Algebra Lineare - Riassunto esame e formulario, prof. Vegni

I formula di De Moivre

Quando il prodotto di due numeri complessi è in forma trigonometrica:

z₁ = ρ₁ (cosθ₁ + i senθ₁)  z₂ = ρ₂ (cosθ₂ + i senθ₂)

z₁z₂ = ρ₁ (cosθ₁ + i senθ₁) · ρ₂ (cosθ₂ + i senθ₂) = ρ₁ρ₂ [cosθ₁cosθ₂ + i² senθ₁ senθ₂ + i (cosθ₁ senθ₂ + senθ₁ senθ₂ cosθ₂)] = ρ₁ρ₂ [cosθ₁cosθ₂ - senθ₁ senθ₂ + i (cosθ₁ senθ₂ + senθ₁ cosθ₂ ) ]

cosθ₁ cosθ₂ − senθ₁ senθ₂ = cos(θ₁+θ₂)

senθ₁ cosθ₂ + senθ₁ cosθ₂ = sen(θ₁+θ₂)

ρ₁ρ₂ [cos(θ₁+θ₂) + i sen(θ₁+θ₂)]

II formula di De Moivre

È una generalizzazione della I formula di De Moivre;

z₁, z₂ .... z_m = ρ₁ρ₂ ... ρ_m {cos(θ₁+θ₂+...+θ_m) + i sen(θ₁+θ₂+...θ_m)}

Se i fattori sono tutti uguali:

• z₁ = z₂ = .... = z_m
• ρ₁ = ρ₂ = .... = ρ_m
• θ₁ = θ₂ = ... = θ_m

Allora:

z^m = ρ^m [cos(mθ) + i sen (mθ)]

III formula di De Moivre

z₁z₂ = ρ₁ (cosθ₁ + i senθ₁) ρ₂ (cosθ₂ + i senθ₂) = cosθ₂ - i senθ₂

MOLTIPLICO PER IL CONIUGATO DI

cosθ₂ + i senθ₂ (somma e differenza → differenza di quadrati (a+b)(a-b) = a²-b²)

= ρ₁ρ₂ [cosθ₁ cosθ₂ + i senθ₁ senθ₂ + i senθ₁ cosθ₂ - i senθ₁ cosθ₂ - cosθ₁ cosθ₂]

= ρ₁ρ₂ [cosθ₁ cosθ₂ + i senθ₁ senθ₂ + i (cosθ₁ senθ₂ - cosθ₁ senθ₂)]

= ρ₁ρ₂ [cosθ₁ + i senθ₂]

Ripetizione della I formula di De Moivre

Quando il prodotto fra due numeri complessi è in forma trigonometrica:

z₁ = r₁(cosθ₁ + i senθ₁) z₂ = r₂(cosθ₂ + i senθ₂)

z₁z₂ = r₁(cosθ₁ + i senθ₁) · r₂(cosθ₂ + i senθ₂) = r₁r₂[cosθ₁cosθ₂ + i² senθ₁ senθ₂ + i(cosθ₂ senθ₁ + senθ₁ senθ₂ + senθ₂ cosθ₁)]

= r₁r₂[cosθ₁ cosθ₂ - senθ₁ senθ₂ + i(cosθ₁ senθ₂ + senθ₂ cosθ₂ + senθ₂ cosθ₁)]

= r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]

Ripetizione della II formula di De Moivre

È una generalizzazione della I formula di De Moivre;

z₁z₂... z_m = r₁r₂... r_m{cos(θ₁ + θ₂ +... + θ_m) + i sen(θ₁ + θ₂ +... θ_m)}

Se i fattori sono tutti uguali:

• z₁ = z₂ =... = z_m
• r₁ = r₂ =... = r_m
• θ₁ = θ₂ =... = θ_m

Allora:

z^m = r^m[cos(m θ) + i sen(m θ)]

Ripetizione della III formula di De Moivre

(Il resto è uguale)

z₁ — p₁(cosθ₁ + i senθ₁) = --------------------------------- · cosθ₂ - i senθ₂

z₂ — p₂(cosθ₂ + i senθ₂) · cosθ₂ - i senθ₂ = (cosα + i senα)(cosβ - i senβ) = a² - b² = r₁