Analisi complessa - completo

Metodi matematici per l'ingegneria

Massimo Mangoni <m4ng0@lilik.it>
Appunti dalle lezioni del prof. A. Russell Johnson
AA 2000-2001

cCopyright 2001-2002 Massimo Mangoni.
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Analisi complessa

Definizioni fondamentali; equazioni di Cauchy-Riemann

Funzioni complesse e derivata complessa

Sia G un dominio, cioè un insieme aperto e connesso (idea intuitiva: non è diviso in parti separate). Una funzione complessa f in G è un’applicazione f : G → C.

Sia f : G una funzione complessa e sia z ∈ G. La f si dice continua in z sse ad ogni ε > 0 corrisponde δ > 0 tale che se |z - z₀| < δ, allora |f(z) - f(z₀)| < ε.

La f si dice continua in G sse f è continua in ogni z ∈ G.

Introduciamo adesso il concetto di derivabilità (in senso complesso) di una funzione complessa.

Sia f : G una funzione complessa e sia z ∈ G. Allora f si dice derivabile in z sse il limite

lim_z→z0 [(f(z) - f(z₀))/(z - z₀)] = f'(z₀)

esiste. Precisamente f è derivabile in z sse ad ogni ε > 0 corrisponde δ > 0 tale che se |z - z₀| < δ, allora |(f(z) - f(z₀))/(z - z₀) - f'(z₀)| < ε.

Si dice che f : G è derivabile in G sse f è derivabile in ogni punto z ∈ G. In questo caso diremo che f è analitica in G.

Esempio. Sia G = C e sia f : G → C la funzione f(z) = x, con z = x + iy. Questa funzione non è derivabile nel senso complesso! Infatti: sia z = x + iy e prendiamo z₀ = x₀ + iy₀, cioè lungo la retta parallela all’asse reale e passante per z₀. Abbiamo così [(f(z) - f(z₀))/(z - z₀)] = 1 e quindi il limite è uguale a 1. Adesso facciamo invece avvicinare z lungo la parallela all’asse immaginario: [(f(z) - f(z₀))/(z - z₀)] = 0 il limite è uguale a 0. Quindi il limite, non essendo unico, non esiste.

Teorema 1: Sia f : G → C una funzione complessa e sia z₀ ∈ C. Allora f è derivabile in z₀ sse esiste A tale che

f(z) - f(z₀) = AΔz + ε(z, z₀)Δz, ove Δz = z - z₀, A non dipende da z e ε(z, z₀) → 0 se z → z₀.

Dimostrazione:

(→) Sappiamo che

lim_z→z0 [(f(z) - f(z₀))/(z - z₀)] = f'(z₀).

Poniamo dunque A = f'(z₀), Δz = z - z₀ e notiamo, usando la definizione di limite, che:

f(z) - f(z₀) = AΔz + ε(z, z₀)Δz, ove ε(z, z₀) → 0 se z → z₀.

(←) La relazione implica che

((f(z) - f(z₀))/(z - z₀)) = A + ε(z, z₀).

Poiché ε(z, z₀) → 0 per z → z₀,

lim_z→z0 [(f(z) - f(z₀))/(z - z₀)] = A.

Quindi f'(z₀) esiste ed è uguale ad A.

Riportiamo adesso alcune regole che valgono per la derivata complessa:

• d(c)/dz = 0 se c è una costante.
• d(zⁿ)/dz = nz^n-1 per ogni n = 0, 1, 2, ...
• d(c₁f₁(z) + c₂f₂(z) + ... + c_nf_n(z))/dz = c₁(df₁(z)/dz) + c₂(df₂(z)/dz) + ... + c_n(df_n(z)/dz)
• d(f(z)g(z))/dz = f(z)g'(z) + f'(z)g(z)
• d(f(z)/g(z))/dz = (g(z)f'(z) - f(z)g'(z))/(g(z))², se g(z) ≠ 0
• Se f : G → C è derivabile in z₀ e g : H → C è derivabile in f(z₀), allora (g ◦ f)'(z₀) = g'(f(z₀))f'(z₀).
• Se f : G → C è una funzione complessa e z₀ ∈ G, con f'(z₀) ≠ 0, allora l'inversa f^-1 è definita in un intorno di f(z₀) e (f^-1)'(f(z₀)) = 1/f'(z₀).

