Analisi e geometria 2, Teoria

Algebra Lineare

1. Introduzione all'Algebra Lineare

• Def Relazioni

Una relazione (binaria) R fra insieme A ed insieme B è una sottoinsieme R⊆A×B

• Def Funzioni

Una funzione F: A→B è una relazione F⊆A×B t.c.

• ∀a∈A, ∃!b (a,b)∈F → F(a)=b
• Kerbel di una funzione

Ricerchi C⊆A×A se F(x)=F(y).

• Def Spazi Vettoriali

Uno spazio vettoriale su un campo K consiste di un insieme V dotato di due operazioni:

• somma (interna) ∀v,x∈V, ∀v,w∈V associa v+w
• prodotto per scalare (esterno) ∀k∈K, ∀v∈V che associa ad ogni k∈K e v∈V il prodotto k.v

Con le seguenti proprietà:

• associatività della somma
• ∀v,w,u∈V (v+w)+u=v+(w+u)
• commutatività della somma
• ∀v,w∈V v+w=w+v
• elemento neutro
• ∃0∈V t.c. ∀v∈V v+0=v
• elemento inverso
• ∀v∈V ∃(-v)∈V t.c. v+(-v)=0
• ∀v∈V v.1=v
• ∀v∈V, h,k∈K si ha (hk)v=h(kv)
• distributività
• ∀v,w∈V, k∈K si ha k(v+w)=kv+kw
• ∀v∈V, h,k∈K si ha (k+h)v=kv+hv
2. ℝⁿ { _{xi∈ℝ, i=1÷n} } n-uple ordinate di numeri reali
3. ℝ[x] spazio dei polinomi a coeff nel
4. M (m×n, K) spazio delle matrici su K

Def Sottospazio Vettoriale

Un sottospazio vettoriale U di uno spazio vettoriale V è un sottinsieme di V tale per cui le operazioni di somma e prodotto per scalare ristrette ad U soddisfano gli assiomi di spazio vettoriale.

Prop

Il sottospazio W ⊆ V è un sottospazio vettoriale di V se e solo se:

• ∀k∈ℝ, ∀v∈W, kv+lw∈W

Dim. La restrizione λW:∑ W → W e λW:∑W → W ben definiti.

Associativa, comm. e distr. sono ered. da V.

• Binari: 0V = 0
• (-v) = (-v)
• 0∈W → (-v)∈W

E3

• W ⊂ Cℝ³ U = {v = (k,k,k) | k∈ℝ³}
• U,W ⊂ V → (U ∪ W) ⊂ V è sottospazio

Def Applicazione Lineare

Una funzione F: V → W tra due spazi vettoriale V,W è detta applicazione (o mappa) lineare quando:

• Preserva le somme: F(u+v) = F(u)+F(v)
• Preserva il prodotto per scalare: F(kv) = kF(v)

E3

C¹[a,b] → C¹[a,b]

3 - L'ALGORITMO DI GAUSS

Def. Rango di un insieme di vettori

Sia A = {v₁, ..., v_k} un insieme di vettori di V, il rango di A è la dimensione del sottospazio di (v₁, ..., v_k).

rK(A) = dim(V, v_k)

NB: rK(A) = 0 ↔ A = ⦰

. rK(A) = |A| ↔ A en. indip.

Def. Rango di una matrice

A =

(rK(A) = rK(v₁, ..., v_n))

(rK_R(A) = rK(w₁, ..., w_m))

→ rK(A) - rK_C(A) = rK_R(A)

Calcolo del Rango, Matrìce a Scala, Operazioni Elementari, Riduzione

Matrice dei coefficienti

Matrice completa

Matrice a Scala

Una matrice si dice in scala se ha forma

con pivot ≠ 0

Operazioni Elementari

• Moltiplicare w_i per un K∈IR/{0}
• Sostituire w₃ con w₃ + w₁
• Scambiare due vettori

Lemma

Se B'^-1 è una matrice ottenuta da questa matrice B mediante operazioni elementari, rK(B) = rK(B').

Riduzione a Scala

Prop. Supponiamo ci viva sini fiat di operazioni elementari che transformano A | A|B in una matrice a scale S. Valgono if seguenti fetti.

• d(Rig(A)) ≤ d(Rig(S))
• rK(S) = rK(A)
• Le righe non nulle sono una base per d(Rig(A))
• Iz sistema a scale offuto ha le stesse soluzioni di A|b.

5. Matrici

Applicazioni lineari e matrici

L_A: ℝⁿ → ℝ^mL_A(v) = A ∙ v con A ∈ M(m x n, ℝ), v = ^[c₁]                       …                       [c_n]

L_A^-1(b) = x ∈ Ker(L_A)                            + [x + y, y ∈ Ker(L_A)]

Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici

L_A: ℝⁿ → ℝ^m A ∈ M(m x n, ℝ) L_A(v): A ∙ v A = a_ij

L_B: ℝ^m → ℝ^k B ∈ M(k x m, ℝ) L_B(w): B ∙ w B = b_ij

L_B(L_A(v)) = L_{B o A} ℝⁿ → ℝ^k

v → A ∙ v → B ∙ w       v                      → B ∙ w    w_j = Σ a_sj v_i

Def

A ∈ M(m x n, ℝ) e B ∈ M(k x m, ℝ)

⇒ B ∙ A ∈ M(k x n, ℝ)(BA)_ij = Σ_s=1^m b_is a_sj

NB

L_{B o A} = L_{B ∙ A} ℝⁿ → ℝ^k

Proprietà del prodotto di matrici

• Associative: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)
• Distributive: (A₁ + A₂) ∙ B = A₁ ∙ B + A₂ ∙ B    A ∙ (B₁ + B₂) = A ∙ B₁ + A ∙ B₂
• ∀ K ∈ ℝ
• K(A ∙ B) = (K ∙ A) ∙ B = A ∙ (K ∙ B)
• O_m,n = è la matrice nulla
• O_m,n ∙ B = O_m,t ⇒ A ∙ O_n,t = O_m,t
• Anticommutatività: A ∙ B ≠ B ∙ A
• Elemento neutro: I_n (δ_ij) δ_ij = {1 i = j

                0 i ≠ j M(m x n)

∀ A ∈ M(n x m, ℝ) A ∙ I_m = A = I_n ∙ A                                                                 Matrice identica

Def

Matrice invertibile

Una matrice si dice invertibile se ∃ B ∈ M(n x n, ℝ) t.c. B ∙ A = I_n, A ∙ B = I_n