Analisi Due e metodi matematici

Lunghezza di una curva

Consideriamo una curva φ: [a, b] → ℝ² di classe C¹ con eq parametriche (φ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b].

Definiamo lunghezza della curva φ il numero

L(φ) = ∫_a^b || φ'(t) || dt = ∫_a^b √ [x'(t)]² + [y'(t)]² dt

Teorema di rettificabilità delle curve C'¹

Sia φ: [a, b] → ℝ² una curva di classe C'¹.

Allora

1. ∀ poligono P inscritto nella curva si ha:

L(P) ≤ L(φ)

2. ∀ ε > 0 ∃ un poligono P_ε inscritto nella curva tale che:

L(P_ε) > L(φ) - ε

L(P_ε) + ε > L(φ)

Curve Equivalenti

Siano γ̅: [a, b] -> ℝ^m e φ̅: [α, β] -> ℝ^m curve regolari.

Diciamo che γ̅ e φ̅ sono equivalenti se

∃ g ∈ C¹ c.c. g'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ (a, b) per cui vale

γ̅(t) = φ̅(g(t)) ∀ t ∈ [a, b]

Curve Equiorientate

Date γ̅: [a, b] -> ℝ^m e φ̅: [α, β] -> ℝ^m curve,

sono equiorientate se sono equivalenti e il

cambio di var. g: [a, b] -> [α, β] soddisfa

g'(t) > 0 ∀ t ∈ (a, b)

Definizione: Campi di Vettori

Chiamiamo campo di vettori in A con A aperto, una funzione F: A → ℝ^m di classe C.

Definizione: Lavoro lungo una curva

Sia γ: [a, b] → ℝ^m una curva regolare a tratti, sia F: A → ℝ^m un campo di vettori. Chiamiamo lavoro di F su γ lo scalare

L = ∫_γ < F, T(s) > ds

Definizione: 1-Forma Esatta

Sia ω = ∑_i=1ⁿ a_i(x) dx_i una 1-forma su A ⊆ ℝ^m, allora ω si dice esatta se ∃ U: A → ℝ c.t. dU = ω

② => ③ Se de x ̅ è chiusa => ∫ =0

Voglio far vedere che ∫_₁ =∫_₂

Sia Γ=-̅₂ ∪ ̅₁ dove -̅₂ è una curva

equivalente a ̅₂ con orientazione opposta e Γ è una

curva chiusa percorrendo prima ̅₁ e poi -̅₂

Allora Γ è chiusa quindi

∫_Γ =0=∫_₁ +∫_-₂ =∫_₁ -∫_₂

per additività

③ => ②

risulta m_is - m_ij < ε

S(P) = ∑_s=1^m ∑_i=1^k m_is mis (D_is)

5(P) = ∑∑ m_is min(D_ij)

S(P) - λ(P) = ∑∑(m_is - m_iȷ̇) min(D_is) < ε

S(P) - λ(P) ≤ Ε: ∑∑ min(D_iȷ̇) = Ε min(D)

∫_a^b ∂_x ∫_a(t)^b(t) ∂x∫_a(t)^b(t) (x,y) ∂(x) ∂x∫_a(t)^b(t) =

= ∫_a^B [(∫_a(b(t))^b(y) f(x,y) - (∫_a(a(t))^b(y) f(x,y))] ∂y

∫_d^c ∂t ∑_i=1^c ∫_γi ∂dy

∫_α^a(t) ∂y = ∫_β^b(t) f(t+x) • ∂ • αdt • o

∫_α ∂dy = ∫_a(B)^b(B) f(t,y) • ∂ • o • dt = o

∫_x2 ∂dy = ∫_α^β f(b(x), t) • t • dt

∫^b_a ∂dy = - ∫_γa ∂dy = - ∫^β_α f(a(t), t) dt

Sommiano « illustri versetti

Teorema Poincaré su Semplicemente Connessi

Sia W una 1-FORMA chiusa su A che è semplicemente connessa → W è esatta

Dimostrazione

Sia γ:[a,b]→A chiusa allora l'interno di γchiamato D soddisfa DCAAllora

∮_γω = ∫_∂Dω = ∫_Ddα∧dγ

che è uguale per il teorema del rotore o per Gauss-Green

G.G. = ∫∫ (_{∂b/∂x - ∂a/∂y})dxdγ = 0

Ho provato che se γ è linea ∫_γω = 0quindi per il teorema de contrattazione ω è esatta

Flusso di un campo attraverso una superficie

Sia F: A → ℝ³ un campo di vettori.

Sia S ⊂ A superficie orientata.

Allora si dice flusso di F attraverso S

∬_S <F, n> dσ

dove n è il versore normale a S.

Def: Spazio Di Soluzioni Di Una Omogenea (o)

Sappiamo che I=R sono lin. indipendenti

se ∃ (α₁,...,αₙ) ∈ Rⁿ; se α₁h₂(t)+α₂h₂(t)+...+αₙhₙ(t)=0

sono lin. indipe. se

α₁=α₂=...=αₙ=0 => a₁,a₂,...,aₙ=0

Quindi ho n soluzioni lin. indipe. di (o)

che genere tutta lo spazio

Spazio Di Soluzioni Di Una Non Omogenea

La soluzioni di Sₜ(N.O) formano un sottospazio

affine di C^∞(T) se u₀ è soluzione di N.O

tutte le sole le soluzioni di (N.O) sono nella

forma I(t)=C₁a₁(t)+C₂a₂(t)+...+Cₙaₙ(t)+u₀(t)

Il insieme di (c₁,...,cₙ) (dove uᵢ: I→R ... uₙ: I→R)

sono sol. son. indipe. di (o)

S' esprimere I(t) è detta integrale generale di N.O

Teorema sul Wronskiano

Siano ₁,...,ₙ soluzioni del problema (). Allora:

1. ∃₀∈ℝ c.c. det(W₀)(₀)≠0⇔₁,...,ₙ sono lin. indip.⇔ det ≠ 0 ∀∈
2. ∃₀∈ℝ t.c. det(W₀(₀))≠0⇔₁,...,ₙ sono lin. indip.⇔ det ≠ 0 ∀∈

vale solo per eq diff lineare

Dimostrazione

⇐①

₁,...,ₙ lin. dip. ⇒ ∃₁,...,ₘ∈ℝ t.c.₁()₁+...+ₘ()ₘ = W() = 0 ∀∈

W'() = ₁'₁()+...+ₘ'ₘ() = 0

W''() = ₁''₁()+...+ₘ''ₘ() = 0 ecc fin a ^(-1)() = 0

Ho trovato che ₁,...,ₘ ∈ ℝ^ₘ è soluzione di