Analisi funzionale - Riassunto

Ripasso

Definizione

X insieme

• Si dice spremuto sul campo R

(X, +) è gruppo se viene dotato di un'operazione esterna prodotto rispetto a:

a(b+c) = ab + ac (a+b)c = ac + bc 1 ∗ a = a

d: X × X → R₊

• Si dice metrica

1. d(x, x) = 0 ⇒ x = 0
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

N1: ‖ x ‖ =0 ⇒ x = 0 N2: ‖ λx ‖ = |λ| ‖ x ‖ N3: ‖ x+y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖

(N2+N3) = segunoria

La norma è Lip con costante (Cds, 3k > 0): ‖ f(x) - f(y) ‖ ≤ k ‖ x-y ‖

Lipschitziana → continuità Allora ‖ f ‖ è continua rispetto alla topologia che induce

: X × X → R Si dice prodotto scalare (form binare)

• s1: = +
• s2: =
• s3: αα = α + β

(X, d, -) si dice spazio prehilbertiano

(X, ‖ . ‖) si dice spazio normato

(X, d) si dice spazio emmetrico

{xm}⊆X si dice il succ.di Cauchylim k,m→∞ ‖ xm - xk ‖ = 0

X so nonutato sarah

{xm}⊆X si dice il succ di Cauchy convenga a x∈X lim |xm-x| = 0

Spazio di Hilbert se (X, d) è completo almeno le succ.di Cauchy sono tutte e sole carte convergenti

(X, ‖ . ‖) si dice spazio o Banchi (X, d) è completo

Ripasso

Def

X insieme

X si dice spazio sul campo ℝ

d : X x X → ℝ₊

si dice metrica

• d(x,x) = 0 ⇔ x = 0
• d(x,y) = d(y,x)
• d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

La norma è Lipschitziana con costante

• ^∀x,y ||f(x) - f(y)|| ≤ k ||x - y||

Lipschitziana → Continua

Allora || || è continua rispetto alla topologia che induce

X x X → ℝ

si dice prodotto scalare

• ^{∀x,y₁,x₂} ⟨x,y₁ + x₂⟩ = ⟨x,y₁⟩ + ⟨x,y₂⟩
• ^∀α,y ⟨αx,y⟩ = α⟨x,y⟩

(X, || ||) si dice spazio normato

(X, d) si dice spazio metrico

(x^m) C X si dice successione di Cauchy → lim_k,m→∞ r_m, r_k = 0

(X, ⟨ , ⟩) si dice spazio di Hilbert → (X, d) è completo allora le successioni di Cauchy sono tutte e sole quelle convergenti

Prop 1 (per dimostrare in R^n)

X sp. prehilbertiano → ∀ x,y ∈ X ≤ ||x|| ||y||

Teorema della norma 1

• X sp. prehilbertiano → ∃ x ∈ X
• S_×={x ∈ X | ||x||=1}
• Se x=0 allora α
• Se x≠0 allora ||x|| ⇒ ||x||= 1/||x||
• sup < x,y >

ID

X sp. prehilb. x ∈ X, y ∈ X X 1 y ↔ < x,y > =0

Teorema di Pitagora 2

• X sp. prehilb. x ∈ X, y ∈ X
• x,y ⇒ |x+y|²=|x|²+|y|²
• 1 |x+y"|"²= < x+y, x+y
• x=|x||y|²= |x|²+2+|y|²=|x|²+|y|² v

Identità del parallelogramma

• X sp. prehilb. ∀ a,y ∈ X
• ||x+y|²+|x-y|²=2|x|²+2|y|²

Teorema di von Neumann 3

Una norma è Hilbertiano

Esempio

• R è lo. v. banach su R
• \=x y elenoto in R
• x→|x|
• R normato ⇒ R di Banach

Tutte le norme N/R sono equivalenti

Def

Ω=(Ω,m,m) spazio di misura, m(Ω)>0

• L^p(Ω)={ f= {m(Ω)|<∫_Ω |f|^pdm |<∞ } 1<p<∞
• L^∞(Ω)={ f= {m(Ω)|∃ M > 0 : m{ x ∃ Ω | f(x) > M } = 0 }

∫_Ω |f|^p dm )^1/p 1≤p<∞

(L^p(Ω),‖.‖_p) sono spazi vettoriali

Se 1<p<∞ ‖f+g‖_p≤ ‖f‖_p + ‖g‖_p

Se p=∞ |f| ≤ |g| ∴ a.e.w ∈Ω

(L^p(Ω),‖.‖_p) con 1≤p<∞ ∃ spazio di Banach

Disuguaglianza di Hölder

Per 1<p<∞ p' è il coniugato di Hölder (=> 1/p + 1/p' = 1)

• f∈L^p(Ω)
• g∈L^p'(Ω) => fg∈L¹(Ω) e ‖fg‖₁≤ ‖f‖_p ‖g‖_p'

