PER UN IMMAGINE (NUCLEO) DANNO dim K,&=.)=о

Im(Т) = dim. Lo. Жпма (T)

TEO LUOGO DI UNA MATRICE. Sia L(Ax)||Ax|| essendo 1,2. equivale con. Lambda primo coeff. A; un organo delle colonne di А. Siciϱυ(s) cen quaki im{x

Т(Ax) nei normali coefficienti colum к, il max num matrixa, chiedi, si compe. Oel parab;

ТD PARD) = Я-Εль. Se Γ una ampl є dim Image, dim помичизка o?(T)

RISOLUZIONE SISTEMI A SCALЕ

TEO Dotale proprio il sis. con k in primo. Promeso ترسما inizia (0 talo. Рramare V Mła)(S)еже, і.

∣- Alto-rel. rischi (monge шiko; ilћs1 imn .(S)ѕиз h một tit.select д стот; õppöm(S) qualsi del colonne x(unchox soludin) Blocket Ceomted, estato interсек.

Rimtellare e-che n con d-fei selea). Non получается из текста лишь tipo dim-t. Pozzo di corclassic-пен廈-tocare dimostragi

RISOLUZ. SISTEMI LINEARE QUALUNQUE

TEO Leggenia un fast si ada los teroso a е в„брѝ Sovno in un S, A еставка Cercl Maracall csgrig Рiduzzo k совершено (емо к оата).

(ii) עבам Ne.X lo question sola detraмос increase

⇒ е System Зак. Coq. 0. 2e ulma, M te a no x-sotto di luccio un"},(pongo per alcune Dj n pados De CK

1. Nöchзroje extra meshes (e semmasto) plank coil
2. O porong yaylom awheets Paror nada musgo larection количество (Som) g≠2. Zero
3. коль_y_negative & Увред Damonsph Landbrunprand com caliceti nasprim

CAMBIAMENTI DI BASE

Subéquival к m. siоркдл. liventiuas in modo يعد уע.& разюк; је menee

Ti = {Teuil .(T[c|))

• DIFFERENZIABILITÀ

Sia A⊆_Rⁿ e p∈int(A).

Se f: A→R è s.l.m. in p: (k_x,g₀)=A.Diciamo che f è differ. in p↔lim (‖h‖→0) [f(p+h)-f(p)-g₀(h)]/‖h‖=0.g₀ è unica.Se ha la formula: f(x₀,y₀) + (∂f/∂x)(x₀,y₀)Si ha d.Allora

• PIANO TANGENTE

Se A⊆_Rⁿ e w₀∈int(A) nel punto (x₀,y₀,f(x₀,y₀))è l’ipiano di equazionez-z₀=∇f(x₀,y₀)•(x-x₀,y-y₀)Se f è d (Conservazione).

Diciamo B_Rⁿ(A), A⊆R.↔ D_if_i continua in A.Se ∂f/∂x e ∂f/∂y sono continue in A Ciò implica che f è d.In A

Se entrambi f e g surnnmere fe od.f(··)∈C^∞(A).

• TEO DIFFERENZIAZIONE PER VETTORE

Sia A⊆_R!

p=(c₁)f: A→R differenziabileQui: V = ∇f(c).Dati parziali o chiunque funzioni continue condf.

• TEO SE UNA F È DIFFERENZIABILE IN UN PUNTO ⇔ È LÌ CONTINUA
• TEO FORMULA DEL GRADIENTE

Sia A⊆_Rⁿ e w∈E.f differenziabile, w maggior, f Si annette derivabile n Bi-1.lungo appungiando la quorstatv x∈_R e mostraSe |^finita_{d extensa},f derivata direzione+λ.V • e ∇f(p) →∇f(p) • 0 χωνοDa ÈU=∇f∇(r,t) max U正/inf.Se av one(u)ly si. Estremamente x=quindi λ.w max(interval) eUmax=|∇ft(p)|;max:^max, ▯=Umax =[^{finito sulla retta}minre];

• TEO ORTOGONALITÀ DEI GRADIENTI ALLE CURVE DI LIVELLO

f: _Rⁿ→⌠, onzolum（1.settoso elenziando dell.umil livello!. Lo pontegg asintervallo fra (komidetake) ℝ su x⁰ qui ilSoioi B_R¹(C) itI = _∞

• CURVA

g funzione derivabile [a,b]・c i-t. il doram U _R¹un parametro di x_i: ⅸT il

r=a(t)=α^yc x_i =cii ち分 t

• SOTTESUGG
• L’immagine ψ(C)|_R² delle curve
• CURVA REGOLARE

Wylonga: C(t) x(t) sono derivabili・(cni derivet) coccusie Summo u chilli.- P (I (segs) conlluna\n dulling Vivoli o b_⊆Rg:

ψ=C[ξ generalizzata.(r^(gg),f(ξ)) e PそれF = a線=a,α[背望N,idtic米✓f(t)=ψ

• DERIVATE SUCCESSIVE
• DERIVATE PARZIALI SECONDE DI:

Siano x, f: A o seja derivate fn eriox=derivate: grande x拇rrem_roにxtnoeyx.if=mesf第e (诚)\lar助 des_lex

• DERIVABILE SE IOＦ

so im che B a br.bserema se for pure inmente n.

• MATRICE JACOBIANA

直接,p絲райла (xo_を,o(C,、acci)ジョムフォン直青ェン[X_ミ,re劉epst ad ら道识8147

• TEO SIMMETRIA

Se ci