Analisi I e Geometria (prima parte)

Numeri reali

Questa sezione ha lo scopo di definire gli insiemi numerici matematici esistenti e le loro operazioni interne, ovvero le operazioni che possono essere svolte fra due numeri appartenenti a un insieme, e tali che il loro risultato sia sempre appartenente al medesimo insieme.

Numeri naturali

L’insieme ℕ è definito come l’insieme dei numeri naturali (o interi positivi). ℕ ≔ {1, 2, 3, …} Le sue operazioni interne sono la somma ed il prodotto: + ×

Numeri interi

L’insieme ℤ è definito come l’insieme dei numeri interi relativi. ℤ ≔ {0, ±1, ±2, …} Le sue operazioni interne sono somma, sottrazione e prodotto: + − ×

Numeri razionali

L’insieme ℚ è definito come l’insieme dei numeri razionali. ℚ ≔ {p/q, p, q ∈ ℤ, q ≠ 0} Le sue operazioni interne sono somma, sottrazione, prodotto e divisione: + − × ÷

Numeri irrazionali

Gli insiemi numerici ℕ, ℤ e ℚ non esauriscono tuttavia la totalità dei numeri esistenti. Si può dimostrare che particolari categorie di numeri, come alcuni numeri radicali (un esempio classico è la radice quadrata di 2) non appartengono all’insieme dei numeri razionali.

Teorema della radice quadrata di 2

Hp. Esiste una radice di 2. Ts. √2 ∉ ℚ

Dimostrazione per assurdo. Neghiamo la tesi, per poi giungere ad un risultato assurdo: √2 ∈ ℚ, ossia &exists; m, n ∈ ℤ | m/n = √2, essendo primi fra loro (ovvero non aventi MCD se non 1). Dunque è possibile scrivere: m² = 2n². Ciò significa che m è un numero pari. Dunque non abbiamo ragione per non pensare che anche n sia pari: m = 2k, con k ∈ ℤ. Dunque: m² = 4k² = 2n² implica che n è un numero pari, il che è assurdo, poiché m e n, essendo entrambi pari, hanno 2 come MCD, e non sono dunque primi fra loro. Essendo giunti ad un risultato contraddittorio, dobbiamo ritenere vera la tesi. Dunque: √2 ∉ ℚ, c.v.d.

Numeri reali

L’insieme ℝ è definito come l’insieme degli allineamenti decimali periodici e non periodici, ovvero come l’insieme dei numeri razionali ed irrazionali.

Rappresentazione decimale

La rappresentazione decimale di un numero reale (razionale o irrazionale) permette di porre tale numero in corrispondenza biunivoca con un punto di una retta data di cui sia fissata l’origine.

Rappresentazione decimale di numeri razionali

• Finità: un numero razionale ha un numero finito di cifre decimali.
• Periodicità: un numero razionale ha un numero infinito di cifre decimali.

In questo caso, se la cifra periodica è 9, il numero coincide con il primo numero decimale avente parte decimale finita dopo il numero periodico. Per rappresentare un numero decimale su una retta, si seguono questi passaggi:

• Si considera l’intervallo fra i due numeri naturali entro cui il numero decimale è compreso: 2 ≤ x < 3
• Si considera l’intervallo fra i due numeri decimali con una cifra decimale entro cui il numero decimale è compreso: 2.2 ≤ x < 2.3
• Si prosegue fino ad esaurire tutte le cifre decimali: 2.23 ≤ x < 2.24, 2.236 ≤ x < 2.237 …

Rappresentazione decimale di numeri irrazionali

Considerando un numero irrazionale, almeno in apparenza, la sua rappresentazione decimale pare impossibile: è infatti impossibile esaurire il numero di cifre decimali differenti l’una dall’altra. Questo impedisce di svolgere qualsiasi operazione, poiché non è possibile gestire il numero irrazionale e confrontarlo con altri numeri. L’unico tentativo possibile è approssimare le cifre decimali del numero irrazionale.