Solo (L²(Ω), ‖.‖₂) è spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare

${x,y}_{2}=∫ x(y)m dm

Esempi

(Ω, m, μ) = (N, ℘(N), μ^*)

L^p(N) = ℝ^N = {x = (x_k)_{k ≥ 1} : Σ |x_k|^p < ∞}

|x|_lp = (Σ |x_k|^p)^1/p

1 ≤ p < ∞

Spazio di Banach

L^∞(N) = ℝ^∞ = {x = (x_k)_{k ≥ 1} : sup |x_k| < ∞}

|x|_l∞ = sup |x_k|

Spazio di Banach

Se 1 ≤ p < ∞ (l^p, ||.||_p) è separabile (vedi dopo)

Se p = ∞ (ℝ^∞, ||.||_l∞) non e separabile

(Ω, m, μ) = {ξ₁, ξ₂, ...} ⊂ {ξ₁, ..., ξ_N} μ_j = μ^*

L^p(Ω) = ℝ^N = {x = (x₁, ..., x_N) Σ |x_k|^p < ∞}

|x|_lp = (Σ |x_k|^p)^1/p 1 ≤ p < ∞

|x|_l∞ = sup |x_k| = max |x_k|

In ogni caso è spazio di Banach separabile

Spazio

• (Ω, m, μ) : μ(Ω) < ∞ 1 ≤ p < q ≤ ∞
• f ∈ L^q(Ω) ⇒ f ∈ L^p(Ω) cioè L^q(Ω) ⊆ L^p(Ω)
• Non (||f||_q ≤ ||f||_p μ(Ω)^{p/q - 1/p} 1/|1/p - 1/q|)

• 1 ≤ p < q
• ∀α ∈ ℓ^p ⇒ α ∈ ℓ^q è nulla ≤ l(α)

Def μ

si dice (Ω, B(Ω), μ)

μ si dice (Ω) (μ, Ω compatto)

K sp. vett. compatto con misura di Radon

C(K) sotto insieme funzioni continue

C(K) = {f : K → ℝ : max |f(x)| < ∞} ≠ L^∞(K)

or. Weissmass

Se K = K ̄ (K) è so Banach non separabile

Se K = (K_d) kermelo compatto ⇒ C(K) sp Banach separabile

Teorema di densità

p ∈ [1, ∞]

p=∞ non vale!

Dunque, ci accontentiamo: Ω compatto e irrazionale

Esempio

Aggiunto visto che in R tutte le norme sono equivalenti, cosa succede in R^N con N ≥ Z

P_E=(1,0,...,0)

R_Z=(0,1,0,...,0)

P_E+2_Z‖(1,+2|0,+1,0,...)‖_p=2^1/p

‖x+y‖₂=‖x-y‖₂=2‖2‖₁2^1/2=2²=4

P=2

Dunque solo per p=2 la norma è l'ipotenusa.

Per L^p(R^N) non sappiamo nulla su una possibile importanza.

Inclusione di interpolazione

1=>(p₁ ≤ p₂

∫f ∈ L^P₁(Ω) ∩ U^P₂

∃(E_k)_{k ∈ M}: ∀E_k=M

(E, M) separabile ⇔ ∃X_k∈ E

Ω separabile ⇒ U^P₂(Ω) è separabile con 1≤pR

che verifica (d1)(d2)(d3)

UNA VETRICA è indotta da una norma

P.D.C. (controesempio)

E spazio vett. su R lemma su E

de normabile

⇐ a) Invarianza per trasporto.d(x+y, z+y)=d(x, z)  ∀ y, z ∈ Eb) Positiva decrescente a grado 1

d(x/y) ⇔ ||d(x/y)||  ∀ x, y ∈ E

Sotto queste circostanze la norma è ||x||=d(x, o)

∀x, y, z ∈ Ed(x+y, z+y)=_def1x+y−(z+y)||=||x-z||=d(x, z) √

d(x, 0)=|x−0|=|x| √

O.O. || ||:E → ℝ₊  è una norma su E

1x1=0 → d(x, 0)=0 ⇔ x=0 √

1x1 ||x||=d(x, 0)=d(x, 0)√

1x +y||=d(x+y, 0)_a /* d(x+y, 0)_a /*d(x, 0)-y_b /*d(x, 0)+1*d(y, 0)=

=1x||+d(y, 0)=||x||+1|y|| √

07ø

Le inclusioni sono PROPRIE

L^p(Ω) con p+2 di Banach

o di Banach

Un NON ¬ Hilbert

S={x_k=(x_k,k)^-1ƒ   è il metrica non normato

osb   x= _{| alpha} x_{α, x2 ...}

x+y=(x_{1+y1, x2+y2 ...}

S è spazio vettoriale su ℝ v