Analisi e Geometria 2, teoria ed esercitazioni

INDICE

ALGEBRA LINEARE ........................................................................................................................... 3

S ................................................................................................................................. 3

PAZI VETTORIALI

Definizione e proprietà..................................................................................................................... 3

Interpretazione geometrica............................................................................................................... 5

Prodotto scalare tra due vettori ....................................................................................................... 6

Sottospazi Vettoriali: definizione e proprietà................................................................................... 7

Combinazioni lineari ........................................................................................................................ 9

Span di vettori ................................................................................................................................ 12

Base e dimensione di uno spazio vettoriale .................................................................................... 13

M .............................................................................................................................................. 18

ATRICI

Definizione, matrice trasposta, prodotto di matrici ....................................................................... 19

Determinante .................................................................................................................................. 21

Matrice inversa, singolare, ortogonale, base ortonormale ............................................................ 27

Rango e matrice a scala, metodo di Gauss..................................................................................... 29

Esercitazione sul rango .................................................................................................................. 40

A ........................................................................................................................ 32

PPLICAZIONI LINEARI

Definizione, immagine, nucleo ....................................................................................................... 32

Immagine e nucleo sono sottospazi vettoriali................................................................................. 33

Matrici associate a rotazioni .......................................................................................................... 38

Teorema di rappresentazione in Rn................................................................................................ 50

Immagine rango e span della matrice rappresentativa (nullità + rango) ...................................... 53

Teorema di rappresentazione (caso generale) ............................................................................... 55

Cambiamento di coordinate ........................................................................................................... 57

S D ............................................................................................ 59

ISTEMI LINEARI E IAGONALIZZAZIONE

Matrici Simili, matrici diagonalizzabili, autovalori e autovettori .................................................. 59

Sistemi lineari................................................................................................................................. 61

Teorema di Rouché Capelli e struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare ......... 62

Teorema di Cramer ........................................................................................................................ 72

............................................................................... 73

Regola di Cramer ........................................................................................................................... 75

Teorema Spettrale .......................................................................................................................... 78

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ........................................................................................................ 80

E .......................... 80

QUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DI SECONDO PRDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

Integrale generale .......................................................................................................................... 80

Principio di sovrapposizione .......................................................................................................... 82

............................................................................................. 83

Moto armonico semplice ................................................................................................................ 87

Soluzione particolare della completa ............................................................................................. 88

Oscillatore armonico forzato.......................................................................................................... 90

Metodo di somiglianza ................................................................................................................... 95

S ........................... 91

ISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI PRIMO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

Soluzione dei sistema...................................................................................................................... 91

SERIE.................................................................................................................................................. 108

S ............................................................................................................................. 108

ERIE NUMERICHE

Serie convergenti, divergenti, irregolari ...................................................................................... 108

Condizione necessaria di convergenza......................................................................................... 109

Serie geometrica........................................................................................................................... 111

Criteri di convergenza per serie a termini positivi, confronto, serie armonica............................ 112

Teorema di convergenza assoluta ................................................................................................ 113

Serie a segni alterni a criterio di Leibnitz .................................................................................... 114

S .............................................................................................................................. 115

ERIE DI FOURIER

Funzioni periodiche, armoniche e frequenza fondamentale......................................................... 115

Polinomio trigonometrico e serie ................................................................................................. 116

Prodotto scalare tra funzioni e formule di ortogonalità............................................................... 117

Coefficienti della serie di Fourier .........................................................