Analisi complessa - completo

Proprietà degli integrali complessi

Ecco un elenco di alcune proprietà di questi integrali:

1. Proprietà 1: ∫ ∫ -f(z) dz = f(z) dz - L L
2. Proprietà 2: n∫ ∫ X f(z) dz = f(z) dz + L + + ... + L n
3. Proprietà 3: ∫ ∫ c f(z) dz = c f(z) dz
4. Proprietà 4: Se |f(z)| ≤ M per ogni z sulla curva L, allora ∫ ∫ f(z) dz ≤ M l, dove l è la lunghezza della curva L
5. Proprietà 5: Se L: t z(t) è una curva regolare a tratti e chiusa, cioè z(a) = z(b), allora ∫ ∫ dz = z dz = 0

• · ·sto integrale si intende nel senso di Riemann.
• Sia = = t < t < <0 1t = b} una partizione dell’intervallo [a, b].
• Consideriamo:N NX 0f (z(t ))z (t )∆ti i ii=1−ove ∆t = t t .
• Si verifica che:i i i−1 NbZ X0 0f (z(t))z (t)dt = lim f (z(t ))z (t )∆ti i ikPk→0a i=1kPk }.
• con = max{∆t Dunque:i NbZ X0 0≤ |f ≤f (z(t))z (t)dt lim (z(t )||z (t )|∆ti i ikPk→0a i=1N bZX 0 0≤ |z |zM lim (t )|∆t = M (t)|dt = M li ikPk→0 ai=1→
• →Definizione. Sia L : t z(t) : [a, b] una curva chiusa regolare aC 6tratti; L si dice semplice se z(a) = z(b) e se a < t < s < b implica z(t) = z(s).
• 1.2.2 Teorema Integrale di Cauchy e applicazioni⊂Intuitivamente un dominio G si dice semplicemente connesso se “G nonCha buchi”: più formalmente G è semplicemente connesso se ogni curva chiusain G si può deformare ad un punto di G in modo continuo.⊂Teorema 4 (Teorema Integrale di Cauchy) Sia G un dominio

sem-C→plicemente connesso, e sia f : G una funzione analitica. Sia L unaCcurva chiusa e semplice, orientata in senso antiorario. AlloraZ f (z)dz = 0L 7Un’applicazione del Teorema 4 è il calcolo degli integrali di Fresnel, chehanno impiego nello studio della rifrazione della luce. Se ne riesce a calcolareil valore, anche se non è possibile scriverne le primitive. Il risultato è:√∞ ∞Z Z 2π2 2cos x dx = sin x dx = 40 0Teorema di Jordan Sia L una curva chiusa, semplice e continua nel pianocomplesso Allora = I(L) + E(L), ove I(L) è limitata, E(L) èC. C−sost(L)non limitata. I(L) e E(L) sono semplicemente connessi. I(L)=parte internadella curva L, E(L)=parte esterna della curva L.⊂Teorema 4a Sia G un dominio (anche non semplicemente connesso)C→e sia f : G una funzione analitica. Sia L una curva chiusa e semplice,C ∪ ⊂orientata nel senso antiorario, tale che sost(L) I(L) G. AlloraZ f (z)dz = 0L 0 0⊂“Dimos”

(Intuitiva) Esiste un sottodominio G tale che G contiene ∪sost(L) I(L) ed è semplicemente connesso. Per il Teorema 4 applicato al dominio G, si ha f(z)dz = 0.

Teorema 4b Sia G un dominio e sia f : G una funzione analitica. Siano Γ, γ, ..., γ delle curve (chiuse, semplici, orientate in senso antiorario) a sostegno in G tali che:

• sost(γ), ..., sost(γ) I(Γ)
• ∪ sost(γ) ⊆ ≤ ≤
• sost(γ) I(γ) E(γ) per ogni j = k, 1 ≤ j, k ≤ n - 1

Allora:

nZ ZXf(z)dz = f(z)dzΓ γ ii=1 ⊆

Teorema 5 (Formula Integrale di Cauchy) Sia G un dominio e C ⊆ G sia f : G una funzione analitica. Sia L una curva chiusa semplice, C ∪ ∈ orientata nel senso antiorario, tale che sost(L) I(L) ⊆ G. Sia z ∈ G un punto che non appartiene al sost(L). Allora:

Z f(z) ∈ 2πif(z) se z ∈ I(L)

