Algebra Lineare - Riassunto esame e formulario, prof. Vegni

I formula di De Moivre

Quando il prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica :

z₁ = p₁(cosΘ₁ + isinΘ₁) z₂ = p₂(cosΘ₂ + isinΘ₂)

z₁z₂ = p₁p₂(cosΘ₁ + isinΘ₁)(cosΘ₂ + isinΘ₂) =

= p₁p₂[cosΘ₁cosΘ₂ - i²senΘ₁senΘ₂ + i(cosΘ₂senΘ₁ + senΘ₁senΘ₂cosΘ₂)] =

= p₁p₂[cosΘ₁cosΘ₂ - senΘ₁senΘ₂ + i(cosΘ₂senΘ₁ + senΘ₁senΘ₂cosΘ₂)] =

= p₁p₂[cos(Θ₁ + Θ₂) + isin(Θ₁ + Θ₂)]

= p₁p₂[cos(Θ₁ + Θ₂) + isin(Θ₁ + Θ₂)]

II formula di De Moivre

È una generalizzazione della I formula di De Moivre:

z₁z₂....z_m = p₁p₂...p_m [cos(Θ₁ + Θ₂ +.... + Θ_m) + isin(Θ₁ + Θ₂ +.... + Θ_m)]

Se I fattori sono tutti uguali :

z₁ = z₂ = .... = z_m p₁ = p₂ = .... = p_m Θ₁ = Θ₂ = .... = Θ_m

Allora

z^m = p^m[cos(mΘ) + isin(mΘ)]

III formula di De Moivre

^{(Resto uguale)}

_z1 ---------- = _z2

p₁(cosΘ₁ + isinΘ₁ ------------- ⋅ cosΘ₂ - isinΘ₂ p₂(cosΘ₂ + isinΘ₂

[cosΘ₁cosΘ₂ + isinΘ₁sinΘ₂ + isinΘ₁cosΘ₂ - isinΘ₂cosΘ₁]

=[cosΘ₁cosΘ₂ + sinΘ₁sinΘ₂ + isinΘ₁sinΘ₂ - isinΘ₂cosΘ₁]

[cos²Θ₂ - i²sin²Θ₂]

=[cosΘ₁cosΘ₂ + isinΘ₂][cosΘ₁ + Θ₂ + isinΘ₁cosΘ₂....]^..

cos²Θ₂+ sinΘ₁ and ^..]

^....

Metodo di Riduzione di Gauss

(Metodo di risoluzione di sistemi lineari)

Un sistema lineare è costituito da un certo numero di righe e ciascuna di esse porto una combinazione lineare delle variabili ≥ al membro il termine noto.

Operazioni ammesse:

• Moltiplicare per un moltiplicatore ≠0 ogni riga
• Sommare le righe

Si possono quindi combinare linearmente le righe e sostituire poi uno dei due righe con la combinazione ottenuta.

• I
• II
• I → αI + βII

Portare progressivamente il sistema in una forma a scala.

• αx + βy + ... =d₁ pivot, coefficiente che appare sulla scala
• 0x + βy + ... =d₂
• 0x + 0y + γz + ... =d₃

In questo modo nell’ultima riga rimane solo l’ultima variabile = termine ≠0, me si fa la sostituzione (retrograda) in questa riga e nelle variabili.

Se esce tutti di 0=6 (b≠0), ossia impossibile, allora il sistema è impossibile.

Se appare un’ultimo uguale a un valore (b=0), un di =0 (pivot), una riga può essere eliminata.

→ La variabile senza pivot diventa parametro (è libera), e risolvendo partendo a destra i valori con un parametro.

Teorema di Cramer

Sia Ax = b un sistema lineare quadrato di m equazioni in m incognite. Se V(A)=m, il sistema ammette una unica soluzione, qualunque sia b ∈ ℜ^m.

Dato un sistema lineare quadrato e non singolare det(A)≠0

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m=b₁
• a₂₁x₁ + a₂₁x₂ + ... + a_2mx_m=b₂
• ...
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mmx_m=b_m

A x = b A = [

• a₁₁', n',
• a_1m', m
• ..
• 'a_m1''
• 'a_mm'

• x1/l1
• 'converter'
• '..'
• 'converter'

• b₁''
• b_'1''
• '..''
• 'b_m'''

Insieme di vettori linearmente indipendenti

{v₁, v₂,..., v_k}

Gli elementi sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione lineare che dà zero è quella con tutti i coefficienti pari a zero.

αv₁ + β v₂ + ... + γ v_k = 0 ↔ α = β = ... = γ = 0

|λ| ≠ 0

Conseguenze della l.i.

Nessun dei vettori può essere scritto come combinazione lineare di altri.

Insieme di vettori linearmente dipendenti

{v₁, v₂, ..., v_k}

Gli elementi sono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare, con alcuni coefficienti ≠0, che dà 0.

|λ| = 0

αv₁ + β v₂ + ... + γ v_k = 0 ∃ α ≠ 0

Compriendo un coefficiente non nullo α ≠ 0.

Conseguenze della l.d.

Almeno un vettore può essere scrito come combinazione lineare degli altri (quella con coefficiente non nullo).

αv₁ + β v₂ + ... + γ v_k = 0 ∃ α ≠ 0

αv₁ = -βv₂ - ... - γ v_k

v₁ = -β/α v₂ - ... - γ/α v_k

Oss: Il vettore nullo 0 è sempre l.d.

Sottospazi vettoriali.

W ⊆ V W è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale V se:

• È un sottospazio
• È chiuso rispetto alle combinazioni lineari (di suoi elementi)

⇒ È uno spazio vettoriale.

Il vettore nullo 0 appartiente a V

Sottospazi vettoriali di R²

• Origine
• Rette per l'origine
• Tutto R²

Sottospazi vettoriali di R³

• Origine
• Rette per l'origine
• Piani per l'origine
• Tutto R³

dim Ker(f) è un sottospazio vettoriale di V

Dimostrazione: due elementi del Ker si ottiene ancora un elemento del Ker!

f: V → W u → w = f(u)₁ con lineare

Sia u₁, u₂ ∈ Ker(f) → f(u₁) = 0_W e f(u₂) = 0_W

per la linearità di f: f(αu₁ + βu₂) = αf(u₁) + βf(u₂) = α0_W + β0_W = 0_W

c.v.d. ∈ Ker(f)

dim Im(f) è un sottospazio vettoriale di W

Dimostrazione: con lineare f: V → W u → w = f(u)₁

preso w₁, w₂ ∈ Im(f) ∃ u₁, u₂ | f(u₁) = w₁ ^ f(u₂) = w₂

αw₁ + βw₂ ∈ Im(f)? f( αu₁ + βu₂) = f(u₁) + βf(u₂) = αw₁ + βw₂ ∴ ∈ Im(f) c.v.d.

per la linearità

Teorema (im)

f lineare: V = R^m’^m = W u → w = f(u)

f è lineare se Ker(f) = {0_v}

Dim. per assurdo

ip. f₁ ∈ Ker(f) ts. Ker(f) = {0_v}

Leggo la tesi, suppongo che un elemento f diverso da 0_v stia nel Ker(f), quindi il Ker(f) contiene almeno 2 elementi.

Si conclude il Ker(f) è il sottinsieme degli elementi di V che si trasformano nella origine di W.

Se f ≠ 0_v ∈ Ker(f) contraddizione linearità perchè: ^{f(u) = 0_w = f(v)} (I 2 elementi hanno la stessa immagine u₁ ≠ u₂ ∈ f(u₁) ≠ f(u₂)

→ Assurdo