Analisi I e Geometria (prima parte)

A.

superiore (rispettivamente estremo inferiore) di

ℝ

Continuità di ℝ:

Per il teorema enunciato, risulta chiaro come la continuità sia allora una proprietà di ogni numero reale

può essere considerato come l’estremo superiore dell’insieme degli allineamenti decimali che lo

approssimano. Tale estremo superiore è il punto sulla retta, ed è unico.

= {1,1.7,1.73,1.739, … }

=

ℂ ℂ

L’insieme è definito come l’insieme dei numeri complessi. Come dimostreremo, anche l’insieme dei

numeri complessi è un campo: un insieme cioè dove hanno valore la somma e il prodotto con tutte le

relative proprietà. (, ),

In particolare, si definisce il campo dei numeri complessi come l’insieme delle coppie ordinate con

ℝ.

e appartenenti ad ℂ ≔ {(, ), , ∈ ℝ}

ℂ

Gli elementi di sono essenzialmente punti sul piano cartesiano, e sono rappresentati dai vettori che li

congiungono con l’origine.

Forma canonica

Somma

Poiché, come già detto, i complessi sono rappresentati da vettori sul piano cartesiano, possiamo affermare

che la somma di due numeri complessi è il vettore – somma dei due vettori che li rappresentano, e si ricava

dunque geometricamente attraverso la regola del parallelogramma.

Dal punto di vista algebrico:

≡ ( , )

1 1 1

≡ ( , )

2 2 2 + ≡ ( + , + )

1 2 1 2 1 2

Prodotto ℂ,

Se con la somma non abbiamo avuto problemi a mantenerci all’interno di lo stesso non può essere detto

con il prodotto. Considerati infatti i vettori che rappresentano i complessi, sappiamo che possiamo operare

due tipi di prodotto su di essi: ℝ,

- prodotto scalare, che però dà come risultato un numero in e non risolve il problema.

- prodotto vettoriale, che dà come risultato un vettore perpendicolare al piano cartesiano, dunque

ℂ.

esterno al campo

Si rende necessaria la formazione di una nuova regola ad hoc per il prodotto:

( ) ( )

, ∙ , = ( − , + )

Applicando questa regola ad un numero reale:

( , 0)( , 0) = ( , 0)

1 2 1 2

si può notare come essa funzioni effettivamente anche per il prodotto di due reali.

Unità immaginaria

Definiamo una unità immaginaria sull’asse delle ordinate, definito come asse immaginario:

1 ≔ (1,0)

(,

≔ 0) ∈ ℝ

con (,

≔ )

e proviamo a fare il quadrato dell’unità immaginaria secondo la regola del prodotto appena introdotta:

(0,1)(0,1) (−1,0)

= = −(1,0)

e notiamo come, in questo caso, il quadrato dell’unità immaginaria dia come risultato un numero negativo.

Dunque caratteristica dell’unità immaginaria è che:

= −

Forma canonica

Grazie alla definizione dell’unità immaginaria possiamo ora scrivere un numero complesso nella forma più

canonica: (, (, (0,

) = 0) + ) = (1,0) + (0,1) = + ∙

= +

= Re = Im

dove è detta “parte reale” e “parte immaginaria”.

Operazioni interne

Posti: = +

1 1 1

= +

2 2 2

ℂ

possiamo ora finalmente definire le operazioni interne a nella loro forma canonica:

Somma algebrica ( ) )

± = ± + ( ±

Prodotto

Possiamo calcolare il prodotto grazie alla proprietà distributiva:

( )

= − + ( + )

Complesso coniugato

Si definisce complesso coniugato il numero: ̅ = −

Tale operazione presenta le seguenti proprietà:

̅̅̅̅̅̅̅̅̅

+ =

̅ +

̅

1. 1 2 1 2

̅̅̅̅̅̅

=

̅

̅

2. 1 2 1 2

= ̅ ⟺ ∈ ℝ

3.