Consideriamo ad esempio un numero irrazionale che sia dato dalla somma di due numeri a loro volta irrazionali. Almeno inizialmente, è impossibile definire il risultato della somma, poiché è impossibile stabilire quali siano le cifre decimali, essendo esse infinite e tutte differenti. Dunque approssimiamo un decimale dopo l’altro:

• x₀ = 2 + 4 = 6
• x₁ = 2.7 + 4.2 = 6.9
• x₂ = 2.79 + 4.27 = 7.06
• x₃ = 2.794 + 4.275 = 7.069

Notiamo che già le prime due cifre da sinistra si sono stabilizzate: esse, cioè, non cambieranno più nelle successive approssimazioni. Dunque la rappresentazione decimale di un numero irrazionale risulta determinata solo per il numero delle approssimazioni tendente a infinito: x (m − n → 0, n → +∞).

Operazioni interne

Avendo dato una rappresentazione decimale a entrambe le categorie di numeri reali (razionali e irrazionali), possiamo dire che tutte e quattro le operazioni sono interne all’insieme: + − × ÷. In particolare, possiamo giungere a questo risultato: le operazioni di somma e prodotto sono ben definite su ℝ per approssimazione per mezzo di rappresentazioni decimali finite.

Proprietà dell'insieme dei numeri reali

Proprietà della somma

∀ a, b, c ∈ ℝ:

1. Commutativa: a + b = b + a
2. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Elemento neutro: a + 0 = a
4. Elemento inverso: ∀ a ∈ ℝ ∃ (-a) ∈ ℝ | a + (-a) = 0

Proprietà del prodotto

∀ a, b, c ∈ ℝ:

1. Commutativa: a · b = b · a
2. Associativa: (a · b) · c = a · (b · c)
3. Elemento neutro: a · 1 = a
4. Elemento inverso: ∀ a ∈ ℝ, ∃ (a^-1) ∈ ℝ | a · (a^-1) = 1

Proprietà distributiva

∀ a, b, c ∈ ℝ: (a + b) · c = a · c + b · c

Campo

Un campo è un insieme avente le operazioni di somma e prodotto, e in cui tutte le loro proprietà siano soddisfatte. Un campo è ordinato, ovvero i suoi elementi possono essere messi in un ordinamento.

Proprietà di un campo ordinato

∀ a, b, c ∈ ℝ:

1. Riflessiva: a ≤ a
2. Antisimmetrica: a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b
3. Transitiva: a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c

Numerabilità

La numerabilità è una proprietà di un insieme. Un insieme A è detto numerabile quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali ℕ. Ciò significa che la cardinalità di ℕ è uguale alla cardinalità di A.

Corrispondenza biunivoca

Considerati due insiemi A e B ed una mappa f: A → B, la mappa è detta biunivoca se essa è:

• Suriettiva: ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A | f(x) = y
• Iniettiva: ∀ x₁, x₂ ∈ A | f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂

Teorema della numerabilità di ℚ

Hp. Esiste ℕ. Ts. ℚ è numerabile.

Dimostrazione di Cantor. Consideriamo una tabella che elenchi tutti i numeri razionali positivi ed elenchiamoli secondo le diagonali da destra a sinistra. Ad esempio:

• 1/1 = 1, 1/2, 1/3, …
• 2/1, 2/2, 2/3, …
• 3/1, 3/2, 3/3, …

Elenchiamo ora i numeri naturali: a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, … I numeri razionali positivi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con ℕ. Analogamente può essere fatto con i numeri razionali negativi. Dunque ℚ e ℕ possono essere messi in corrispondenza biunivoca, il che fa di ℚ un insieme numerabile, c.v.d.

Teorema della non numerabilità di ℝ

Hp. Esiste ℕ. Ts. ℝ non è numerabile.

