Analisi funzionale applicata

Spazi di Sobolev

Esempio

-Δu = f(x)(ω) ω ⊆ ℝ^N Ω aperto illimitato

• u = 0 W ΩR

(1)Si dice equazione di Poisson e deriva dal problema fisico del potenziale gravitazionale

• u → potenziale gravitazionale
• f → densità di massa

Abbiamo il risultato:

• ∃!soluzione u ∈ C^2,α(Ω)
• Ω ⊆ ℝ^N aperto N > 1
• C_c^k(Ω):={u ∈ C^k(Ω): supp u ⊆ cci Ω}
• u ∈ C_c¹(Ω) ⇒ ∫_Ω u ∂xi dx = 0 ∀ i=1..N

_{^def0 < α < 1}

f: (a,b) → ℝ α - Holderana

∃c_o. ∀ x,y ∊(a,b) |f(x) - f(y)| ≤ c_o|x-y|^α Lipschitz →√ Lipschitzianità

L'idea è approssimare f con {f_m}_m∊ℕ. f_m = smooth

Ma nelle applicazioni f non è continua ad esempio, repensando alla terra

f = f(P) con P distanza dal centro della terra

Questo è il motivo per cui si introducono gli spazi di Sobolev

Esempio 1

N = 1

∫_Ω u'^α (x) dx

supp u = [a,b] ⊆ Ω

∫_a^b u'(x) dx = u(b) - u(a) = 0 - 0 = 0 ✓

N > 1

∫_ℝ^N u ∂xi dx = ∫_ℝ ∫_R ∂xi^j dx_i ... dx_n = 0

con il teorema di Lebesgue si scorporano nelle N variabili

OK!

OSS

u ∈ C_c¹(Ω) => ∃!∫_Ω ∂_σi(ψu) dx = 0

ψ ∈ C_c¹(Ω) => ∫_Ω ∂_σiu ψ + ψ ∂_σiu dx

⇒ ∫_Ω ψ ∂_σiu dx = -∫_Ω u ∂_σiψ dx u ∈ C_c¹(Ω) ∀ψ ∈ C_c^∞(Ω) funzione test

DEF

v ∈ L_loc¹(Ω) <=> ∀U : Ω → R mes. : |v_k| < ∞ ∀K ⊂ Ω compatto

Nota: si userà lo stesso simbolo ∂_σ per le derivate classiche e quelle in senso debole

Esercizio 2

∀ψ ∈ C_c(a,b) u ∈ AC[a,b] ⇒ u' è la derivata debole

Intanto (uψ)' = u'ψ + uψ' e vale la formula visto calcolo integrale

∫_a^b (uψ)' = (uψ)(b) - (uψ)(a) = 0 ⇒ ∫_a^b u'ψ = -∫_a^b uψ'

ok

Esercizio 3

Unicità della derivata debole, data l'esistenza

∀ ∃ n₁, n₂ derivate deboli di u, u ∈ L_loc¹(Ω)

⇒ ∫_Ω (n₁ − n₂) ψ = 0 ∀ψ ∈ C_c^∞(Ω)

⇒ n₁ = n₂ q.o. Ω

ok

ψ_m(x) = ∫_ℝ p_m(x-y) p(1/_zm(y)dy > 0

ψ_m(x) = ∫_ℝ p_m(x-y) p(1/_zm(y)dy ≤ ∫_ℝ p(1/_zm(y)dy = 1

⇒

ESERCIZIO 3

∫_ℝ uϕ = ∫_ℝ u ∂ϕ/∂x_i ∀ϕ∈C_c^∞(Ω)

PEE ϕ∈C_c^∞(Ω) CONSIDERMO L'ESTESA IN ℝⁿ

⇒ p_ε * ϕ ∈ C^∞(ℝⁿ)

VOGLIAMO E.T.C. IL SUPPORTO SIANO

CONPANTO E CONTENUTO IN Ω

LA REGURIZZAZIONE AVENGA ∈ COMPATTO

SIA d: = d(K, Ω) > 0

e sia ε < d ⇒ (ϕ_ε := p_ε * ϕ ∈ C_c^∞(Ω)