Modulo

Si definisce modulo il numero: √

|| ≔ +

Tale operazione presenta le seguenti proprietà:

| |

+ | ≤ + | |

1. |

1 2 1 2

| | | ||

= |

2. 1 2 1 2

|̅| = ||

3.

||

̅

∙ =

4. 1 ̅

=

5. 2

||

Divisione

Possiamo calcolare la divisione utilizzando il complesso coniugato:

( )

+ − + + ( − )

1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

= ∙ = 22 22

+ − +

2 2 2 2 2

( )

+ + ( − )

=

+

Forma trigonometrica ,

Nella forma trigonometrica, al modulo viene assegnata l’etichetta e la coppia ordinata è espressa in

termini di seno e coseno.

|| =

= ∙

= ∙ = ( + ∙ )

Fase e argomento

= (cos + ∙ sin ) .

Se con un qualsiasi, allora è detta fase di

∈ [, ) .

Se allora essa è detta argomento di

Formule di De Moivre

∗

Prodotto

(cos )

= + ∙ sin

1 1 1 1

(cos )

= + ∙ sin

2 2 2 2 [cos )]

= cos − sin sin + (sin cos + cos sin

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

[( ) ))]

= + + (( +

Divisione

(cos )

= + ∙ sin

1 1 1 1

(cos )

= + ∙ sin

2 2 2 2

(cos ) (cos ) (cos )

+ ∙ sin + ∙ sin − ∙ sin

1 1 1 1 1 1 1 2 2

= = ∙

(cos ) (cos ) (cos )

+ ∙ sin + ∙ sin − ∙ sin

2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

[(cos cos + sin sin + (sin cos − cos sin )]

1 1 2 1 2 1 2 1 2

= 2 2

[(cos ]

) (sin )

+

2 2 2

)

= [( − + (( − ))]

Potenza

= (cos + ∙ sin ) [()

= + ∙ ()]

Forma esponenziale

Per giungere alla forma esponenziale, definiamo un esponenziale complesso:

+∞

≔∑ ∀ ∈ ℂ

!

=0

E consideriamo il seno ed il coseno della fase secondo questa scrittura:

+∞ 2

cos = ∑(−1) ∙ 2!

=0

+∞ 2+1

sin = ∑(−1) ∙ (2 + 1)!

=0

Troveremo che: +∞

()

=∑ = cos + ∙ sin

!

=0 = 1

Abbiamo dunque tradotto un complesso scritto in forma trigonometrica e avente nella sua forma

esponenziale. Possiamo dunque concludere che la forma esponenziale di un numero complesso è:

|| =

= ∙ [ ]

Formule di De Moivre

Le formule di De Moivre possono essere utilizzate anche nella forma esponenziale:

( + )

= ∙ 1 2

1 2 1 2

1 1 ( − )

= ∙ 1 2

2 2

∙

= ∙

Radice complessa

=

Radice ennesima di

= 1

Scriviamo in forma esponenziale: ∙

= ∙

Ciò accade se e solo se:

= 1, = 1

- che accade se e solo se

= 0 + 2

- (dobbiamo considerare qualsiasi angolo in quanto è una fase)

2

=

Assegnando dei valori a otteniamo questi risultati:

= 0

0 2

=

1

4

=

2

2

= = 2

2 2 2

= + = 2 +

+1

Notiamo come i risultati si ripetano tornando sempre sui medesimi punti della prima serie.

= 1 = ∙ = 0,1, … , − 1

[ ],

Le soluzioni di sono, posto gli numeri complessi con tali che:

| | = 1 ∀

- 2

= ∀, =

- posto che

= = ∀ = , , … , −

con

∈ ℂ

Radice ennesima di assegnato

= ∙

=

Scriviamo in forma esponenziale:

=

Ciò accade se e solo se:

= , = √

- che accade se e solo se:

+2

= + 2, = ∈ Z

- ovvero , con

=

Le soluzioni di sono gli numeri complessi tali che:

| | = √ ∀

- +2

= ∀ = 0,1, … , − 1, = √ ∙

- posto che

+

= √ ∙ = ∀ = , , … , −

con

Logaritmo complesso

= + = ∙ , ∈ ℝ

Posto: ed con

= ∙

Sia:

Cerco tale che:

=

=

Ciò accade se e solo se:

= , = log

- ovvero:

= + 2 ∈ Z

- con

Dunque la soluzione è: = + ∙ ( + ) ∈

con