Dimostrazione per assurdo. Poniamo che ℝ (0,1), sottoinsieme di ℝ, sia numerabile. Se l’intervallo è numerabile, elencandone gli elementi dovrebbe comparire nell’elenco:

• a₁ = 0.a₁₁a₁₂a₁₃…
• a₂ = 0.a₂₁a₂₂a₂₃…
• a₃ = 0.a₃₁a₃₂a₃₃…

Comunque sia organizzato l’elenco, è sempre dimostrabile che esiste un b ∈ (0,1) non presente nell’elenco: b = 0.b₁b₂…, ponendo b_i = 5 se a_ii ≠ 5, altrimenti 6. Il numero b è diverso da qualsiasi numero comparso nell’elenco. Dunque si entra in contraddizione con l’ipotesi per assurdo, e si dimostra che l’insieme ℝ non è numerabile, c.v.d.

Teorema della disuguaglianza triangolare

Hp. Esistono a, b ∈ ℝ. Ts. ||a + b| ≤ |a| + |b|

Dimostrazione. Poiché affermare che ||a| ≤ a ≤ |a| equivale ad affermare che −|a| ≤ a ≤ |a|, e poiché:

• −|b| ≤ b ≤ |b|

allora si ha che:

• −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|

ovvero che: ||a + b| ≤ |a| + |b|, c.v.d.

Continuità di ℝ

Per adesso, non è ancora possibile stabilire se l’insieme ℝ sia continuo o meno, ovvero se a ogni successione di approssimazioni numeriche sia associato uno ed un solo punto sulla retta delle rappresentazioni decimali. Per dimostrare la continuità di ℝ dobbiamo introdurre i concetti di estremi e maggioranti.

Estremi: massimo e minimo

Sia A ⊂ ℝ.

• m ∈ A. Definiamo m come massimo di A se m ≥ x ∀ x ∈ A.
• m ∈ A. Definiamo m come minimo di A se m ≤ x ∀ x ∈ A.

Non tutti gli insiemi hanno estremi: insiemi illimitati come ℤ non ne possiedono.

Maggiorante e minorante

Sia A ⊂ ℝ.

• Un certo M ∈ ℝ è un maggiorante di A se M ≥ x ∀ x ∈ A.
• Un certo m ∈ ℝ è un minorante di A se m ≤ x ∀ x ∈ A.

Non tutti gli insiemi hanno maggioranti, ma se ce n’è almeno uno, allora essi sono infiniti.

Insieme limitato

Sia A ⊂ ℝ. A è limitato se è sia superiormente che inferiormente limitato.

Teorema degli estremi superiore e inferiore

Sia A ⊂ ℝ. Se A è superiormente (rispettivamente inferiormente) limitato, si indichi con ℕ+ (rispettivamente ℕ−) l’insieme dei maggioranti (rispettivamente dei minoranti) di A. Allora ℕ+ (rispettivamente ℕ−) ammette minimo (rispettivamente massimo). Tale numero si chiama estremo superiore (rispettivamente estremo inferiore) di A.

Continuità di ℝ

Per il teorema enunciato, risulta chiaro come la continuità sia allora una proprietà di ℝ. Ogni numero reale può essere considerato come l’estremo superiore dell’insieme degli allineamenti decimali che lo approssimano. Tale estremo superiore è il punto sulla retta, ed è unico.

Ad esempio: A = {1, 1.7, 1.73, 1.739, …}

Numeri complessi

L’insieme ℂ è definito come l’insieme dei numeri complessi. Come dimostreremo, anche l’insieme dei numeri complessi è un campo: un insieme cioè dove hanno valore la somma e il prodotto con tutte le relative proprietà. In particolare, si definisce il campo dei numeri complessi come l’insieme delle coppie ordinate (a, b), con a e b appartenenti a ℝ.

ℂ ≔ {(a, b), a, b ∈ ℝ}

Gli elementi di ℂ sono essenzialmente punti sul piano cartesiano, e sono rappresentati dai vettori che li congiungono con l’origine.

