Analisi e Geometria 1 - Calcolo integrale

Calcoli matematici e formule

Formule con esponenti e calcoli di potenziale

r₁ = (r₂² + a² - 2ar cos)^1/2 = r(1 + a²/r₂² - 2a/r cos)^1/2 = r(1 + 1/2 a²/r₂² - a/r cos) + o(2¹) → (a²/r₂²) = r - a²/2r + a cos + o() ≈ rr₂ - r₁ = a²/2r + a cos + o() ≈ rV(P) = q/4_o (r₂^-1 - r₁^-1) = q/4_o (r₂ - r₁/r₁r₂) ≈ q/4π_o (2a cos/r₂) = (a-q) cos/2_o (1/r₂)

Quando d ≠ 1/2 ⇒ equidistante tra le due cariche ⇒ POTENZIALE è UGUALE a 0

Calcolo integrale e approssimazioni

Introdotto per il CALCOLO di AREE I_k = [K-1/n ; K/n] K = 1...n |I_k| = lunghezza di I_k = 1/n Δ_n = AREA → approssimazione dal BASSO e dall'ALTO Per n → ∞ Δ/n → 0

Δ_n: AREA di APPROSSIMAZIONE INFERIORE ▀S_n: AREA di APPROSSIMAZIONE SUPERIORE ≤ Σ_K=0^n-1 |I_K| (K/n) Δ_n = 1/n Σ K²/n³ ≤ 1/n Σ K²/n³ ≤ perché |I_k| = 1/n

S_n = 1/n Σⁿ_K=1 (k/n) ⇒ S_n = 1/3 + 1/n Σ_k=1 1/n Δ_n 0 = Š_n - Δ_n + 1/n ⇒ per n → +∞ APPROSSIMAZIONE → 0

Ulteriori formule e approssimazioni

r₁ = (r² + a² - 2ar cos θ)^1/2 = r (1 + a²/r² - 2a/r cos θ)^1/2 = r (1 + ^a2/_{r²- r cos θ}) + o(^r2/_r²) ⇒ tende a 0 quando r → +∞ ⇒ INFINITESIMA

r (1 + ^a2/_2r² - a cos θ + o(1/r)) ≈ rr₂ - r₁ ≈ ^a2/_2r - a cos θ + o(1/r) ≈ rV(P) = ¹/_4πε0 (q₁/_r1 - q₂/_r2)

= q/_4πε0 (r₂ - r₁) ≈ ^q/_4πε0   ^2a/_r2 ≈ (a - q) cos θ (- ¹/_r2)

Quando d ≡ 1/2 ≡ equidistante tra le due cariche ⇒ POTENZIALE ≡ UGUALE a 0

Calcolo integrale e somme

Introdotto per il CALCOLO di AREE ∫ | _a^{x 2} = ρ(x) I_k = [&supl; K-1 /_n; K/_n] I_k - 1 ... n Lunghezza di I_k = ¹/_n

AREA ⇔ approssimazione _dal BASSO e _dal ALTO Per n → ∞ ↓ ^d/_n → 0

Δ_n = AREA di APPROSSIMAZIONE INFERIORE S_n = AREA di APPROSSIMAZIONE SUPERIORE = Σ | I_k| ρ(x_k) Σ_k=0 | I_k| ρ(k / _n ) _t)

Perché |I_k| = ¹/_n Σ_k=1 | I_k| = ? Primo S_n -