Le equazioni di Cauchy-Riemann

Le equazioni di Cauchy-Riemann ci forniranno una caratterizzazione della derivabilità di una funzione complessa.

Sia G un dominio, e sia u : G → R una funzione a valori reali. Possiamo scrivere u(z) = u(x, y) se z = x + iy, identificando cioè z = x + iy con (x, y) ∈ R². Dall’Analisi II sappiamo: u è differenziabile nel punto (x₀, y₀) ∈ G sse

u(x, y) - u(x₀, y₀) = A(x - x₀) + B(y - y₀) + ε₁(x, y, x₀, y₀)Δx + ε₂(x, y, x₀, y₀)Δy,

dove A, B sono costanti, Δx = (x - x₀), Δy = (y - y₀) e sia ε₁ che ε₂ tendono a 0 per (x, y) → (x₀, y₀). Se u è differenziabile in (x₀, y₀) allora ∂u/∂x(x₀, y₀) = A e ∂u/∂y(x₀, y₀) = B.

Teorema 2 (Equazioni di Cauchy-Riemann): Sia G un dominio, z₀ ∈ G, e sia f : G → C una funzione complessa. Condizioni necessarie e sufficienti affinché f sia derivabile in z₀ sono:

• (i) u e v sono differenziabili in z₀
• (ii) ∂u/∂x(x₀, y₀) = ∂v/∂y(x₀, y₀) e ∂u/∂y(x₀, y₀) = -∂v/∂x(x₀, y₀) (equazioni C-R)

Qui abbiamo scritto f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Dimostrazione:

(→) Supponiamo che f sia derivabile in z₀; dobbiamo dimostrare che se f(z) = u(x, y) + iv(x, y), allora u e v sono differenziabili in (x₀, y₀) e soddisfano alle equazioni C-R. Per il Teorema 1 abbiamo: f(z) - f(z₀) = f'(z₀)Δz + ε(z, z₀)Δz, ove Δz = z - z₀ e ε(z, z₀) → 0 per z → z₀. Scriviamo:

f'(z₀) = a + ib, ε(z, z₀) = ε₁(z, z₀) + iε₂(z, z₀). Scriviamo inoltre Δz = Δx + iΔy, ove Δx = x - x₀ e Δy = y - y₀.

Abbiamo: f(z) - f(z₀) = (u(x, y) - u(x₀, y₀)) + i(v(x, y) - v(x₀, y₀)) = (a + ib)(Δx + iΔy) + (ε₁ + iε₂)(Δx + iΔy). Uguagliando le parti reali e immaginarie:

u(x, y) - u(x₀, y₀) = aΔx - bΔy + ε₁Δx + ε₂Δy

v(x, y) - v(x₀, y₀) = bΔx + aΔy + ε₂Δx + ε₁Δy

Notiamo che ε₁ e ε₂ tendono a 0 se z → z₀; inoltre |Δz| → 0 se e soltanto se Δx → 0 e Δy → 0 u e v sono differenziabili in (x₀, y₀). Dal sistema segue che:

∂u/∂x(x₀, y₀) = a = ∂v/∂y(x₀, y₀)

∂u/∂y(x₀, y₀) = -b = ∂v/∂x(x₀, y₀)

che sono le equazioni C-R.

(←) Esercizio.

Interpretazione geometrica della derivata complessa

Facciamo una digressione sull’argomento di un numero complesso z = e^iθ|z|, ove r = |z| e θ è l’angolo polare tra z e l’asse reale positivo. Se θ è un valore ammissibile per l’argomento di z, lo è anche θ + 2π, θ - 2π, θ + 4π, etc.

