Analisi e matematica 1

Esame Analisi I (I Parziale)

Simboli principali da ricordare:

• ∈ Appartiene
• ∉ Non appartiene
• ∃ Esiste
• ∃! Esiste ed è unico
• ⊂ Contenuto strettamente
• ⊆ Contenuto
• ⊃ Contiene strettamente
• ⊇ Contiene
• ℕ Insieme dei numeri naturali
• ∀ Per ogni
• ∋ Tale che
• ≤ Minore o uguale
• ≥ Maggiore o uguale
• α Alfa
• β Beta
• γ Gamma
• δ Delta
• ε Epsilon
• σ Sigma
• ρ Rho

Insiemi

Come rappresentare un insieme:

1. Rappresentazione estensiva
   • A = {0, 1, 2, 3, ...}
2. Rappresentazione intensiva
   • A = { x | ℕ e ...}
3. Rappresentazione con diagrammi di Eulero-Venn
   • (diagramma mostrato)

OPERAZIONI FRA INSIEMI

B è un sottoinsieme di A:

B ⊂ AA ⊃ B

→ con B entrò nel ceró può anche coincidere

∅ insieme vuoto

Le operazioni sono:

• Intersezione
• Unione
• Complementare
• Prodotto cartesiano

1. Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.

   A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}

Es.

A = {0, 1, 2, 3, 4}     B = {2, 4, 6}

A ∩ B = {2, 4}

Proprietà commutativa

a⋅b = b⋅a

Proprietà distributiva

a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c

Proprietà associativa

(ab)c = a(bc)

Esistenza degli elementi neutri

3 ∃ 0 ∈ ℝ: a+0=a

3 ∃ 1 ∈ ℝ: a⋅1=a

Esistenza degli inversi

∀ a ∈ ℝ, ∃ −a ∈ ℝ: a+(−a)=0

∀ a ∈ ℝ, a &neq; 0, 3 ∃ a⁻¹ ∈ ℝ: a⋅(a⁻¹)=1

È definita un’operazione di minore o uguale (≤) tra coppie di numeri reali con le proprietà:

• Riflessività: per ogni coppia di numeri a e b, a ≤ a.
• Antisimmetria: se a ≤ b e b ≤ a allora a=b.
• Transitività: se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c.

• Se a ≤ b contemporaneamente a ≤ c e a ≥ b allora a=b.
• Se a ≤ b allora anche a+c ≤ b+c.
• Se a ≤ b allora a⋅c ≤ b⋅c.

Siano A, B ⊆ ℝ non vuoti con le proprietà: a ≤ b, a ∈ A, b ∈ B

Allora esiste sempre un numero reale c: a ≤ c ≤ b, qualunque siano a ∈ A, b ∈ B

Cenni di topologia in ℝ

• Sottinsiemi di ℝ: Intervalli

Dati due numeri reali a ≤ b, si definisce

• [a,b] = { x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b } Intervallo chiuso

• (a,b) = { x ∈ ℝ: a < x < b } Intervallo aperto

• [a,b) e (a,b] Intervalli misti

(si può anche dire che (a,b] è chiuso a destra e aperto a sinistra, e viceversa)

• FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Dati due insiemi A e B ∈ R, una funzione di A in B è una legge (o relazione) che ad ogni elemento x di A associa uno ed un solo elemento y di B.

Se indichiamo con f tale funzione, scriveremo:

f: A → B oppure y=f(x),

introducendo che ad ogni elemento x ∈ A corrisponde l’immagine della funzione f, l’elemento y=f(x) ∈ B.

A: Dominio o insieme di definizione di f.

B: Codominio di f.

y=f(x)

Immagine di x

L’immagine di A tramite f (f(A)) è l'insieme degli y tale che ∃ x ∈ A tale che f(x) ∈ B

Ex controimmagine di y

La controimmagine di y si ottiene ed è l’insieme f^-1(x)={x∈dom:f(x)∈B}

Definizione

L’insieme detto A⊆A in cui l’associato un elemento x di forma f dominis di f, esso è dunque un sottoinsieme di A.

Se definiamo A insieme che f e definita su A e scriveremo piu simplificamente A⊆A.

Codominio

L’insieme in cui sono contenute le immagini della funzione allora è funzione e suriettiva, tale insieme coincide con questo.

Detta riommagini.

La dipendenza di f(x) da x si visualizza efficacemente diagorno le grafici f, ossia l’insieme dei punti del piano di coordinate (x,y) con f(x) si ammissible nel dominis di f ne applicata. Generalmente detta grapici di f, è una insieme di punti (costruzione di una di uno una y∈R. Lo grafico è un insieme di punti del piano (costruzione una continua) che è sotto insieme (da calcolo cartesano AxR costrittivo di (x,f(x)), con x∈A e f(x)∈B)

e.s.

• f: R → R
• x → x₃
• x → 0
• x → x → 0

• x → x = y-f(x)
• f: f(x)
• f: x= y=f(x)

Funzione suriettiva

Una funzione f(x) si dice suriettiva se per ogni y ∈ E esiste almeno un x = A tale (y=f(x)), Tutti i punti dei cato minimio siano immagini di determinate dominio.

Funzione iniettiva

Una funzione f: A → B si dice iniettiva elementi distinti farro immagini distinte. Ad ogni immagine o ass.[...] Questo uno solo Associato corrispondente. Per tutti determinis sono computa nella relazione.

Se k 1≠k 2 → f(k 1) ≠ f(x 2)

Funzione biiettiva

Una funzione f: A → B sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva (A → B) si dice biieizione, o biumoia.

• FUNZIONE LOGARITMO

y=log_ax

a>0

a≠1

y=log_ax => a^y=x

C.E: ∀x∈ℝ⁺ { x>0 }

IMMAGINE = continum ∀y ∈ℝ

MON CRESCENTE SE (OMISSIS) MON CRESCENTE SE OIOLO SIMMETRICO RISPETTO (OMISSIS)

• PROPRIETÀ LOGARITMI:

y=log_ax

a>0

a≠1, x>0 ⇒ a^y=x

Sia a>0 a≠1

y∈ℝ e y=log_ax

sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate

log_ab^c=c log_ab

log_ac =

log_abc =

e^{ab = a}

log_an^k=k log_an

lnx= log_ex

log_ax = ^log_cx /_logca

log_ax=log_ex

e^{a log_a(d)} log_eb (omissis)

log_a(b^c/b)^lb/log_ca(b)

cambi di base = ^l

(omissis)

x=a

log_ax

CONICHE

CONICHE: Chiamate tali, le curve piane nelle (omissis) di un piano con un cono. A seconda di come Se una (omissis) si avrà una determinata curva. Sono curve aventi equazione del tipo f(x,y)=0 dove f(x,y) è un polinomio a coefficienti reali di secondo grado nelle variabili x e y.

Eq. GENERALE ax² + bxy + cy² + dx +ey + f = 0.

Se β > α ellisse

Se β = 90° circonferenza

Gli angoli si misurano in radianti.

y = sin x

y = cos x

y = tg x = ^{sin x}/_{cos x}

• C.E. ∈ &R;

  Immagine [-1, 1]

  π-2π

  Funzione limitata

  Non è iniettiva

• C.E. ∈ &R;

  Immagine [-1, 1]

  π-2π

  Funzione limitata

• C.E. ∈ &R;: x ≠ π/2 + kπ

  Funzione non limitata

  π-π