Analisi funzionale applicata

Spazi di Sobolev

Esempio

-Δu = f(x)(0) in Ω ⊆ R^N

u=0 in ∂Ω

Sia Ω aperto illimitato

1. Si dice equazione di Poisson e deriva dal problema fisico del potenziale gravitazionale

   u → potenziale gravitazionale

   f → densità di massa

   Abbiamo il risultato:

   f ∈ C0,α(Ω) ⇒ ∃! soluzione u ∈ C^2,α(Ω)

   (continua, α-holderiana) (no u`)

2. Ma nelle applicazioni f non è continua ad esempio, pensando alla terra

   f = f(p) con p = distanza dal centro della terra

L'idea è di approssimare f con (f_m)_m∈N: f_m → f dal risultato

CÀ ogni f_m muove una soluzione u_m dal risultato che abbiamo

Ma u_m → u , u come vive?

Questo è il motivo per cui si introducono gli spazi di Sobolev

Esempio 1

Ω ⊆ R^N aperto

N ≥ 1

C^^∞_c(Ω) = {u ∈ C^^∞(Ω) : supp u &cc; Ω}, cioè

• u ∈ C_c¹(Ω) → ƒ_∂αi dx = 0  ∀ i=1..N
• Dii

N=1

ƒ(u' u) dx=ƒ u dx

sup u=[a,b] ⊆ Ω

ƒ(u' u) dx = u(b) - u(a) = 0

     - 0 =      0      ✓

N≥1

A meno di ordinale ie variabili così òè i° coincide estendibile con continuità u ∈ W^RN

ƒ  &ni (ii)⊕ ∫∪ ∥ dx = ∑∥ t₀∩∪(ii) ƒ dx_N = 0

ƒ ∪∩ OR š -

GLI int. o versaglie

si SCROPAGGONO nelle

N variabili

OK!

SPAZI DI SOBOLEV

ESERCIZIO

_{(*'): -Nu=f(x)(w) w ⊆ R^N}

u=0 w ∂Ω

⁽¹⁾Si dice equazione di Poisson e deriva dal problema fisico del potenziale gravitazionale

u -> potenziale gravitazionale

f -> densità di massa

Abbiamo il risultato:

f ∈ C^∞_c(Ω) => ∃! soluzione u ∈ C^2,α(Ω)

(continua, α-holderiana) (no u|_∂Ω)

MA nelle applicazioni f non è continua ad esempio, pensando alla terra

f = f(P) con P: Distanza dal centro della terra

^R_P^r

L'idea è approssimare f con (f_m)_m∈N

Ma u_m -> u, in che vie?

Questo è il motivo per cui si introducono gli spazi di Sobolev

Esercizio 1

Ω ⊆ R^N aperto N ≥ 1

k C_c^∞(Ω): {u ∈ C^∞_c(Ω): supp u ⊂⊂ Ω}

u ∈ C¹_c(Ω) => ∫_Ω ∂x_i = 0 ∀ i=1..N

N=1

∫_Ω u'(x)¹ dx

Suppu=[a,b] ⊂ Ω

∫_a^b u'(x) dx = u(b) - u(a) = 0 - 0 = 0 ✓

N ≥ 1

A meno di riordinare le variabili così ordinato i=1 incluse estendendo con continuità u ℝ^N

∫_Ω ∂x_i ∫_R ... ∫_R ∂x_i dx_i dx_N = 0

Gli int. di Lebesgue si scorporano nelle N variabili

OK!

OSS

u ∈ C_c¹(Ω) ⇒ ϕu∈C_c¹(Ω) ⇒ ∫_Ω ∂_j(ϕu) dx = 0

ϕ ∈ C_c¹(Ω)

∫_Ωu ∂_jϕ + ϕ ∂_ju dx

⇒ ∫_Ωu ∂_jϕ dx = - ∫_Ω ϕ ∂_ju dx u ∈ C_c¹(Ω) ϕ ∈ C_c¹(Ω) FUNZIONE TEST

FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI

DEF

u ∈ L¹_loc(Ω) ⇒ u : Ω → ℝ meas. |u|_K < ∞ ∀K ⊂⊂ Ω COMPATTO

N = ∂u/∂x_i IN SENSO DEBOLE ⇔ ∫_Ω ϕuN dx = - ∫_Ω u ∂_jϕ dx ∀ϕ ∈ C_c0(Ω)

Nota: SI USA LO STESSO SIMBOLO ∂i PER LE DERIVATE CLASSICHE E QUELLE IN SENSO DEBOLE ∂_j

ESERCIZIO 2

g : L¹ loc e g ∈ AC ⇒ g ∈ L ⇔ g ∈ BV ⇔ ∃ g'_a g'_b

∫_a^bg'_b = g(b) - g(a)

Qui

u ∈ AC[a,b] ⇒ ϕ ∈ C_c¹(a,b) uϕ ∈ AC[a,b] u' è la derivata assoluta

ϕ ∈ C_c¹(a,b) ⇒ ϕu ∈ AC[a,b]

u ∈ AC[a,b] ⇒ uϕ ∈ AC[a,b]

Infatti, (uϕ)' = u'ϕ + uϕ'

e vale la formula fino ad alcuno intervallo

∫_a^b(uϕ)' = (uϕ)(b) - (uϕ)(a) = 0 ⇒ ∫_a^b u'ϕ = - ∫_a^b uϕ'

OK

ESERCIZIO 3

Qui

UNICITÁ DELLA DERIVATA DEBOLE, DARA L'ESISTENZA

# ∃ N₁, N₂ DERIVATE DEBOLI DI u , u ∈ L¹_loc(Ω)

⇒ ∫_Ω N₁ϕ = -