Scriviamo allora arg z = θ; cosi z = |z|e^iθ, ove arg z indica un valore fisso dell’argomento di z.

Dunque se z₁ ≠ 0 e z₂ ≠ 0 sono due numeri complessi, abbiamo z₁z₂ = |z₁||z₂|e^{i(arg z₁ + arg z₂)}. Così abbiamo ottenuto:

arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂.

Sia adesso G un dominio, z ∈ G, f : G → C complessa e tale che f'(z) esista e sia diversa da zero. Sia λ : [a, b] → G una curva che passa per z; sia λ(t) = z e supponiamo che λ'(t) ≠ 0. Consideriamo la curva immagine f(λ(t)): notiamo che f(λ(t)) = f(z); un vettore tangente alla curva immagine nel punto f(z) è:

v = d/dt(f(λ(t)))_t=t₀ = f'(z)λ'(t)_t=t₀.

Quindi arg v = arg(f'(z)λ'(t)) = arg f'(z) + arg λ'(t); questa formula vale per ogni scelta della curva λ passante per z. In altre parole, ogni vettore tangente λ'(t) nel punto z viene ruotato di arg f'(z) radianti (vale per ogni scelta di λ).

Un’applicazione che ruota ogni vettore tangente in un dato punto z dello stesso angolo viene chiamata conformale. In particolare, se f : G → C è derivabile in z e se f'(z) ≠ 0, allora f è conformale in z.

Teorema 3 (trasformata di Möbius): Siano a, b, c, d tali che ad - bc ≠ 0. Sia w = (az + b)/(cz + d) la trasformata di Möbius che corrisponde ad a, b, c, d. Sia K una qualsiasi circonferenza. Allora w(K) è una circonferenza oppure una retta.

Integrali di forme differenziali

Sia G un dominio, e sia L : z = z(t) una curva regolare a tratti, a sostegno in G, cioè z(t) ∈ G per ogni t ∈ [a, b].

La curva L si dice regolare a tratti se esiste una partizione a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b tale che:

• z(t) è continua in [a, b].
• z(t) è della classe C¹ in ogni sottointervallo [t_i, t_i+1], 0 ≤ i ≤ n-1.

Siano P(x, y) e Q(x, y) due funzioni continue in G. La corrispondente forma differenziale è P(x, y)dx + Q(x, y)dy; essa è un “ente” che viene integrato lungo una curva regolare a tratti. Sia L : t → z(t) una curva regolare a tratti, a sostegno in G (quindi z(t) = x(t) + iy(t)). Definiamo:

∫_L (P dx + Q dy) = ∫_a^b [P(x(t), y(t)) dx/dt + Q(x(t), y(t)) dy/dt] dt.

Dall’Analisi II sappiamo che questo integrale non dipende dalla parametrizzazione, se il verso di percorrenza della curva L è conservato. Se è ottenuta da -L cambiando il verso, allora:

∫_-L (P dx + Q dy) = -∫_L (P dx + Q dy).

Forme differenziali con funzioni complesse

Analizzeremo adesso forme differenziali del tipo f(z)dz, ove f è una funzione complessa.

Sia G un dominio, e sia f : G → C una funzione complessa e continua. Sia L : t → z(t) : [a, b] → G una curva regolare a tratti a sostegno in G. Definiamo:

∫_L f(z)dz = ∫_L (u + iv)(dx + idy) = ∫_L (udx - vdy) + i∫_L (vdx + udy).

