Analisi I - Appunti completi corso

Significato dei simboli e delle operazioni

Simboli continui e discreti

⁰ℛ continuo
^zℤ(T) discreto
⁰_ℛ(T) continuo periodico
^zℤ(T)_ℤ(P) discreto periodico

Significato dell'integrale unificato

• ^{∫₀Δ x(t) dt = ∫₀T x(t) dt} per Δ = 1ℤ
• ^{∫₀Tp x(t) dt} per Δ = ℛ / ℤ(Pi)
• ^{∑_n=-∞∞ Tx(nT)} per Δ = ℤ(T)
• ^{∑_n=n0N+1 Tx(nT)} per Δ = ℤ(T)_ℤ(P)

Significato delle trasformazioni

• [_τa x](t) ≜ x (t-α)
• [_bα x](t) ≜ x ( b_α -t)
• [_Θλ x](t) ≜ x (λt)

Invarianza dell'integrale unificato

• _bα g_α = g_α = I
• _bα τ^b = τ^b - b_α
• b_α = τ_{αa a} τ_{bα a} τ^α_a

Impulso ideale

Def: Consideriamo un rect. Imponendo che l'area sia unitaria, l'impulso rettangolare deve esser scritto nella forma r_α (t) = 1/Δ rect (t-t_o / Δ). In questo modo r_α (t) conserva area unitaria al variare di t_o e di Δ, anche per Δ piccolo ≠0.

Se ora si moltiplica un segnale qualsiasi x(t) per r_α(t) l'area del segnale risultante diventa:

lim_Δ→0 ∫_to-1/2Δ^t_o+1/2Δ x(t) 1/Δ rect (t- t_o/Δ) dt = lim_Δ→0 1/Δ ∫ x_λ(t) dt = x(t_o)

Simboli continui e discreti (altro)

R_c continuo
zR_d discreto
R_c/p continuo periodico
zR_d/p discreto periodico

Significato dell'integrale unificato (altro)

• ∫₀^{∆ (t)} x(t) dt = ∫_-∞^∞ x(t) dt per ∆ = 1/2
• ∫₀^T_P x(t) dt = R_c(p) per ∆ = z(T)
• ∑_n=-∞^∞ T_x (nT) per ∆ = z(T)
• ∑_n0ⁿ⁼⁰ T_x (nT) per ∆ = zR_d(T)/zRd(p)

Significato delle trasformazioni (altro)

• [Γ_a^-1 x](t) = x(t-a)
• [b_a x](t) = x(b_a-t)
• [Θ_x x](t) = x(x(t))

Invarianza dell'integrale unificato (altro)

• b_a R² = b_a I
• b_a Γ^b = Γ_b-a b_a
• b_a = Γ_c-a b_a Γ_a^-1

Impulso ideale (altro)

DEF. Consideriamo un rect. Imponendo che l'area sotto una forza è unitaria, l'impulso rettangolare deve essere scritto nella forma r_a (t) = 1/∆ rect( t-t₀/∆ ) . In questo modo r_a (t) conserva area unitaria al variare di t₀ e ∆, anche per ∆ piccolo ≠ 0.

Se ora si moltiplica un segnale qualsiasi x(t) per r_a (t) l'area del segnale risultante diventa:

lim_∆->0 ∫_{t0 - 1/2 ∆}^{t₀ + 1/2 ∆} x(t) 1/∆ rect( t- t₀ / ∆ ) dt = lim_∆->0 1/∆ ∫_{t0 - 1/2 ∆}^{t₀ + 1/2 ∆} x_α (t) dt = x( t₀ )

cioè, la δ_D(t) ha, al limite Δ→0, la proprietà di rivelare il segnale N(t) nel punto t=t₀.

N_Δ (t) = 1/Δ rect ^(t-t₀)/_Δ, cioè δ_D (t) = ∫_-∞ ^+∞ s_Δ(t)S(t-t₀)dt … proprietà rivelatrice dell’impulso ideale.

A questo punto l’impulso ideale, cioè da durata nulla e area infinita, si può scrivere in questo modo:

∫_-∞ ^+∞ S(t-t₀) = 0 per t ≠ t₀

∫_-∞ ^+∞ ∫(t-t₀)dt = Δ (area)

Proprietà

Traslazione s(t) = ∫_-∞ ^+∞ S(n) S(t-n) dn

Funzione pari δ_D(t) = δ_D(-t) cioè δ_D = δ _DδD

Operazioni con gen in WLEX

• Prodotto tra due impulsi: S(t) . S(t) = Δ ⊆ definito
• Moltiplicazione: s(t) S(t-b) = s(t₀) S(t-b)
• x(t) S(t) = s(x₀) S_DN(t)(t)

Convoluzione con un segnale