Appunti Analisi funzionale

Appunti di Analisi funzionale

by MATTIA CAPECCIA

June 17, 2020

Contents

1 Spazi vettoriali 6

1.0.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.0.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Dipendenza ed indipendenza lineare; concetto di dimensione . 8

1.1.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Spazi normati 10

2.0.1 Esempi di norme importanti . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Equivalenza delle diverse norme . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

∞-dimensionali

2.2 Spazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Spazi funzionali e norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

P

∈

2.4 Regole generali per la f L (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Convergenza di somme integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Spazi metrici 17

3.0.1 Esempi di spazi metrici non vettoriali . . . . . . . . . . 18

3.1 Punti di aderenza e di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Esempio dei quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Esempio riguardante Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Insiemi densi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

3.3.1 Esempi sulla completezza di alcuni spazi rispetto a de-

terminate norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Insiemi limitati e totalmente limitati . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.1 Esempi di insiemi densi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Span(inviluppo lineare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.1 Esempi di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Span

3.5.2 Esempi di basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Spazi metrici separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Spazi euclidei 27

4.1 Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Nozioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Esempi di spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Minimi quadrati, proiezione ortogonale e disuguaglianza di

Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Complemento ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Disuguaglianza di Bessel e relazione di Parseval . . . . . . . . 34

4.6 Isomorfismo tra H separabile e l . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2

4.7 Ortogonalizzazione dei monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Distribuzioni 37

5.1 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Funzionali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1 Esempi di operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.2 Esempio di norme funzionali . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Convergenze debole e convergenze forte . . . . . . . . . . . . . 41

5.4 Introduzione alla δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.5 Altre proprietà della δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.6 Derivata di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7 Nuove proprietà di δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.8 Derivata di funzioni discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.8.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

n n

5.9 Distribuzioni in (δ in ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

R R

5.9.1 Esempi di cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . 50

5.10 Lemma di Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.11 Nucleo di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

5.12 Ortonormalità e completezza di una base con la δ . . . . . . . 54

6 Serie di Fourier 55

2

6.0.1 La serie di f (x) = x e f (x) = x . . . . . . . . . . . . . 57

6.1 Convergenza puntuale della serie di Fourier . . . . . . . . . . . 59

6.2 Proprietà di convergenza dei coefficienti della serie di Fourier . 62

6.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3 Fenomeno di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.4 Cambio di intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Trasformata di Fourier 68

7.1 Proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2 Convergenza puntuale dell’antitrasformata di Fourier . . . . . 71

7.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3 Trasformata di Fourier di funzioni e distribuzioni notevoli . . . 73

7.4 Altre proprietà della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . 75

7.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

→ ∞

7.5 Rapidità di convergenza a 0 per limite k . . . . . . . . . 77

7.6 Prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.7 Significato fisico del prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . 78

7.8 Teorema di Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.8.1 Considerazioni fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Trasformata di Laplace 81

8.1 Dalla trasformata di Fourier alla trasformata di Laplace . . . . 81

8.1.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2 Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace . . . . 82

8.3 Applicazione della trasformata di Laplace alla risoluzione di

equazioni differenziali con condizioni iniziali . . . . . . . . . . 83

8.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Operatori lineari 84

9.0.1 Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.0.2 Esempi di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.1 Rappresentazioni matriciali di operatori . . . . . . . . . . . . . 87

9.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2 Inverso di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3

9.3 Norma di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.1 Esempi di norme di operatori . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.2 Limitatezza degli operatori su spazi finito-dimensionali 91

9.3.3 Norma dell’operatore integrale di Fredholm . . . . . . . 92

9.3.4 Norma del proiettore ortogonale su S . . . . . . . . . . 93

2

9.3.5 Operatore ”moltiplicazione per x” in C[a, b], L [a, b] . . 93

9.3.6 Limitatezza dell’operatore derivata in norma euclidea

e del sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.4 Limitatezza di somma e prodotto di operatori limitati . . . . . 94

9.5 Funzione di operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.6 La serie geometrica per gli operatori e le equazioni integrali di

Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.7 Operatori aggiunti e auto-aggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.8 Calcolo degli hermitiani coniugati degli operatori principali . . 102

9.9 Proiettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.9.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9.10 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.10.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.11 Proprietà di operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.11.1 Matrice unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

± →

9.11.2 Gli operatori Ê : l l non sono unitari . . . . . . . 111

2 2

9.12 Operatori di rango finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.12.1 Esempi di operatori di rango finito . . . . . . . . . . . 111

9.13 Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.13.1 Esempi di operatori compatti e non compatti . . . . . 114

9.13.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10 Spettro di operatori lineari 115

10.1 Proprietà del risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

†

10.2 Relazione tra spettro di  e  e considerazioni sugli spettri

degli operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.2.1 Spettro di operatori di rango finito . . . . . . . . . . . 122

10.2.2 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

−

+

10.2.3 Lo spettro di Ê e di Ê . . . . . . . . . . . . . . . . 124

d

−i . . . 126

10.2.4 Spettro dell’operatore quantità di moto p̂ = dx

2

d

2 −

10.2.5 Spettro dell’operatore p̂ = . . . . . . . . . . . . . 127

2

dx

4

11 Approfondimenti 128

11.1 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.2 Diagonalizzazione di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5

1 Spazi vettoriali 3

Diamo una prima analisi molto intuitiva in di cosa è un vettore. Sia un

R

punto di riferimento O, detto origine, ed un punto P nello spazio. Denomini-

amo vettore ~

v il segmento orientato OP .