1. ∫_Ω ∇_v ϕ_ε = -∫_Ω u ∂ϕ/∂x_i
2. ε→0
3. ∫_Ω ∇_v ϕ - ∫_Ω u ∂ϕ/∂x_i

ϕ_ε ∃ ϕ su COMPATTI, SCEGLIATO DUNQUE K_d/2 = K + B_d/2

⇒ϕ_ε ∃ ϕ w K_d/2 e ∂ϕ_ε/∂x_i = p_ε * ∂ϕ/∂x_i ⇒ ∂ϕ/∂x_i w K_d/2

|∇ϕ_ε| ≤ |∇| |p_ε * ϕ|_∞ ≤ |∇| |p_ε|_L¹|ϕ|_∞

|u ∂ϕ_ε/∂x_i| ≤ |u| |∂ϕ_ε/∂x_i|_∞ w K_d/2

QUINDI È LECITO USARE IL TEO. DI PARAGRAFO AL LIMITE

⇒ ∫_Ω uϕ = - ∫_Ω u ∂ϕ/∂x_i ∀ϕ∈C_c¹(Ω)

TORNA A PAG. 2

(iii)

G(U sopranban W) → ∃ (u_mn_m ∈ U ∨ ∃ (v_mn_m ∈ V b.e.

cioè U = {u_m, n_m ∈ N} e V = {v_m, n_m ∈ N}

e V sopran W

O.O. W = { (u_mn_m), n_m ∈ N}

° altro

∀ (u_mv_m) ∃ n_m, n_m2: ∀ m ≥ n_m

¶u_m-u_l¶_p < ε^p e ¶v_m-v_l¶_v < ε^p

quindi ¶u_m-u_l¶_w + ¶v_m-v_l¶_v < 2ε^p

u.nomico thp

¶u_m-u_l, v_m-v_l¶_p < ξ

° (N) successivamente (pag. 9)

ESSERCIZI

U,V sarà di Bancho W = U x V

sa φ: U x V → W'

(u', v') → φ(u', v'): W → ↠

w→φ

→ φ è ben posto sx è isomomorfismo

Dio

dd. φ(u', v') ε W'

φ(u', v') è insieme w amato e' insieme w u e v

< u_i, u_w >_{u x w} + <v_i, v_w>_{v x v} ≤

≤ ¶u_i¶_u¶u_l¶_w + ¶v_i¶_v¶v_l¶_w ≤ ¶u_i¶_u¶v_l¶: ≤ ¶v_v¶¶v_u¶¶u_li¶¶v_ll¶=

nomi nomi

= (¶u_li¶+ ¶u_ll¶)¶u_w¶ → φ(u', v') &epsilon W'

d.0. ŭ ∈ C_T (I̅)

Consideriamo i casi

I=R

allora ŭ

I=[a,b] limitato

u̅∈ L^p(c) ⊂ L¹(c̅) ⇒ u̅ ∈ AC [a,b] ⇒ u̅ ∈ C(I̅) ∨

I=(-∞,a,b)

u̅ ∈ L^p(-∞,b) ⇒ u̅ ∈ L^r (b-1,b)

⇒ u̅ ∈ C [b-1,b)

⇒ u̅ ∈ C(I̅) ∨

⇒() ∨ ok!

Quindi:

W^1,p (a,b) = AC ([a,b]), (a,b) limitato

W^mp (a,b) = {u̅ ∈ L^p loc (a,b): u̅ ∈ L^p (a,b)} p ∈ [1,∞)

W^1,∞ (a,b) = {u ∈ Lip (a,b): u̅ ∈ L^∞ (a,b)}

N > 1

Ω ⊂ R^N aperto

L’idea è di ridurci al caso N=1

intersecando Ω con una retta parallela

all’asse x ottenendo un aperto di R

TEOREMA 1.6

Sia u ∈ L^p (Ω)

u ∈ W^1,p (Ω) ⟺ ∃u̅ q.o. m Ω t.c.

1) u̅ rispetta a quasitutti i segmenti di retta in Ω

paralleli ad uno degli assi coordinati il assoluta continua

2) ∂u∂x_i ∈ L^p (Ω) ∀i=1…N (∃ ∂u̅∂x_i debl)

(cić non cić)

← no aiu

⇒u̅ = u q.o.m. Ω

o.d. ∂u̅∂x_i sono derivate debole

∀ψ∈ C_c¹ (Ω̅) c C_c¹ (R^N)

con suppγ⊂ Ω̅

∫_n u ∂ψ∂x_i dx = ∫_Rⁿ u fun ⇒ … ⇒ 絧(x₁, x_n) ∈ W^1,∞ (xn)^∂ψ_∂xi fun =

∂ον∂ΠΑ， ∫u temperato δx₁…_i ภาษาไทย=∂u,y_i bearer = - ∫∂ψ∂x_i]