Analisi e geometria 1

Funzioni

Siano X, Y ≠ ∅ due insiemi.

Definizione

Una funzione da X a Y è una legge (regola, corrispondenza, formula, ecc.) che permette di associare ad ogni x ∈ X uno ed un solo y ∈ Y.

Notazione: f: X → Y

y = f(x)
x → f(x) (azione su singolo elemento)

y si dice immagine di x, mediante f.

Ci occuperemo di funzioni f: X → Y dove X ⊆ ℝ, Y ⊆ ℝ, ovvero di funzioni reali di variabili reali. In particolare, se y = f(x) allora x si dice variabile indipendente e y si dice variabile dipendente.

Domini e codomini

Se f: X ⊆ ℝ → ℝ allora:

• X = Dom (f) dominio di f
• Y = Codom (f) codominio di f

Ossia ora y ∈ ℝ. Se ∃ x ∈ X tale che f(x) = y allora y si dice controimmagine di y.

L'insieme { y ∈ ℝ: ∃ x ∈ X, f(x) = y } ⊆ ℝ si dice immagine di f e si indica con Im (f) oppure f(X).

Avremo Im (f) ⊆ ℝ = codomino di f

Grafico di una funzione

Sia f: X ⊆ ℝ → ℝ. Il sottoinsieme di X × ℝ così definito: l(f) := {(x,y) ∈ X × ℝ : y = f(x)} si dice grafico di f.

Composizione di funzioni

Siano f: X ⊆ ℝ → ℝ e g: Y ⊆ ℝ → ℝ. Se Y ⊇ Im(f) allora possiamo definire una funzione h:

h: X → ℝ ponendo h(x) := g(f(x))

La funzione h si dirà funzione composta di g con f e si indicherà così: h = g o f (si pronuncia f poi g).

Esempio 1

f: ℝ → ℝ
f(x) := sin x (x ↦ sin x)
Dom(f) = ℝ
Im(f) = {y ∈ ℝ | -1 ≤ y ≤ 1} ⊆ ℝ

Rappresentazione grafico di G_f (sin x)

Esempio 2

f : ℝ → ℝ
f(x) := ^e_√1+x2/_{sin²x + 1}
Dom (f) = ℝ
Im (f) = ?

Esempio 3

f : ℝ → ℝ
f(x) := ∑_{p prime ≤ x} p

• f(x) = 0 x
• f(x) = 2 2 ≤ x ≤ 3
• f(x) = 5 3 ≤ x

Dom (f) = ℝ
Im (f) ⊂ ℕ

Se x è abbastanza grande, non sappiamo calcolare f(x).

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive

F : x ⊆ ℝ → ℝ si dice:

• Iniettiva se x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
• Suriettiva se Im (f) = ℝ
• Biiettiva se è iniettiva e suriettiva (si dice anche che f è bijettiva)

Funzione inversa (esiste solo se è iniettiva)

Se F : x ⊆ ℝ → ℝ è iniettiva allora ∀y ∈ Im (f) ∃! x ∈ X tale che f(x) = y.

Quindi possiamo costruire una funzione g : Im (f) → X ⊆ ℝ ponendo x = g(y).

Tale funzione si dice funzione inversa di F e si indica con F^-1 cioè x = f^-1(y).

In particolare avremo:

• f(f^-1(y)) = y
• f^-1(f(x)) = x ∀y ∈ Im(f) ∀x ∈ X

Esempio 1

f: ℝ → ℝ
f(x) := x²

f è iniettiva? No!
f(±1) = 1
f è suriettiva? No!
Im(f) ⊂ ℝ

∀y ≥ 0 ∃! x ≥ 0 t.c. x² = y

Quindi se consideriamo f^-1: X := {x ∈ ℝ: x ≥ 0} → ℝ f(x) = x² allora ∃ y ∈ f^-1{ y ∈ ℝ: y ≥ 0 } → X esiste f^-1(y) = √y (perché ho ristretto il campo).

f non è fil dominio è ℝ.

Esempio 2

f: ℝ → ℝ
f(x) := x³

È iniettiva? Sì
È suriettiva? Sì
∀y ∈ ℝ ∃! x ∈ ℝ x³ = y allora f è biiettiva ed esiste f^-1: ℝ → ℝ f^-1(y) = ∛y.

Esempio 3

f: ℝ → ℝ
f(x) := 1 x ∈ a, 0 x ∈ ℝ\a

f non è né iniettiva né suriettiva
Im(f) = {0,1}

Funzione di Dirichlet

Successioni

Una successione o sequenza infinita può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un'infinità numerabile di oggetti, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-esimo termine per ogni numero naturale n.

Definizione

f : X → ℝ → ℝ si dice successione se X = ℕ oppure se X = E ⊆ ℕ. Se f è una successione allora possiamo porre:

x_n = f(n)   ∀ n ∈ E ∈ E

Esempi

• { x