Analisi 2 (teoria - esercizi)

Lo spazio vettoriale Rⁿ

Rⁿ: c= spazio vettoriale e insieme ordinato di numeri.

= Rⁿ {(x₁, x₂, ..., x_n):x_i ∈ R, ∀ i = 1, ..., n}

= elenco ordinato di numeri reali (componenti) in Rⁿ: x = (x₁, x₂, ..., x_n)

(x, y) ∈ x

y (x, y) - x = (x₁, x₂, ..., x_n)

dove: R¹: {v₁, e_i = 1, v_e = v₂, i_i = v_i}, v ^v ∈ (v ₁) ∈ R

↳ identificheremo sistematicamente

↳ punti e vctn. che seguono stesse regole

di calcolo (la diversa dim. log.)

↳ serve ad interpretare le formule

esempi

x_e + tv ∈ t ∈ R (retta)

ℓ: e = o + tv

o = (o ₁, o₂, o_n)

v = r - x

r = (x _v) ∈ (v ₁, ... , v _n)

↳ se v = ry = o

x = x + tv, t∈R[x=(x, t∈x, t∈R)]

Operazioni su vettori (punti) in Rⁿ

x, y (x₁, y₁) ... (x_n, y_n) somma

Prodotto per uno scalare: x

Prodotto scalare: x · y = x₁x₁ + ... + x_ny_n

Prodotto vettoriale: x ^ y = (x_i, y_j, y_k, x_j, x_k, x_i)

Norma di vettori/punti in Rⁿ

R²: x = (x, y) ↔ |x| |x_i | , x^→iqui: distanza di (x _i, y _i) da (o, o ₁)

R³: x = (x, y, z) ↔ |x| = √(x₁² + x₂² + x₃²)

Distanza tra due punti in Rⁿ

R¹: d(x, y) distanza tra x e y; e (x, y) = |x - y|

Rⁿ: d(x_i, x_j) = |x - y|

Funzioni di più variabili reali a valori reali

Def: Ω ⊆ Rⁿ → R (mappatura detta funzione...)

• Dominio: Ω (se già dato)
• Dominio naturale: insieme (sottoinsieme di Rⁿ) in cui le operazioni...

Esempio: dom f: R² → R definito da f(x, y) = log (x)

• dom f: (x, y) ∈ R², x > 0: x = 0;
• per rappresentare domini dobbiamo adottare...; proiezione delle diseguaglianze...

Dom f: x > 0

Immagine = {f(x) : x ∈ dom f}

Esempio: f(x, y) = x² - y

dom f = {(x, y) ∈ R² : |x| < y < x + 1}

Topologia di Rⁿ

Un intorno di raggio r di x₀ = B_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ : ‖x - x₀‖ < r}

Un intorno chiuso = B'_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ : ‖x - x₀‖ ≤ r}

A ⊆ Rⁿ

• x pto di accumulazione per A se...
• x ∈ A > (x - ε, x + ε) ∩ A - x

Esempi: A: {x | x² < a} ma P accumulate

Limiti

f: A ⊆ R^m → R

lim_{(x → x0)} f(x) = L ∈ R, il valore...

∬_D g(x, 1-2x) = ∫₀^√3 (∫_2x^{(1−2x) √}(9-x² -6x +2) x dx)

d/dx I(h,x) = (∫_3x⁸ 12-8t du)

2x x 8x=12

(1,1) candidata punto di max

(0,√3) candidata punto di max

(−3/2,9/4) candidata punto di min

I(h,x) = ∫_3x⁵ √(8x+3) 

d/dx I(h,x) = (∫₈⁵ x³ − 2t dt

(0,1) candidato punto di min

(0,√3) candidato punto di max

(0,−1) candidato punto di min

(5,3/4) candidata punto di min

g(x,);

O

DE

F

B

Osservazione

1. (f(x,y)), x + z^xy ≠ 0 ed è ≠ 0 in (0,0)  π ovvio
2. Curva Limite rispetto anche a condizione ₂ x>0
3. g(x,y) + x²; z= ∫ x² + 2; MET₂₄ +josiz; θ ≠ 0

Curva A

ellittica

x

F

g(x,y)−12+1;1

g(x,y)+12;1

x₊y=0

Funzioni scalari:

J A∈R^M R

F unzione.

J A∈ R^M R_M

vettore n − dimensionale

in inizio postato

(f,o) = (r_x, r_y)

Per m = 1[IMG.a]

 f^{x₁ RM}

f_C x₁ (=proo fatto vizio)

▶ Esempio del grafico: r(α(t)), y_n

Esempio curva piano; f(^zt) e ∈ [0,1]

X_u E. ∈ R^(r(t), y(t)),

µ Po∈Rⁿ, grafico triangolare

Curia ↔ legge cranio

• Una curva h dire totale se gli.
• Una curva cide semplice se _{2; ∪(ext},c(o,b
• → uno slocchi per atitto sc _fig
• curva disse
• Une curva

Propietà differenziali

1. f(x) è C(X) dire di distintivo ^∃ +=  ⇔ |f(x)₁ − |^√ √X
2. G(x) regenance homo f(Z) dev quino

‖h(x) è definita in M

(0,0) e (x,0)

Poiché devono avere uguale f(x,y)=0

h(α)=0

h(α)=0, f(0,h(α)) = 0

‒ ∂f/∂y[0,h(α)]=0 = (0,0)

→ h'(α)= 5x+2x

f(h(x)) = y

h'(sh α)= [5h(h(x)) = (5x+2)(2xh'xh())]

h'(x)= [((0-x)

h'(x)=0

(0+0x)

‒ h(x) + x= (0=1)x = 0 per ruolo x

= 0 localmente è una parabola (h(x))

a riprova

→ se una coppia per h(0,0) dal testo, lui ha verificato.

Se il grafo (localmente) è una funzione h in (0,0), (0,h(0))

se è dedico che h=0=0

→ si dice punto regolare d f se ∂f/∂x(

Teorema:

ipotesi f:U⊆Rⁿ→R (x₀,y₀) intorno ad x punto regolare di f

(tesi) intorno V⊆U: ∃x= curva ∃ categorial(x₀∈V⋅|⋅[ε+ε]⊂I

uotra t∈c*(I) y(f[t],x) = ∀t∈Ix'([x₀,x₁,,x₁,x₄,y])=h,5dy|

f⧯g

J(s) area della colisi:

(min) tra (estusione (solo base))

r(t)(h) il volume finente

(min) = V sfric, V=

J[ T (h,c)]

(area capo rettangolo h,min)

con una base media per (che togliamo un area base unica)=minia (spesso diametro rotatorio)

(e forma aperta,

V(x)⇔R(x,v)=,4π [formuolo

π=1/4 xF,1

⇒

⇒ v*J=V=VA=V = V/x

= ∫√V=V)/√

Esempio determinare gli estremi ij(x,y): 3x+4y sull’ellisse 5x)4y-36

[s-b cosΦ]

x=x₀