Proprietà di questi integrali:

• ∫_-L f(z)dz = -∫_L f(z)dz.
• Se L = L₁ + L₂ + ... + L_n, allora ∫_L f(z)dz = ∑_i ∫_Li f(z)dz.
• Linearità: ∫_L (c₁f₁(z) + c₂f₂(z) + ... + c_nf_n(z))dz = ∑_i c_i∫_L f_i(z)dz.
• Se |f(z)| ≤ M per ogni z ∈ sost(L), allora |∫_L f(z)dz| ≤ M * l, dove l è la lunghezza della curva L.
• Se z(a) = z(b), allora ∫_L dz = ∫_L z dz = 0.

Dimostriamo la proprietà 4: abbiamo ∫_L f(z)dz = ∫_a^b f(z(t))z'(t)dt, ove questo integrale si intende nel senso di Riemann. Sia {a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b} una partizione dell’intervallo [a, b]. Consideriamo:

∑_i=1^N f(z(t_i))z'(t_i)Δt_i, ove Δt_i = t_i - t_i-1. Si verifica che:

∫_a^b f(z(t))z'(t)dt = lim_k→0 ∑_i=1^N f(z(t_i))z'(t_i)Δt_i, con k = max{Δt_i}.

Quindi:

|∫_a^b f(z(t))z'(t)dt| ≤ M * l.

Teorema integrale di Cauchy e applicazioni

Intuitivamente, un dominio G si dice semplicemente connesso se “G non ha buchi”: più formalmente, G è semplicemente connesso se ogni curva chiusa in G si può deformare in un punto di G in modo continuo.

Teorema 4 (Teorema Integrale di Cauchy): Sia G un dominio semplicemente connesso, e sia f : G → C una funzione analitica. Sia L una curva chiusa e semplice, orientata in senso antiorario. Allora:

∫_L f(z)dz = 0.

Un’applicazione del Teorema 4 è il calcolo degli integrali di Fresnel, che hanno impiego nello studio della rifrazione della luce. Se ne riesce a calcolare il valore, anche se non è possibile scriverne le primitive. Il risultato è:

√π/2

Teorema di Jordan: Sia L una curva chiusa, semplice e continua nel piano complesso C. Allora C = I(L) ∪ E(L), ove I(L) è limitata, E(L) è sost(L) non limitata. I(L) ed E(L) sono semplicemente connessi. I(L) = parte interna della curva L, E(L) = parte esterna della curva L.

Teorema 4a: Sia G un dominio (anche non semplicemente connesso) e sia f : G → C una funzione analitica. Sia L una curva chiusa e semplice, orientata nel senso antiorario, tale che sost(L) ∪ I(L) ⊆ G. Allora:

∫_L f(z)dz = 0.

“Dimos” (Intuitiva) Esiste un sottodominio G' ⊆ G tale che G' contiene sost(L) ∪ I(L) ed è semplicemente connesso. Per il Teorema 4 applicato al dominio G', si ha ∫_L f(z)dz = 0.

Teorema 4b: Sia G un dominio e sia f : G → C una funzione analitica. Siano Γ, γ₁, ..., γ_n delle curve (chiuse, semplici, orientate in senso antiorario) a sostegno in G tali che:

• sost(γ_j) ⊆ I(Γ) per ogni j = 1, ..., n
• sost(γ_j) ∩ (I(γ_k) ∪ E(γ_k)) = ∅ per ogni j ≠ k
• I(Γ) \ (I(γ₁) ∪ ... ∪ I(γ_n)) ⊆ G

Allora:

∫_Γ f(z)dz = ∑_i=1ⁿ ∫_γi f(z)dz.

Teorema 5 (Formula Integrale di Cauchy): Sia G un dominio e sia f : G → C una funzione analitica. Sia L una curva chiusa semplice, orientata nel senso antiorario, tale che sost(L) ∪ I(L) ⊆ G. Sia z₀ ∈ G un punto che non appartiene al sost(L). Allora:

∫_L f(z)/(z - z₀)dz = 2πif(z₀) se z₀ ∈ I(L)

∫_L f(z)/(z - z₀)dz = 0 se z₀ ∈ E(L).