Analisi e Geometria 1 - Calcolo integrale

r₁ = (r² + a² - 2ar cos σ)^1/2

= r (1 + q²/2r² - 2a/r cos σ)^1/2

≈ r (1 + 1/2 (q²/r² - 2a/r cos σ))

= r (1 + q²/2r² - a/r cos σ) + o(q²/2r² - 2a/r cos σ)

→ tende a 0 quandor → +∞

→ INFINITESIMA

≈ r (1 + q²/2r² - a/r cos σ) + o (r) ~ r

r₂ = (r² + a cos σ) + o (r(1/ r)²) ~ r

V(P) = (q/ 4πε₀)(1/r - r₂ - r₁ ≈ q/ 4πε₀ (r₁ - r₂) = 2a /4πε₀ r²

= (a-q) cos σ (1/r²)

Quando d è 1/2

= equidistante tra le due cariche

→ POTENZIALE è UGUALE a 0.

CALCOLO INTEGRALE

Introduzione per il CALCOLO di AREE

I_K = [K-1 /n, K/n] K = 1... n

|I_K| = Lunghezza di I_K = 1/n

AREA → approssimazione DAI BASSO e DAI ALTO

Per n → +∞ 1/n → 0

Δ_n AREA di APPROXIMAZIONE INFERIORE

S_n AREA di APPROXIMAZIONE SUPERIORE

Δ_n = Σ_k=0ⁿ⁺¹ |I_K| ρ(K/n)

S_n = Σ_k=1ⁿ |I_K| ρ(K/n)

base pian altezza

Δ_n = Σ_k=0ⁿ K² /n³ = 1/n³ Σ_K=0^n-1 K²

primo termine = 0

perch́ |I_K| = 1/n

S_n = 1/n Σ_k=1ⁿ

→ S_n = Δ_n + 1/3 _n Δ_n + 1/n

lim_n→∞ 0 = S_n - Δ_n + 1/n

per n→∞ APPROSSIMAZIONE → 0

AREA di

A = lim_n→+∞ D_n = lim_n→+∞ S_n

PER INDUZIONE

1/2ⁿ ∑_k=1 r n (n + 1) (2n + 1) = 1/6

n ≥ 1

A(∞) = lim_n→+∞ S_n = lim_n→+∞ 1/n³ ∑_k=1k²

lim_n→+∞ n (n+1) (2n+1)/6n³ = 1/3

PARTIZIONI dell'INTERVALLO

I = [a, b] ⊂ R, |I| = b-a

P = {X_k}_k=0ⁿ ⊂ I = SOTTOINSIEME FINITO comprendente a e b

0 = x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n = b

I_k = [x_k, x_k+1] k = 0, ..., n-1

I_k = (x_k+1 - x_k)

SOMME INFERIORE

D_n (f, P) = ∑_k=0ⁿ⁺¹ I_k (M_m f)

SOMMA SUPERIORE

S_n (f, P) = ∑_k=0ⁿ⁺¹ I_k (M_a f)

────────→

DEF

f è INTEGRABILE su I = [a, b] se

Sup_P D_n (f, P) = Inf_P S_n (f, P)

P varia in tutte le PARTIZIONI POSSIBILI

Il COMUNE NUMERO è detto INTEGRALE di f su I = [a, b]

∫^b_a f(x)dx oppure ∫^b_a f oppure ∫_I f

PV = nRT

P(v) = _nRT/^V

P(V) dV = - (F(V) - nRT ln V)

nRT ln V₂ - nRT ln V₁ = nRT ln(_V2/^V₁)

Dimostrazione

P([a,b]) = P = _|Xkⁿ|^k=0

F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x₀) = ^n-1_k=0 (F(X_k+1) - F(X_k))

Oscillazione della Primitiva

Somma Telescopica

Teorema di Lagrange

^n-1_k=0 (X_k+1 - X_k).

F'(y_k)

• Min ₓ P(y_k) ≤ Max P
• I_{k |} Min P | muovono | Max P

ne metto Max P e maggiore; con

F(b) - F(a) ≤ ^n-1_k=0 I_{k .^{|Max P|}| |} ^{Min P|}_Ik

∫_a^b F(x)

⟹ F(b) - F(a) ∈ ie numero separatore

∫₀^2π senx dx = [-cosx]₀^2π = -1 -(-1)=0

(L'area è 0 (le due aree si compensano))

0 ≤ ∫₀¹ sin(x · t) dx ≤ 1

1₃ x² ≤ 1₃

Riesco a dare una stima ad un integrale complesso.

Identità

Calcolare l'area della figura compresa

Di fatto il modulo permette di ribaltare le parti negative.

∫_-1¹ |x| dx = ∫_-1⁰ |x| dx + ∫₀¹ |x| dx = ∫_-1⁰ -x dx + ∫₀¹ x dx = [-x²₂ - ]

= - ∫_-1⁰ x dx + ∫₀¹ x dx = [-x²₂]_-1⁰ + [x²₂]₀¹

1₂ - (- 1)₂ = 1

Integrazione per Parti

ƒ, g ∈ C([a, b]), derivabili su ]a, b[

ƒ, g' ∈ C( [a, b] )

• Fattore finito
• Fattore differenziale

∫_a^b ƒ · g' = [ƒg]_a^b - ∫_a^b ƒ' · g

Dimostrazione

Identità di Leibniz ⇒ (ƒg)' = ƒ' g + ƒ g'

∫_a^b (ƒg)' = [ƒg]_a^b

= ∫_a^b ƒ' g + ∫_a^b ƒ g'

Per il 1⁰ Teo. Fondamentale del Calcolo

∫_a^b (ƒg)' = [ƒg]_a^b ƒ · g è una primitiva

∫_a^b ƒ g' = [ƒg]_a^b - ∫_a^b ƒ' g

lim_b->+∞ ∫_b¹ e^-x2 ≤ 2(1 + 1/c)

f ∈ R (R)∫_-∞^+∞ e^-x2 dx

O_z I_α = ∫₁^+∞ 1/x^α dx

b > 1

∫₁^b x^-α dx = [^{α ≠ 1}_{α + 1}] [^{ln x}_{α = 1}]

[x^-α] [ln b – ln 1 = ln b]

[¹_{-α + 1}]

b^{1 - α} - 1

b^->+∞

[0 < α < 1][α > 1]

I_α = [^+∞_{α - 1}] or α > 1

PROPRIETÀ

⇒ CRITERIO di INTEGRAZIONE x∞ o asintotico

Se f ~ g per x -> + ∞ ottenere

f ∈ R (a, +∞) ⇔ g ∈ R (a, +∞)

DIM.

f ~ g ⇒ lim_x->+∞ P(x)/g(x) = 1

∀ε > 0 ∃ N ∈ R / x > N ⇒ |P(x) - 1| < ε

DUE F. ASINTOTICHEsono integrabilise e solo se losono entrambeadI INFINITO