Analisi e geometria 2, Teoria

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Appunti riassuntivi del corso di "Analisi e geometria 2" al Polimi. Contengono le nozioni teoriche per affrontare la parte orale dell'esame con enunciati, teoremi e dimostrazioni. Comprendono …

Esame Analisi e geometria II

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Rodaro Emanuele

Università Politecnico di Milano

A.A. 2016-2017

63 pagine

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Algebra Lineare

Introduzione all'algebra lineare
- Def Relazioni
  Una relazione (binaria) R dell'insieme A all'insieme B èuna sottinsieme R ⊂ AxB
- Def Funzioni
  Una funzione F: A→B è una relazione F ⊂ AxB t.c.
  ∀ x ∈ A, ∃!b (a,b) ∈ F → F(a)=b
  Kernek di una funzione
  Ricerco C ⊂ A x A se F(x) = F(y)
- Def Spazi Vettoriali
  Uno spazio vettoriale su un campo K consiste di un insieme Vdotato di due operazioni:
  - somme (interna) ∀ v, x ∈ V ∃! y, v ∈ V associ a v+w
  - prodotto per scalare (esterna) ∃! k, v → kv ∈ V che associa
    ad ogni k∈K e v∈V il prodotto k•v
  Con le seguenti proprietà:
  - associatività delle somme
    ∀ u, v, w ∈ V
    (v+w)+u = v+(w+u)
  - commutatividade della somma
    ∀ v, w ∈ V
    v + w = w + v
  - elemento neutro ∃!e∈V tc ∀v∈V v+0 = v
  - elemento inverso ∀ v ∈ V (-v)∈V t.c. v+(-v)=0
  - ∀ v ∈ V
    1•v = v
  - ∀ v ∈ V, h, k ∈ K s: (hk)v = h(kv)
  - distributività

ℝⁿ {^{l x₀ `}} x₀: x∈ℝ, i:
ℚ-uple ordinate di numeri reali
ℝ^l[x]
spazio dei polinomi a coeff reale
M(m, n, IK)
spazio delle matrici su IK

Algebra Lineare

Introduzione all'algebra lineare

Def RelazioniUna relazione (binaria) R degli insiemi A e B è una sottoinsieme R⊆A×B.

Def FunzioniUna funzione F: A→B è una relazione F⊆A×B t.c. ∀a∈A, ∃!b (a,b)∈F ⟶ F(a)=b

KERNEL DI UNA FUNZIONERicerco S⊆A×A se F(x)=F(y)

Def Spazi VettorialiUno spazio vettoriale su un campo K consiste di un insieme V dotato di due operazioni:

somma (interna), ∀v₁ v₂∈V, v₁+v₂ associata v⊕v
prodotto per scalare (esterno), ∀k∈K, v∈V che associa ad ogni k∈K e v∈V il prodotto k⋅v

Con le seguenti proprietà:

associatività della somma: ∀u v w∈V, (v+w)+u = v+(w+u)
commutatività della somma: ∀v w∈V, v+w = w+v
elemento neutro: ∃ 0∈V t.c. ∀v∈V v+0=v
elemento inverso: ∀v∈V ∃ (-v)∈V t.c. v+(-v)=0
∀v∈V v⋅1 = v
∀v∈V, h k∈K, s.h. (hk)v = h(kv)
distributività: - ∀v w∈V, k∈K, s.h. k(v+w) = kv+kw - ∀v∈V, h k∈K, s.h. (k+h)v = kv+hv

Rⁿ {x | xᵢ∈ℝ, i=1..n} - uple ordinate di numeri reali
ℝ[x] - spazio dei polinomi a coeff. reali
M (m x n, ℝ) - spazio delle matrici su ℝ

DEF - Sottospazi Vettoriali

Un sottospazio vettoriale \( U \) di uno spazio vettoriale \( V \) e un sottinsieme di \( V \) tale per cui le operazioni di somma e prodotto per scalare ristrette ad \( U \) soddisfano gli assiomi di spazio vettoriale.

PROP

Il sottinsieme \( W \subset V \) e un sottospazio vettoriale di \( V \) se e solo se \(\ \forall k \in \mathbb{K} \ e \ \forall v, w \in W \) allora \(\ kv + w \in W \).

Dim La stagione \( W\setminus W = O \ , \ W\setminus W \) ben definiti. Associativa somm. e distr. sono ereditarie in \( W \).

Anche \( O + l = l \ , \ (-v) = (-v) \ ) \Rightarrow 0 \subset W \ e \ (-v) \subset W \ cn def.

ES

\( W \subset \mathbb{R}^3 \) U1:= \((x,k,k)\,\, k \in \mathbb{R}^{3}\)
\(U, W \subset V \Rightarrow (U \cup W) \subset V\) è sottospazio.

DEF Applicazioni Lineari

Una funzione \(f : V \to W\) tra due spazi vettoriali \(V,W\) e detta l'applicazione (o mappa) Lineare quando:

preserva la somma \(\ f(u+v) = f(u) + f(v) \)
preserva il prodotto per scalare \(\ f(xv) = k f(v) \)

\(\frac{d}{dx} \, C^1([a,b]) = C^0([a,b])\)

\(\int_a^b f \, dx \, C^0([a,b]) = C^1([a,b])\)

SPAZI VETTORIALI

DEF GENERATORI DI UN SOTTOSPAZIO

Un insieme G ⊂ V è detto un insieme di generatori per V.

se qualunque v ∈ V ammette una combinazione lineare di qualche u₁, u_m ∈ G

v = k₁u₁ + ... + k_mu_m

⇒ G genera V.

DEF DIPENDENZA ED INDIPENDENZA LINEARE

Un insieme di vettori {v₁, v_n} si dice linearmente indipendente se esiste una combinazione non banale uguale al vettore nullo:

k₁v₁ + ... + k_nv_n = 0 con k₁, k_n non tutti nulli.

{v₁, v_n} linearmente dipendenti ⇒ uno dei vettori è combinazione lineare degli altri.

{v₁, v_n} linearmente indipendenti se

k₁v₁ + ... + k_nv_n = 0 ⇒ k₁

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