Analisi funzionale

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Author: el_ces_94

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Spazi di Hilbert: generalità e dualità. Spazi normati e spazi di Banach: il Teorema di Hahn Banach e sue applicazioni. Spazi riflessivi; Teorema dell'Uniforme Limitatezza e sue …

Esame Analisi funzionale

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Pucci Patrizia

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2016-2017

140 pagine

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DEF Esp. let. su _R p∈^*R

PSI, DICE FUNZIONALE

VERIFICA LE SEGUENTI PROPRIETÀ:
P1) ∀ X≥0 X∈E p(λx) = λp(x) POSITIVA OMOGENEITA'
P2) ∀ x y∈E p(x+y) ≤ p(x) + p(y) SUBADDITIVITÀ

ESEMPIO 1

1) 1,1 UNA NORMA È UN FUNZIONALE SUBLINEARE (NE' 1) P1 OMOGENEITA')

1) 1,1 IL SEMINORMA È UN FUNZIONALE SUBLINEARE (NE' 1) P1 OMOGENEITA')

DEF Esp. vet. su _R g∈^*R

G, SI DICE FUNZIONALE

∀ x y∈E ∀ λµ∈^*R g(λx + y) = λg(x) + µg(y),

LINEARE, CIOÈ LASCIA LE SOMME E OPERAZIONI SU E.

G È LINEARE → IL SUO DOMINIO È SOMMANZA.

DEF Esp. vet. su _R G∈^*EC

G, SI DICE SEPAR.

∀ x y ∈ G ∀ λ∀ µ∈^*R λx + µ y ∈ G

CIOÈ CHIUSO RIESORDIA NEL SENSO DI CHIUSO

TEOREMA DI HAHN-BANACH 1

Esp vet su _R, G som. se DIE

p∈^*R FUNZIONALE SUBLINEARE

g: G→_R FUNZIONALE LINEARE T.C.

g(x) ≥ p(x) ∀ x ∈ G
g = proiezione w realistico congen.

DIM

S^a = {h₁ D_g x₂^R / lineare GC D_g t C E_x h₁ = g e

h(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ D^g} E BAN DEFINITO

g∉o→ 0

DEFINISCO IL SEMIGRUPLO BARICRO O STALLICOV

h₁ ≤ h₂ (⇒) D_a t D_i2 e h₂ ^/h₂'/h₁

=⇒ (D, ≤) ^/ È ^g subdominato ^{/(non \\\ confermato che alcunimi sono nulli)} aut

DD que _CATHERIN in 0 avvestte LARA...

S^a Q={h₁, g}

∀ Ψ ∈, CATHENA (= FICHERIA TIMM’ CONTRAMA DI FUNZIONAN)

∀ I, J ∈ CATH hⁱⁱ e h^j sono aut nominali ↔ hⁱ - h^j

DEF _{esp. vet. su R} p ∈ ℝ

p.si. olic

funzione verifia le seguenti proprietà:

sublinare

P1) ∀λ > 0 ∀x ∈ ℝ p(λx) = λp(x) positiva omogeneità

P2) ∀x,y ∈ ℝ p(x+y) ≤ p(x) + p(y) subadditività

ESEMPIO 1

U. l.lin. una norma è un funzione sublinare (nt si P1 omogeneità)

l.11 ul.s.lin. di un funzione sublinare (nt si P1 omogeneità)

DEF _{esp. vet. su ℝ} g ∈ ℝ

g.si. olic

funzione ∀x,y ∈ ℝ ∀μ ∈ ℝ g(λx+y) = λg(x)+μg(y)

linare cioè lissima le operazioni su ℝ

g é un l.lin. = il suo dominio è sottospazio

DEF _{esp. vet. su R} G ∈ ℝ

G.si. olic sonoeso ∀x,y ∈ G ∀λ,μ ∈ ℝ λx+μy ∈ G

cioè cullio insierio l.lin. contrasto

TEOREMA DI HAHN-BANACH

Es.p. vet. su R, G sonoeso p.si. olic

p: ℝ → funzionale sublinare

g: G → ℝ funzionale olic t.c.

g(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ G

G = baddoelet w chiesa sulla cop.

DHW

SA = {h₁. D_a → ℝ | funzione GC, D_a ∈ E, h₁ = g e

h(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ D_a} e buona definite

g ∈ D → ⌀

definisco il seguente parassolo d. singolare ≤ w

h₁ ≤ h₂ ⇒ D_a = D_a₂ e h

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