Analisi Due e metodi matematici

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Revisionato il 22/06/2026

di varefaz

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Raccolta dei teoremi più importanti del corso, necessari per superare l'esame orale e scritto (parte 1 e 2). Sono presenti dimostrazioni e spiegazioni dei calcoli fatti. Esercizi di …

Esame Metodi matematici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Franca Matteo

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

153 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Lunghezza di una curva

Consideriamo una curva φ:[a,b] → ℝ² di classe C¹ con eq parametriche φ(t)=(x(t),y(t)), t ∈ [a,b].

Definiamo lunghezza della curva φ il numero

L(φ) = ∫_a^b |φ'(t)| dt = ∫_a^b √[x'(t)]² + [y'(t)]² dt

Teorema di rettificabilità delle curve C¹

Sia φ:[a,b] → ℝ² una curva di classe C¹.

Allora

∀ poligonale P incernita nella curva s.t.

L(P) ≤ L(φ)

∀ ε>0 ∃ una poligonale P_ε inscritta nella curva tale che:

L(P_ε) > L(φ) - ε

L(P_ε) + ε > L(φ)

Lunghezza di una curva

Consideriamo una curva φ : [a, b] → ℝ² di classe C¹ con eq parametriche φ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b].

Definiamo lunghezza della curva φ il numero

L(φ) = ∫_a^b || φ'(t) || dt = ∫_a^b √[x'(t)]² + [y'(t)]² dt

Teorema di rettificabilità delle curve C¹

Sia φ : [a, b] → ℝ² una curva di classe C¹.

Allora

∀ poligonale P inscritta nella curva saràL(P) ≤ L(φ)
∀ ε > 0 ∃ una poligonale P_ε inscritta nella curva tale che:L(P_ε) > L(φ) - εL(P_ε) + ε > L(φ)

Curve Equivalenti

Dato _a,b→^m e _,β→^m

curve regolari.Diciamo che _{e _{sono equivalenti se ∃g∈C′ t.c. g′(t)≠0 ∀t∈(a,b) per il quale _{(t) = _{(g(t)) ∀t∈a,b}}}}

Curve Equiorientate

Date _a,b→^m e _,β→^m

curve, sono equiorientate se sono equivalenti e il cambio di var. g=[a,b]→[,β] soddisfa g′(t)>0 ∀t∈(a,b)

Teorema: Invarianza degli integrali curvilinei per curve equivalenti

L'integrale curvilineo è invariante per curve equivalenti (I specie)

Dimostrazione

Siano ₀ e ₁ curve equivalenti, ₀:[, ]→ℝ ₁:[, ]. Tali curve sono equivalenti ∃:[, ]→[, ]

t.c. '()>0 ∀∈(, ) ∈¹ ₁∘= ₀()

f:ℝ→ℝ continua

I₀=∫(₀())||₀'()||dt =

= ∫(())||'()||ds = ∫

S = (t) ds = (t)dt

Eia '()>0 ∀∈[, ] Allora '() = '() =

I=∫(())()ds ; () = ((t))

perchè |'()| = '() essendo '() > 0

||_d/dt d(t)||=||d^ψ/ds g(t)||=||d^ψ/ds g(t)φ(t)||=

=||d^ψ/ds Θ(t)|| |i(t)|=||d^ψ/ds g(t)|| Θ'(t)

I^γ=∫_α^b |i(t)| |γ̇(t)| dt - ∫_α^b |d(ψ(t))| d^ψ/ds (g(t)) g(t) dt

= ∫_α^B l(d(s)) d^ψ/ds cardio var. --> s - g(t)

d_s: g'(t)dt

∫_α Θ'(t)

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