Analisi I - Appunti completi corso

• Significato di:
  • ℜ continuo
  • Z discreto
  • ℜ_Z(ℝ) continuo periodico
  • Z(ℝ) discreto periodico

Significato dell'integrale unificato

∫_K x(t) dt = ∫ x(t) dt per Δ = ℤ = ∫_t0^T₀ x(t) dt per Δ = ℝ / Z(ℝ) = ∑ x(nT) per Δ = Z(T) = ∑ T_X(nT) per Δ = ℤ^{(T) / Z(ℝ)}

NB ha significato l’integrale per segnali periodici. Tende a ∞!

NB 2º integrale unificato è invariante rispetto al ribaltamento e alle traslazioni.

• Significato di:
  • [ᵧ^a x](t) = x(t - a)
  • [b_a x](t) = x(b_a - t)
  • [Ө_a x](t) = x(λt)

• Invarianza dell’integrale unificato rispetto agli operatori ᵧ_a e b_a
  • b_a b_a = b_a = I
  • b_a b_aᵗ b = b_a ᵗ b b_a
  • b_a = ᵧ_a b_a ᵧ_−a

• Impulso ideale
  • Def. Consideriamo un rect. Imponendo che l'area sia unitaria, l'impulso rettangolare deve esser scritto nella forma r_Δ(t) = ¹/_Δ rect ^{(t - t₀)}/_Δ.

In questo modo r_Δ(t) conserva area unitaria al variare di t₀ e Δ, anche per Δ piccolo 0. Se ora si moltiplica un segnale qualsiasi x(t) per r_Δ(t) l’area del segnale risultante diventa:

lim _t→∞ ∫ λ(t) ¹/_Δ rect ^{(t - t₀)}/_Δ dt = lim _Δ→∞ ¹/_Δ ∫ x_s(t) dt = x_s(t₀)

cioè, se δ_Δ(t) ha, al limite Δ→0, la proprietà di rivelare il segnale S(t) nel punto t=t_o

4: proprietà rivelatrice dell'impulso ideale.

cioè di durata nulla e area indefinita, (δ) se può scrivere in questo modo:

per t≠t_o

(area)

Proprietà

- Traslazione

- Funzione pari

cioè

Operazioni con gli impulsi

- Prodotto tra due impulsi

è definito

- Moltiplicazione

- Convoluzione con un segnale

- Convoluzione con un impulso ideale

La convoluzione di un segnale con l'impulso ideale è uguale al segnale stesso:

In generale se

W_f(t) = exp(-j 2π f_c t) t ∈ D

W_g ∗ h (t) = ∫_D h(u) W_g(t-u) du.

W_g ∗ h (t) = H(f) W_g(t)

dove

H(f) = ∫_D h(u) exp(-j 2π f_c u) du

La risp. impulsiva è:

H(f) = ∫₀^∞ h(t) e^{-j 2π f t} dt

Trasf. di F. della risp. in frequenza.

- Filtraggio di un esponenziale complesso

Consideriamo C_f(t) = cos(2π f_c t) =

C_f ∗ h (t) = (W_g + W_f)/2 ∗ h(t) =

= (W_g ∗ h + W_f ∗ h) / 2

= [H(f) W_g + H(-f) W_-f]/2

H(-f) def = ∫₀^∞ h^*(t) e^{-j 2π f t} dt

= ∫₀^∞ h(t) e^{j 2π f t} dt = ∫₀^∞ h(t)[e^{-j 2π f t}]^* dt

= ∫₀^∞ [h(t) exp(-j 2π f t) dt]^* = H^*(f)

H^*(f) = |H(f)| e^{-j φ(f)} ⇒

|H(f)| e^{-j φ(f)} e^{j 2π f t} + |H(f)| e^{-j φ(f)} e^{-j 2π f t}

= |H(f)| cos(2π f t - φ(f))

Trasformate delle convoluzione di due segni:

