Analisi funzionale

DEF E spazio vet. su R p ∈ E

p si dice funzionale se verifica le seguenti proprietà:

• P₁ ∀λ≥0 ∀x∈E p(λx)=λp(x) (relativa omogeneità)
• P₂ ∀x,y∈E p(x+y)≤p(x)+p(y) (subadditività)

Esempio 1

[...]. La norma è un funzionale sublineare (NT=P₁ omogeneità).

[...] è un funzionale sublineare (NT≥P₁ decrescente).

DEF F spazio vet. su R g∈E →R

g si dice funzionale lineare se verifica le condizioni:

• ∀x,y∈E ∀λ,μ∈R g(λx+μy)=λg(x)+μg(y)

(g è lineare) cioè conserva le operazioni su E

(è funz.in. ⇒ il suo insieme è sottospazio)

DEF E spazio vet. su R G⊆E

G si dice convesso se

• ∀x,y∈G ∀λ∈[0,1] λx+(1-λ)y∈G

cioè contiene i segmenti dei suoi punti (su P)

Teorema di Hahn-Banach I

• E spazio vet. su R, G convesso di E
• p: E → R funzionale sublineare
• g: G → R funzionale lineare s.t.
• g < p su G ⇒ ∃E⊇G e
• ∃g−: e f(x)=p(x) ∀x∈E (estendo g e lascio inalterate sup)

(g è prolungato w'iche soddisfa condizione)

SA β={g₁,Dg₁ → R | funzioni lineari G⊆Dg₁ ⊆ E, g₁=g e

g ∈ β ⇒ β≠∅

h(x) ≤ p(x) ∀x ∈ Dg₁} β è ben definito ✓

definisco i seguenti parolove D collezione ≤ w β

h₁ ≤ h₂ ↔ Dg₁ ⊆ Dg₂ e ∀x∈Dg₁ h₁(x) ≤ h₂(x)

⇒ (D, ≤) è semi-ordinato (non c'è ostacolo che alcuni siano condivisibili)

DEFINIZIONE

_i D_i = R

DOVE D_i = ∪ D_ki = f

x → l_i(x) - l_j(x)

• ∃ Bn POSITIVO INVARIANTE

  ∀ x ∈ D_j ∃ εr x ∈ D_j √

• ∃ Bn DERIVATA INVARIANTE

  ∀ x ∈ D_j, _δlj_(k) = l_j(x)

  Supponendo l_i = I_j : ∃ D_i C D_j ⇒ D_i C D_j, D_aj = D_ai e l_i(x) = l_j(x) (per DEF a √)

• l_i ≥ l_j ∀ j ∈ T INVARIANTI

  D_aj C D_a ∀ l_n = l_j V ⇒ l_i È MIGLIORANTE

  MA B ∈ Θ ?

• l ∈ С Invariante

  D_f D_a e sommosero

  ∀ x ∀ y ∈ D_a ∀ t, μ ∈ R

  x ∈ D_g e y ∈ D_a, con l_i= l_j ⇒ D_ai C D_aj, x ∈ D_aj

  x + μy ∈ D_a, C D_i, √

• D_o. l_i è invariato

  ∀ x, y ∈ D_a ∀ t, μ ∈ R (con c somma)

  l_i(x + μy) = l_j(λx + μy) = tD_i tμl_j(y) =

  D_aj, invariato D_ai C D_aj,

  = tλ l_i(x) + μ l_j(y) = tλ l_i x + μ l_i(y)

• D_o. h(x) ≤ p(x) ∀ x_esim D_ai ⇒ x ∈ D_ai

  h_n(x) = l_i(x) ≤ p(x)

• D_o. G = D_j l_i ∈ _f l_j = G

  √ ∀ G C D_ai C D_aj √

  ∀ x ∈ G ⇒ x ∈ D_ai ∀ t, G t ⇒ l_i(x) = l_i(x) = g(x) √

Nome: DARIO UNIVERSITA DI F

COROLLARIO (T.H. 2.3)

E = {E: [1,1]} s.t. norberto

e sottospazio: {o,E} (norberto)

{g: G ➔ R unione continua

g e G = sup |g (t)|

-t e E

se G = {ø} =>

=> se g = 0

Ass f = 0 s

Osserva che _Jx preserva le norme. Quindi

• _J è un'isometria, infatti

||_Jx||_E'' = sup{||f(x)||: _g∈^||f(x)||: _g∈^f(x)∈(||x||)}}

Oss _J è iniettore ⇒ _J è dentato inietare

• _J è lineare

∀x, y∈_E ∀λ,μ∈_R

∀&exists;_{t':||J((x))+mu())f}

= f(_J(x)) + μ(_J)

= (_J(x) + λ(y)) {}

= (_J(x) + λ(y)) {}

∀ _J((x)+mu(y))=λ⊂Jx+μ⊂Jy

• _J è metrico in quanto è lineare e isometrica, infatti:

se J⊂x=x⊂o∈_E' ⇒ ||_Jx - _Jx_o||_E=0

Jones!! => x=x⊂o

||_J(x-x_o)||_E'' = ||x-x_o

Jones

• _J è un'iniezione in quanto è lineare e inietare

Quindi E è una copia di un sottospazio di E'',

J: E ⇒ E'' ⇒: ||_Jx|| _E'' = ||x|| ∀x∈_E

1. Oss rang di E è un sottospazio chi E'', co∨ _J(E)∈_E''

∀DARE _BIJELIONE E'' E'' E

Def(E||E) secondo

∑∀_KEMMPIO

U mappa _Jogg se suriettiva,

J(E) = E''

Algo1

(E||E'') regressivo, ⇒ E è discentch

Dlv

∀x_k, x_m ∈E succ di cuiich

⇒lim sup (d_K)x_n) = lim_{K,M ⇒ ∞}

k&m∈∞, ∈

poichè v₂ = ø₂ = X

⇒ Ø(x₁,r₁) ø₂ ø₂ x₂ Ø(x₁,r₁) ø Ø

0 < X₁ < V₂ bc Ø(x₁,r₂) ⊂ Ø(x₁,r₂ ö Ø₂

⇒ Ø(x₁,r₁) = Ø(X₁,X₂) < v₂

così avendo analogamente cosmismo cosi:

una successione di centri o rageli (X_k,c X e (v_k) CR^?

t. Ø(x_k,r_k) Ø Ø(x_k ö Ø x_k+1 ø v_k+1 < v₀

0d. Ø(x_k, ㈅ non infinity

h_km·k <m

0 < Ø(x_k+1,X_m