Z 0dz = ∈0

se z ∈ ℒ - {z} z 0 ∈ ℒ ⊆ Teorema 6 (Teorema del Valor Medio) Sia G un dominio, sia f :C→ ℂ una funzione analitica, sia z ∈ G, e sia ρ > 0 un numero tale che ℒ ⊆ {z ∈ ℂ | |z - z| ≤ ρ} ⊆ G. Allora: ℒ ⊆ {0 ≤ θ ≤ 2π} Z1 iθf (z ) = f (z + ρe^iθ)dθ 0 0 2π 0 8Dimos Per il Teorema 5 si ha: Z1 f (z)f (z ) = dz0 -2πi z z0γ ρ dove γ è la circonferenza di centro z e raggio ρ, orientata nel senso antiorario. ρ 0 iθ ≤ θ ≤ Utilizziamo la parametrizzazione z = z + ρe^iθ, dunque dz = iθρe^iθdθ; abbiamo: 2π 2πiθZ Zf (z + ρe^iθ) 1 1 0 iθ iθρe^iθdθ = f (z + ρe^iθ)dθf (z ) = 0 0 iθ2πi ρe^iθ 2π 0 0→Teorema 7 Sia G un dominio e sia f : G una funzione analitica.C CSia ℒ una curva chiusa semplice, orientata nel senso antiorario, tale che(n)∪ ⊆ ⊆ G. Sia z ⊆ I(ℒ). Allora f (z ) esiste per ogni n ≥ 1, e

0vale: Z f (z)n!(n) dzf (z ) =0 n+1−2πi (z z )0L(n)Inoltre f è continua in G (n = 1, 2, . . .).

→Teorema 8 (Stime di Cauchy) Sia G un dominio, sia f : GC∈una funzione analitica, e sia z G. Sia ρ > 0 un numero tale cheC 0{z ∈ | |z − | ≤ ⊂z ρ} G. Allora:C 0 M (ρ)(n)|f ≤(z )| n!0 nρove |fM (ρ) = sup (z)|z∈γ ρ{z ∈ | |z − |con γ = z = ρ}.Cρ 0Dimos Per il Teorema 7: |fZn! f (z) n! (z)|(n) 3|f ≤(z )| = dz sup (2πρ) =0 n+1 n+1− |z − |2πi (z z ) 2π zz∈γ0 0γ ρρ n! n!|f= sup (z)|ρ = M (ρ)n+1 nρ ρz∈γ ρ|f ∈ove M (ρ) è l’estremo superiore di (z)| per z γ .ρ3 Per la proprietà 4 91.2.3 Primitiva di una Funzione Analitica →Dall’Analisi I sappiamo che una primitiva di una funzione f : [a, b] èR0→una funzione F : [a, b] tale che F = f .R⊂Dall’Analisi II:

sia G un dominio semplicemente connesso. Sia P dx + C 1Qdy una forma differenziale della classe C in G (cioè P e Q sono differenziabili in G). Se L è una curva chiusa semplice, orientata nel senso antiorario, a sostegno in G (e quindi, poiché G è semplicemente connesso, I(L) = G), il Teorema di Green ci dice:

ZZZ ∂Q ∂P−P dx + Qdy = dxdy∂x ∂yL I(L) ∂Q ∂P

Definizione: P dx + Qdy si dice chiusa se ∂Q/∂x = ∂P/∂y. Dunque se G è semplicemente connesso, e se P dx + Qdy è chiusa, allora

R (P dx + Qdy) = 0 per ogni curva chiusa e semplice, a sostegno in G.

Cosı̀ la forma differenziale P dx + Qdy è esatta in G, cioè esiste una funzione F : G → F tale che ∂F/∂x = P e ∂F/∂y = Q. In queste condizioni, se (x1, y1) e (x2, y2) sono due punti in G, e se L è una qualsiasi curva a sostegno in G che congiunge questi due punti, allora:

Z −P dx + Qdy = F(x2, y2) - F(x1, y1)

La funzione F si chiama primitiva della forma differenziale P dx + Qdy in G.P dx + Q dy. C una funzione analitica. Per il Teorema 4, se L è chiusa semplice tale che Re(sost(L)) ⊆ G, allora ∮f(z) dz = 0; quindi la forma differenziale f(z) dz è esatta. Sia z ∈ G, definiamo:0 F(z) = ∫_z0 f(ζ) dζ; 0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. La funzione F si chiama primitiva della funzione f.0 con z. 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Otteniamo quindi, sfruttando anche le equazioni:

∂u/∂v = ∂v/∂u = ∂u/∂v = ∂v/∂u = 0

∂x/∂x = ∂y/∂y = ∂x/∂y = ∂y/∂x = 0

ovunque in G (dall'Analisi II) u = C (costante) e v = C (costante).

Abbiamo quindi:

H(z) = ∫₀^z f(ζ)dζ = C + iC = C

Abbiamo quindi visto che se una funzione f rispetta le ipotesi del Teorema, ∫_z0 f(ζ)dζ è una primitiva della f. Due primitive, allora la funzione differiscono per una costante.

Se G non è semplicemente connesso e se f: G è analitica, ci sono due possibilità:

1. f(z)dz = 0 per ogni curva L chiusa semplice, a sostegno in G
2. Esistono delle curve chiuse semplici L a sostegno in G t.c. f(z)dz = 0; in questo caso f non ammette una primitiva in G.

In quest'ultimo caso, la funzione f non ammette una primitiva in G.

caso l'inté