Analisi e geometria 1

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Appunto

1. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotòne, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Teorema di convergenza di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità. Funzioni monotone e loro principali proprietà.

3. Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Algebra delle derivate. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Funzioni convesse/concave, punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.

4. Integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Primitive e integrali indefiniti. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza. Serie numeriche. Serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi. Serie a termini di segno alternato. Criteri di convergenza.

5. Lo spazio euclideo tridimensionale. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Prodotto vettoriale e area, prodotto misto e volume nello spazio tridimensionale. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Distanze punto-piano e punto-retta. Fasci di piani. Equazioni di circonferenze nel piano e di sfere nello spazio.

6. Curve nel piano e nello spazio: forma parametrica, lunghezza di una curva, parametro d'arco. Integrali di linea di prima specie. Versori tangente, normale, binormale (terna intrinseca) e piani coordinati.

…continua

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