Forma canonica

Somma

Poiché, come già detto, i complessi sono rappresentati da vettori sul piano cartesiano, possiamo affermare che la somma di due numeri complessi è il vettore somma dei due vettori che li rappresentano, e si ricava dunque geometricamente attraverso la regola del parallelogramma. Dal punto di vista algebrico:

z₁ ≡ (a₁, b₁)
z₂ ≡ (a₂, b₂)
z₁ + z₂ ≡ (a₁ + a₂, b₁ + b₂)

Prodotto

Se con la somma non abbiamo avuto problemi a mantenerci all’interno di ℂ, lo stesso non può essere detto con il prodotto. Considerati infatti i vettori che rappresentano i complessi, sappiamo che possiamo operare due tipi di prodotto su di essi:

• Prodotto scalare, che però dà come risultato un numero in ℝ e non risolve il problema.
• Prodotto vettoriale, che dà come risultato un vettore perpendicolare al piano cartesiano, dunque esterno al campo ℂ.

Si rende necessaria la formazione di una nuova regola ad hoc per il prodotto:

(a₁, b₁) · (a₂, b₂) = (a₁a₂ − b₁b₂, a₁b₂ + a₂b₁)

Applicando questa regola ad un numero reale:

(a₁, 0) · (a₂, 0) = (a₁a₂, 0)

Si può notare come essa funzioni effettivamente anche per il prodotto di due reali.

Unità immaginaria

Definiamo una unità immaginaria sull’asse delle ordinate, definito come asse immaginario:

i ≔ (0, 1)

e proviamo a fare il quadrato dell’unità immaginaria secondo la regola del prodotto appena introdotta:

(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)

e notiamo come, in questo caso, il quadrato dell’unità immaginaria dia come risultato un numero negativo. Dunque caratteristica dell’unità immaginaria è che:

i² = −1

Forma canonica

Grazie alla definizione dell’unità immaginaria possiamo ora scrivere un numero complesso nella forma più canonica:

(a, b) = (a, 0) + (i, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib = a + ib = Re(a) + Im(b)

dove Re(a) è detta “parte reale” e Im(b) “parte immaginaria”.

Operazioni interne

Posti:

z₁ = a₁ + ib₁
z₂ = a₂ + ib₂

possiamo ora finalmente definire le operazioni interne a ℂ nella loro forma canonica:

Somma algebrica

(a₁ + ib₁) ± (a₂ + ib₂) = (a₁ ± ib₁) + (a₂ ± ib₂)

Prodotto

Possiamo calcolare il prodotto grazie alla proprietà distributiva:

(a₁ + ib₁) · (a₂ + ib₂) = a₁a₂ − b₁b₂ + i(a₁b₂ + a₂b₁)

Complesso coniugato

Si definisce complesso coniugato il numero: z^̅ = a − ib

Tale operazione presenta le seguenti proprietà:

• z₁^̅ + z₂^̅ = (z₁ + z₂)^̅
• z₁^̅ · z₂^̅ = (z₁ · z₂)^̅
• z = z^̅ → z ∈ ℝ

Modulo

Si definisce modulo il numero: |z| ≔ √(a² + b²)

Tale operazione presenta le seguenti proprietà:

• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
• |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
• |z^̅| = |z|
• z · z^̅ = |z|²
• |1| = 1

Divisione

Possiamo calcolare la divisione utilizzando il complesso coniugato:

(a₁ + ib₁) / (a₂ + ib₂) = ((a₁ + ib₁)(a₂ − ib₂)) / (a₂² + b₂²)

Forma trigonometrica

Nella forma trigonometrica, al modulo viene assegnata l’etichetta r e la coppia ordinata è espressa in termini di seno e coseno.

|z| = r ≡ r · (cos θ + i · sin θ)

Fase e argomento

• Se Arg(z) si trova con θ in un qualsiasi, allora θ è detta fase.
• Se si trova in [0, 2π), allora essa è detta argomento.

Formule di De Moivre

Prodotto

(cos θ₁ + i · sin θ₁) · (cos θ₂ + i · sin θ₂) = r₁ · r₂ · (cos (θ₁ + θ₂) + i · sin (θ₁ + θ₂))

Divisione

(cos θ₁ + i · sin θ₁) / (cos θ₂ + i · sin θ₂) = (cos (θ₁ − θ₂) + i · sin (θ₁ − θ₂))