Analisi funzionale - Riassunto

Ripasso

X INSIEME

• X si dice spazio sul campo R

(X, +) è gruppo se uno dotato di un'operazione esterna associativa.

• altri a=aut a=as, lab a=a lbnr
• (a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ
• 1ⁿ=1

• d: X x X → R₀
• si dice metrica

• (M1) d(x, x)≥0 ⇒ g=0 x=0
• (M2) d(x, y)=d(y, x)
• (M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
• N1 |x|=0 ⇒ x=0
• N2 |x + 1| = |x| + |1|
• N3 |x+y| ≤ |x| + |y|

La norma è Lip con costante (code) 3K∋0

• |f(x) - f(y)| ≤ K |x - y| | |

LIPSCHITZIANA

CONTINUA

Allora || || ₁ continua rispetto alla topologia che induce.

• < : > X x X → R
• si dice prodotto scalare
• (forma bilineare)

• (S1) < x, x > > 0 e < x, y > = 0 ⇒ x = 0
• (S2) < x, y > = < y, x >
• (S3) < α x t β y > = z α(x, x) + β(x, y)z

(X, < , >) si dice spazio prehilbertiano

(X, || ||) si dice spazio normato

(X, d) si dice spazio metrico

(X_m) m ∈ X si dice

• successione di Cauchy lim 12_m, 2k₁=0
• x so normato senz'h

(X_m) m ∈ X si dice

• convergente a de_X
• limm 12_m - 2k₁=0
• x so normato senz'h.

(X, < , >) si dice spazio di Hilbert

(X, d)^c è completo Cauchy solo inter R solo classe converge

(X, || ||) si dice spazio di Banach

(X, d)^c è completo

Teorema 1 Cauchy-Schwarz-Bunakovski

x spazio prehilbertiano → ∀x,y∈X ⟨x,y⟩≤‖x‖‖y‖

Teorema della norma 1

x spazio prehilbertiano →‖x‖ = sup ⟨x,y⟩ ∀ x∈X

se x ≠ 0 → ‖x‖ = 1

se ⟨x,x⟩ = ‖x‖²/_‖x‖

⊃ ⟨x,y⟩ ≤ ⊃‖x‖‖y‖= ‖x‖

Definizione:

x spazio prehilbertiano ∀ x,y∈X

x ⊥ y → ⟨x,y⟩ = 0

Teorema di Pitagora 2

x spazio prehilbertiano ∀ x,y∈X

‖x+y‖²≥⟨x,y⟨+‖x‖²+‖y‖²

‖x+y‖² = ⟨x+y,x+y⟩

Identità del parallelogramma

x spazio prehilbertiano ∀ x,y∈X

‖x+y‖²+‖x-y‖² = 2‖x‖²+2‖y‖²

Teorema di Halmaron 3

una norma è hilbertiano → … identità del parallelogramma

Esempio

R è R₀ vespaziato su R

⟨x,y⟩=x.y prodotto ∈ R(prehilbertiano)

N(x,y,z) → x.y

LEMMA DI ZORN 6

SE IN UN INSIEME PARZIALMENTE ORDINATO OGNI CATENA HA ESTREMO MAGGIORE, ALLORA L’INSIEME AMMETTE ELEMENTO MASSIMALE

TEOREMA DI RIESZ 7

E’ DI HILBERT ⇒ ∃ e ∀ n ∈ E: f(a) = <a, n> ∀ a∈E matre |f|₁ = ||a||

OSSERVA

X, Y, sp. norm. RL : X → Y solale operatore lineare (continuità = lipschitzianità)

L : X → R si da funzionale lineare

LEMMA DI FATOU 8

(fₙ) c m⁺ → ∫ lim inf fₙ dϛ ≤ lim inf m→∞ ∫ fₙ dμ

TEOREMA DI CONVERGENZA DOMINATA DI LEBESGUE 9

g | fₙ m c L¹(Ω), fₙ = f a.s.n Ω, |fₙ| ≤ g fₙ, iε p <∞fεL¹(Ω)

⇒ 2) fₙ → f w L¹(Ω)

fₙ → f in L¹(Ω)fₙ → f w in Ω → lim sup N ∫ Ω ρₙ ω - g(x) ≤ 0

fₙ → f in L¹ ω w, ∀xεΩ lim m→∞ fₙ(x)=f(x)

fₙ → f a.s. ω w → ∃M'εM μ(I)=0 fₙ → f w sνμ

fₙ → f w L¹(Ω) ⇔ lim f₁∫ |fₙ - f|dε = 0

fₙ → f w L¹(Ω) → ϑ > 0 εM(α,)= {x∈Ω: |fₙ(x) - f(x)| > α}

lim μ(εm(α)) = 0

E(d) si dice

spazio vettoriale su R

sussei metrico

una metrica

e' in omabile

• E, lo spazio vettoriale su R
• d: E x E → R⁺, che verifica d1, d2, d3

Poco (commento esercizio)

E lo stesso su R

• d: E x E → R⁺, "verma su E"
• de normabile

1. Invariante per traslazione d(x+y, z+y) = d(x, z) ∀x, y, z ∈ E
2. Positiva decrementa a graso 1 d(x, y) = ||x-y|| (de(d(e, f)) ∀x, y, z ∈ E

Sotto queste circostanze la nora e' ||x|| = d(x, o)

Stri

• ∀x, y, z ∈ E d(x+y, z+y) = |x+y - (z+y)| = ||x-z|| = d(x, z)
• ∀x ∈ R ∀y, y ∈ E d(x, x, y) = |(x-y)|| = ||(x-y)|| = ||(x-y)|| = ||(d(x-y)||

d(x, 0) = |x-0| = x

1. d.o. ||·||: E → R⁺ e' una norma su E

• |x|| = d(x, 0) ⟺ x = 0
• ||x|| = d(x, o) ⇒ d(x, x, o) = |old|d(x, o) = ||x||
• |x+y|| = d(x+y, o), =" d(x+ y, o) o=f) ≤
• d(x, o)+d(x-y, o) ⟺ d(x, o)+1 +d(0, y)
• = |x|| +d(y, o) = |x|| +||y||

Le inclusioni sono propei

• Li(Ω) con p, f= 2, a Banach ma non a Hilbert
• S = {x_k = (x_k)
• k ⇀ ĝ e' w medica ma non nomano

S e' spazo vendo Riale su R