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R R1 2 3|a − |euclidea d(a , a ) = a è uno spazio metrico ma non vettorialej i j i∈perchè a + a / Mj i3.1 Punti di aderenza e di accumulazione∈~x M è punto d’aderenza di X se B(~x, ) contiene almeno un punto di X,∀ > 0∈ ⊂Se ~x X M =⇒ ~x è sempre un punto di aderenza, anche se è un puntoisolato.∈Se ~x / X è di aderenza , scelgo un punto di X contenuto in B(~x, ) e lo1∈ ), e cosı̀ via al fine di generarechiamo x . Chiamo x X contenuto in B(~x, 11 2 2∞ → → ∞.∈ ) tale che d(x~ , ~x ) 0 per nuna successione: x = x~ B(~x, 1n n nn−121In questo caso il punto di aderenza si chiama punto di accumulazione o puntolimite.3.2 Aperti e chiusi• ∈Palla aperta di (M, d) di raggio r e centro x~ M :0M ∈B( x~ , r) = B ( x~ ) = ~x M : d(~x, x~ ) < r0 00 r 18• ∈Palla chiusa di (M, d) di raggio r e centro x~ M :0M ∈ ≤B( x~ , r) = B ( x~ ) = ~x M : d(~x, x~ ) r0 0 0rDefinizione 10 Sia (M, d) uno spazio metrico e X ⊆ M con metrica ereditata da M. X si dice:- Aperto se, ∀ x ∈ X, ∃ ε > 0 t.c. B(x, ε) ⊆ X
- Chiuso se il suo complementare è aperto
- X̄ è la chiusura di X, ovvero il più piccolo chiuso che contiene X
- ∂X è la frontiera di X, ovvero X̄ ∩ X̄c, quindi se x ∈ ∂X, B(x, ε) ∩ X ≠ ∅ e B(x, ε) ∩ X̄ ≠ ∅, ∀ ε > 0
metrico completo e X M . Allora⇐⇒(X, d) è completo (X, d) è chiuso.
Dimostrazione Proposizione 4 =⇒ : ∞∈ ∃ ⊂Sia ~z M punto di accumulazione di X =⇒ ~x X t.c.(n) 1∞→d(x , z) 0 =⇒ ~x è di Cauchy in (X, d) completo. Ma poichè(n) (n) 1∈z X, (X, d) è chiuso.⇐= : ⊂Sia ~x X una successione di Cauchy. Allora lo sarà anche in M che è(n) ∃~x ∈ →completo. =⇒ M t.c. d(~x , x) 0. Questo implica che ~x è un punto(n)di accumulazione per X. Poichè allora X è chiuso deve necessariamente essere(X, d) completo.
193.2.1 Esempio dei quadrati
3.2.2 Esempio riguardante Q
3.3 Insiemi densi⊂Definizione 14 X (M, d) è denso in M se una delle tre proprietà equiv-alenti è soddisfatta:
- ∀~x ∈ ∀ ∃~y ∈M e > 0 X t.c. d(~x, ~y ) < ∞
- ∀~x ∈ ∃ ⊂ →M una successione ~x X t.c. d(~x , ~x ) 0(n) (n)1
- X̄ = M ⊂ ⊂Vale
allora il seguente risultato: SeA B C e A è denso in B e B è densoin C, allora A è denso in C. Vediamo perchè: ∃ ∈∀ ∀ ∈ ∃ ∈ . Scelti b ed , a A t.c. > 0 e c C, b B t.c. d(b, c) < 2 ≤d(a, b) < . =⇒ d(a, c) d(a, b) + d(b, c) < 2Per esempio è denso inQ R3.3.1 Esempi sulla completezza di alcuni spazi rispetto a deter-minate norme3.4 Insiemi limitati e totalmente limitati⊂Definizione 15 Un insieme X (M, d) è limitato se è contenuto in unaqualche palla di (M, d)In uno spazio finito dimensionale ogni insieme limitato ammette un ricopri-mento finito, con palle di raggio arbitrariamente piccolo:−1Se M = con metrica d euclidea, dato un = 10 ed X il segmento diR 1 = 10 palle.lunghezza unitaria, X sarà ricoperto da −1nSe M = con metrica d euclidea, dato un = 10 ed X l’ipercubo di latoR 1 nunitario, X sarà ricoperto da = 10 palle.nIl numero di palle cresce in questo caso in modo esponenziale