• ∈

α~

v α è un vettore diretto ed orientato come ~

v se α > 0 , mentre

R |α|~

ha orientamento opposto se α < 0 ed ha lunghezza v .

• Due vettori emanati dall’origine possono essere sommati secondo la

regola del parallelogramma dando luogo ad un terzo vettore: ~

v = v

~ + v

~

1 2

E’ possibile ora astrarre tale concetto per dare la definizione di spazio vetto-

riale.

Definizione 1 Uno spazio vettoriale è un insieme di oggetti (vettori) su cui

sono definite due operazioni.

• Operazione interna - Somma

∀~x, ∈ ⇒ ∈

~y V ~x + ~y V

Questa operazione gode delle seguenti proprietà:

1. ~x + ~y = ~y + ~x Commutatività

2. ~x + (~y + ~z ) = (~x + ~y ) + ~z Associatività

~ ~

∃

3. elemento neutro 0 : ~x + 0 = ~x ~

∃ −~x

4. elemento opposto : ~x + (−~x

) = 0

• Operazione esterna - Prodotto per uno scalare

∀~x ∈ ∀α ∈ ∈

V , F (detto campo): α~x V Questa operazione gode

delle seguenti proprietà:

1. α(β~x

) = (αβ)~x Associatività

2. (α + β)~x = α~x + β~x Distributività rispetto alla somma scalare

3. α(~x + ~y ) = α~x + α~y Distributività rispetto alla somma scalare

~

∃ ·

4. elemento neutro 0: ~x 0 = 0

6

∃ ·

5. elemento neutro 1: ~x 1 = ~x

Ci proponiamo di ricordare anche la definizione di campo per avere le idee

chiare.

Definizione 2 Un campo è un insieme dei elementi chiusi rispetto alle op-

erazioni di somma e prodotto con la proprietà commutativa ed associtiva per

entrambe le operazioni e l’esistenza degli elementi neutri ed inversi.

1.0.1 Esempi

a. V = su campo e V = su campo con somma ordinaria e

R R C C

moltiplicazione per uno scalare ordinaria;

n n

b. V = o V =C con i rispettivi campi e

R R C

~x + ~y = (x + y , ..., x + y )

1 1 n n

α~x = (αx , ..., αx )

1 n

c. V = Mat(n, o V = Mat(n,

R) C)

x + y = z

ij ij ij

αx = z

ij ij

d. V=C[a, b]

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

(αf )(x) = αf (x)

1.0.2 Esercizi

Dire quali tra questi sono spazi vettoriali:

nk=1

3 2

P

∈

1. ~x = (x , .., x ) : x = 1 NO

R

1 n k

n

∈

2. ~x : x = 0} SI

R 1

∈

3. A M at(n, : trA = 0 SI

C)

∈

4. A M at(n, : detA = 0 NO

C)

n

5. insieme finito dei punti di NO

R 7

1.1 Dipendenza ed indipendenza lineare; concetto di

dimensione

• 2 vettori collineari sono dipendenti: v

~ = α v

~

2 1

• 2 vettori non collineari sono indipendenti:

⇐⇒

α v

~ + α v

~ = 0 α = α = 0

1 1 2 2 1 2

• 3 vettori coplanari sono dipendenti: v

~ = α v

~ + α v

~

3 1 1 2 2

• 3 vettori non coplanari sono indipendenti:

⇐⇒

α v

~ + α v

~ + α v

~ = 0 α = α = α = 0

1 1 2 2 3 3 1 2 3

• 4 o più vettori sono sempre dipendenti 3

Quindi 3 è il massimo numero di vettori indipendenti di e 3 è perciò la sua

R

3

∈

dimensione . Ogni vettore ~

v può essere espresso come combinazione

R

lineare di 3 vettori indipendenti (i quali costituiscono una base).

kj=1

{~x } ⊂

Definizione 3 k vettori V si dicono linearmente dipendenti se

(j)

∃k scalari non tutti nulli tali che:

k

X ~

α ~x = 0

j (j)

j=1 ∀j

Se invece tale relazione è verificata solo se α = 0 = 1, .., k allora i k

j

vettori si dicono linearmente indipendenti.

• Dimensione

E’ il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in V.

• Base

Nel caso di V con dimensione finita ogni insieme di n vettori linearmente

nj=1

{~x }

indipendenti di V n-dimensionale è una base.