F [ x ⋆ h ] (ξ) : = ∫ x(t) ⋅ h(t) exp (-j 2π t ξ) dt =

• = ∫ ∫ x(t) h(t-u) exp (-j 2π ξ t) dt du =
• = ∫ x(v) h(u) exp (-j 2π ξ (u+v)) dv du =
• = ∫ x(u) exp (-j 2 π ξ u) du ∫ h(n) exp (-j 2 π ξ n) dn

⇒ X(ξ) ⋅ H(ξ) ↔

Trasformate del prodotto di due segni

x(t) g(t) = [ X ⋆ Y ] (t)

Teorema di Parseval

1. L'energia del segnale è uguale all'energia della trasformate

E_x = ∫ | x(t) |² dt = ∫ | S(ξ) |² dξ = E_ξ

2. L'energia mutua di due segni è uguale all'energia mutua tra le corrispondenti

trasformate, cioè E_xy = E_xy

⇒ ∫_t0 x(t) g^*(t) dt = ∫_∞^n₀ X(ξ) Y^*(ξ) dξ

cioè :

<x, g> = < X, Y >

Trasformate di Fourier della derivata

y(t) = x⁽ⁿ⁾ (t)

Y(ξ) = ∫ x⁽ⁿ⁾(t) exp(-j 2π ξ t) dt = [ x(t) exp(-j 2π ξ t) ]^∞_-∞ = ∫_∩^∞

x(t)(i 2π ξ)ⁿ dξ x(yⁿ) (x)

= (i 2π ξ)ⁿ ∫ x(t) exp(-j 2π ξ t) dt = j 2π ξ X(ξ)

La trasformate delle derivate è un filtro a andamento pass → alla b

E(d) = Y(d) - X(d)

1/Σ _k=0 ^N-1 (Y(d + k) * H(d) - X(d))

|H(j)| Y(d) - X(d)

|H(j)| - 1/Σ _k=0 ^N-1 H(d + k) * X(d)

1/Σ _k=0 ^N-1 H(j) - X(d + k) - X(d)

Sovracampionamento

Per campionare in modo più veloce, poi lo comprimo normalmente. In questo modo non ho bisogno di fare quello che costa, piuttosto aumenta la precisione della lettura del dato stesso. Si guadagna 1 bit di precisione ogni 4 sovracampionamenti.

Campionamento

Z(T0) -> Z(T)

Il campionamento di un segnale su tempo discreto viene utilizzato per ridurre la velocità, intesa come numero di valori del segnale.

Es: Z(T0) -> Z(3T0) -> Z(T) dove T = 1/3 T0.

Il periodo di campionamento T deve essere esatto: T = N T0

Recupero delle informazioni

Qf = i.cut (1/T0)

Recupero del segnale

g _q (t) = sinc (F _c t)

s (t) = Σ _k=-∞ ^∞ a _n (T) sinc [F _c (t-aT)] t ∈ R

Filtro Interpolatore (Interpolation)

1) L'interpolazione del dominio Z(T) -> R, cioè di un segnale discreto che va ridefinito come segnale a tempo continuo

g (t) = T Σ _n=-∞ ^∞ δ _R (t-nT) x (nT) A ₀ = ∞.

2) L'interpolazione del dominio Z(T) -> Z(T0) con T0 = T ₀ /N

g (nT0) = { N x (nT0) nT0 ∈ Z(T)

0 altrimenti

L'interpolazione del dominio su tempi discreti comporta un amplificatore pari al rapporto fra il quinto di ingresso ed il quanto d'uscita.

Dimostrazione Proprietà

1. g(t) F{x}₁{y(t)} = ∫ x(θ) e^-st dθ

   y(t) = x(t) ⇒ y(t) e^-st∫ ... x(y)

2. ∫ e^-αt g(t) dt ... = F{ x(t) } =

   − ∫ ... ∞ e^-sug0 dt

− F{ α(t) ∫ u(ξ) e^-st dt ... parabola t = ξ . dumk

= ∫ ... α(t) e^-2ug dt ...

1 + ∫ ... ∞ g(t) e^3zag dt = ∫( fg)