rispetto al∞crescere della dimensione. E’ evidente che sorgeranno problemi nel caso dimensionale. 20⊂ ∀Definizione 16 Un insieme X (M, d) è totalmente limitato se, > 0,ammette un ricoprimento finito con palle di raggio arbitrario tale che:N[⊂X B(~x , )ii=1La totale limitatezza implica la limitatezza. La relazione inversa è invece val-∞ida solo nel finito dimensionale, non nell’ dimensionale . E per mostrarlobasta dare un controesempio:∞ ∈ || · || ||~x||Sia X = B(0, 1) = ~x (C , ) : < 1 . La successione dei versori2 √ || 2 > la palla è~e è contenuta in (||~e = 1). Poichè d (~e , ~e ) =2 2(k) (k) (i) (j)limitata ma non totalmente limitata.⊂Proposizione 5 Se X (M, d) è totalmente limitato non è possibile costru-∞ ⊂ ∀ ∀ire una successione ~y X t.c. d(~y , ~y ) > > 0 i, j(n) (i) (j)1 ⇒ ∀Dimostrazione Proposizione 5 Sia X totalmente limitato > 0,N S∈ ⇒ ∈⊂ ). Se ~y B( x~ , ) ~y / B( x~ , ) poichè per laX B(~x , 1 1i (1) (2)i=1 2 2 2≤disuguaglianza triangolare d(~y , ~y ) d(~y , x~ ) + d(~y , x~ ) < . Quindi1 1(1) (2) (1) (2) ). Iterando ~y andrà in B( x~ , ). Poichè il numero~y va messo in B( x~ , 32 (3)(2) 2 2di palle per il ricoprimento è un numero finito l’elemento ~y dovrà finire(N +1)in una palla già occupata da un altro elemento. Perciò d(~y , ~y ) < (N +1) (j)⊂Definizione 17 Un insieme X (M, d) è compatto se ogni successione∞ ⊂~x X ammette una sottosuccessione convergente.(n) 1 ⊂Proposizione 6 Ogni chiuso X (M, d) compatto è a sua volta compatto.∞ ⊂ ⊂ ⇒ ∃X M compattoDimostrazione Proposizione 6 Se ~x(n) 1 ∈una sottosuccessione ~x convergente a ~x M . Ma X è chiuso e contiene(n )k ⇒ ∈ ⇒tutti i suoi punti di accumulazione ~x M X è compatto. ⊂Teorema 1 (Heine-Borel) Se M è finito dimensionale e X (M,
d) al-lora: ⇐⇒X compatto X chiuso e limitato∞Se M è dimensionale:⇐⇒X compatto X completo e totalmente limitato21Dimostrazione Teorema 1 =⇒∞ ⊂ ∃i. Se ~x X è una successione di Cauchy in X compatto allora(n) 1 ∈una sottosuccessione ~x convergente a ~x X. Ma ogni successione(n )k ⇒di Cauchy che ha una sottosuccessione convergente, converge X ècompleto. N S∃ 6⊂ ).ii. Se per assurdo non fosse totalmente limitato > 0 t.c. X B(~x ,ii=1 2 6⊂ ⇒ ∃ ∈). Poichè X B( x~ , ) x~Prendo allora x~ e costruisco B( x~ , 1 21 1 2 2 ∈ ≥X / B( x~ , ) t.c d(x~ , x~ ) . Costruisco allora B( x~ , B( x~ , ). Ma1 1 2 2 12 22 S6⊂ ⇒ ∃ ∈ ∈ ≥B(~x ,poichè X ) x~ X / B(x~ , ) t.c d( x~ , x~ ) .i 3 2 3 ii=1 2 2∞ ⊂ ≥Iterando si ottiene uno successione ~x X t.c. d(~x , ~x )(n) (i) (j)1. Tale successione non può avere una sottosuccessione convergente eperciò X nonsiamo in grado di approssimare qualsiasi funzione continua f(t) definita nell'intervallo [-π, π] con una precisione arbitraria. Questo significa che possiamo trovare una successione di polinomi trigonometrici Pn(t) che convergono uniformemente a f(t) nell'intervallo [-π, π]. Inoltre, possiamo estendere questo risultato a funzioni periodiche di periodo 2π. Infatti, se una funzione f(t) è periodica di periodo 2π, allora possiamo approssimarla con una successione di polinomi trigonometrici Pn(t) che convergono uniformemente a f(t) nell'intervallo [-π, π]. In entrambi i casi, l'insieme dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue definite nell'intervallo [-π, π] o delle funzioni periodiche di periodo 2π. Questo risultato è molto utile in analisi matematica, in quanto ci permette di approssimare funzioni complesse con funzioni più semplici, come i polinomi trigonometrici.L'insieme dei vettori esprimibili come combinazioni lineari finite dei vettori ~α∈I(α)(j) è definito come:
Span{~α∈I(α)(j)}
Definizione 18: L'insieme dei vettori v è completo se lo span dei vettori ~j(j) è tale che per ogni elemento α, esiste almeno un vettore v in ~j(j) che lo contiene.
Span{~j(j)} ∀ α, ∃ v ∈ ~j(j)
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