(j) ⊂

Proposizione 1 Ogni vettore ~x V è rappresentato in modo univoco da

n nj=1

{~x }

una cominazione lineare di elementi di una base (j)

n

X

~x = c ~x

k k

k=1

8 nj=1

{~x }

Dimostrazione Proposizione 1 Se è una base di n vettori in-

(j)

dipendenti, aggiungendo un altro elemnto che diciamo essere ~x questo diventa

un insieme linearmente dipendente e possiamo quindi scrivere:

n

X 6

α ~x + c ~x = 0 α = 0 =⇒

0 k k 0

k=1 n

α

X k

− ~x

~x = (k)

α 0

k=1

Non ci resta che dimostrare l’unicità. Come da prassi ragionaniamo per

assurdo. Se esistessero infatti due combinazioni lineari diverse tra loro si

avrebbe: n

n X

X 0

c ~x

c ~x ~x =

~x = k (k)

(k) k

k=1

k=1

Facendone la combinazione lineare sapendo che le basi sono tra loro linear-

mente indipendenti si ottiene:

n

X 0 0

−

(c c )~x = 0 =⇒ c = c

k k

(k)

x k

k=1 ∃

Definizione 4 Due spazi vettoriali V e V’ sono isomorfi se una corrispon-

denza biunivoca tra loro compatibile con le 2 operazioni:

~ ~ 0

0 0

∈ ←→ ∈

α~x + β~y V α x + β y V

⊂

Definizione 5 Uno spazio vettoriale V’ V si dice sottospazio vettoriale di

V se è chiuso rispetto alle due operazioni:

0 0

∀~x, ∈ ∀α, ∈ ∈

~y V β F α~x + β~y V

1.1.1 Esercizi n

1. Mostrare che ha dimensione n:

C n

Si prendono i vettori canonici ~e . Questi compongono eviden-

(j) j=1

temente una base e sono linearmente indipendenti. Una loro combi-

nazione lineare è perciò nulla se e solo se tutti i coefficienti sono nulli.

n

∈

Se aggiungiamo un generico vettore ~

v si ottiene:

C

n

X α e

~ + α ~

v = (α , .., α ) + α (v , .., v )

j n+1 1 n n+1 1 n

(j)

j=1 9

−α

Allora basta scegliere gli α = v

~ i quali non sono tutti nulli e

j n+1 j

si ottiene comunque una combinazione lineare uguale a zero. Perciò i

n

vettori e

~ , .., e

~ , ~

v sono dipendenti e si ha dim(C ) = n

1 n −

2. Se V=P spazio dei polinomi di grado n 1 mostrare che dim(P ) = n

n n

n

e che è isomorfo a :

P C

n n−1 ∀ ∈ ⇐⇒ ∀j

Il polinomio α +α t+...+α t = 0 t α = 0 = 1, .., n

R

1 2 n j

n−1 sono indipendenti. Poichè allora ogni poli-

Perciò i vettori 1, t, ., t

∈

nomio ~x

(t) può essere scritto come combinazione lineare di coeffi-

P n n

∈ ∃

cienti (c , .., c ) una corrispondenza biunivoca compatibile con

C

1 n

le operazioni tra ciascun polinomio e i suoi coefficienti.

n n

=⇒ è isomorfo a e perciò dim(P ) = dim(C ) = n

P C

n n

2 Spazi normati ||·||

Definizione 6 Se V è uno spazio vettoriale, una norma è un’applicazione

|| · || →

: V tale che:

R

||~ || ≥ ∀~ ∈

i. v 0 v V

||~ || ⇐⇒

ii. v = 0 ~

v = 0

||α~ || |α|||~ || ∀~ ∈ ∀α ∈

iii. v = v v V F

|| || ≤ || || || || ∀ ∈

iv. v

~ + v

~ v

~ + v

~ v

~ , v

~ V

1 2 1 2 1 2 ||·||)

Definizione 7 Se V è è dotato di norma è chiamato spazio normato (V,

|| · ||)

o (N,

2.0.1 Esempi di norme importanti

1

n

p

P

• ||~x

|| |x |

= p

p i

i=1

• ||~x

|| |x |

= max

∞ 1≤i≤n i

Per dimostrare la disuguaglianza triangolare per la norma p dobbiamo prima

dimostrare altre 3 disuguaglianze: 10

• Disuguaglianza di Young p q

 a b

≤

ab +

p q



 1 1 (1)

+ = 1

p q



p, q > 1; a, b > 0

 →

Dimostrazione 1 Si prenda una funzione y = f (x) : [0, a] posi-

R

tiva e crescente in senso stretto e tale che f (0) = 0. La funzione avrà

−1

perciò un’inversa x = f (y).

≤

Sia y = b f (a), si avrà di conseguenza la seguente disuguaglianza:

b

a Z

Z −1

≤ f (y)dy

f (x)dx +

ab 0

0 −1

p−1 q−1

Ponendo y = f (x) = x =⇒ x = f (y) = y e sostitu