Serie di Fourier, Analisi matematica II

Polinomi Trigonometrci o Serie di Fourier

Def. Un polinomio trigonometric è dato da

T_n(x) = _a0/2 + _E n = 1^∞[a_ncos(nx) + b_nsen(nx)]

ha periodo 2π

1. Convergenza lim T_n(x) = a₀/2 + _Ea_ncos(nx) + b_nsen(nx) ?
2. Costruzione di T_n(x) a partire da f(x) periodica.

Esempio: _Ecos1x = è una serie di Fourier

con a₀ = 0, ∀k = 0 ∀k a_n = 1/n

_Ecos(nx)/1/n³ =≤ 1/n³

Ma convergenza assoluta ∀x ε R

Prop. Se è convergente la serie numerica

_E|a_n| + |b_n| ⇒ la serie di Fourier

a₀/2 + _Ea_ncos(nx) + b_nsen(nx) è convergente

Ma come devono a_n, b_n ?

∫_−π^πf(x)cos(mx) dx = _a0/2 ∫_−π^πcos(mx) dx + _Ean∫_−π^πcos₀ xcon(mx) dx +

+ _Ebn ∫_−π^πsen(kx)cos(mx) dx

Osserviamo che:

∫_−π^πcos(mx)sen(mx) dx = _E ∋ ⊘ a = _Esen(mx)cos(mx)dx ∋

Polinomi Trigonometrico o Serie di Fourier

Def: Un polinomio trigonometrico è dato da

T_n(x) = _a0/₂ + ∑(a_ncos(n(x)) + b_nsin(n(x))) ha periodo 2π

A) Convergenza lim T_n(x) = a₀/₂ + ∑a_ni(x) + b_nsen(n(x))?

B) Costruzione di T_n(x) a partire da f(x) periodica

Esempio: ∑ cos nx/_n² è una serie di Fourier

con a₀ = 0, b_n = 0 ∀k a_n = 1/√n

∫(cos(nx)/n³) ≤ 9/n³

Ha convergenza assoluta ∀x∈ℝ

Prop. Se è convergente la serie numerica ∑|an| |bn| ⇒ la serie di Fourier

a₀/₂ + ∑a_ncos(nx) + b_nsen(nx) è convergente

Ma come devono a_n, b_n?

∫ f(x)cos(mx) dx = a₀/₂∫ cos mx dx + ∑an ∫ cos kx cos mx dx +

+ ∑b_n ∫ sen k(x) cos(mx) dx

Osserviamo dei:

a_m=¹/_π∫_-π^πf(x)cos(mx)dx m=1,2,...

a₀=¹/_π∫_-π^πFxdx

b_m=¹/_π∫_-π^πf(x)sen(mx)dx m=1,2...

OSS. Se F ha periodo 2π i coefficienti non cambiano se li otteniamo integrando su un qualsiasi intervallo di lunghezza 2π

Dim. w∈&Reals; ∫₀^a+2πg(x)dx=_∫w^ag(x)dx+∫_-w^ag(x)dx+∫_π^a+2πg(x)dx=^∫_wyg(x)dx

x=4+2π ∫_-π^ag(x)dx=_{∫-π⁰g(4+u)dq}=∫_w⁰g<x>d[x]=∫_w^ag(x)dx

1° f=q 2° q=∫cos(nx) 3° y=f(x)sen(nx)

OSS. Se F è pari (F(-x)=F(x)), la sua serie di Fourier è data da T(x)=a₀/2+∑a_ncos(nx) n=0 Se F è dispari, la sua serie di Fourier è data N(x)=∑a_nsen(nx) n=0

Convergenza puntuale e uniforme

Def: Una funzione \( f : [a/b] \to R \) è regolare a tratti x esiste un numero finito di punti: \( a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \) tale che \( f \) è derivase ct negli intervalli \( (x_i, x_{i+1}) \) per i = 1, ..., N e \( f' \) rimane comunque limitate in \( [a/b] \).

Teorema: Data \( f : R \to R \) una funzione \(\tau\) periodica e regolare se tratti, allora valgono le seguenti conclursioni:

1. la serie di Fourier associato a \( f \) converge in ogni punto x ∈ R

\( \tilde{f}(x) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} \)

2. se \( f \) è ande continuo la serie di Fourier converge uniformemente a \( f \) in R.

(CROSS) DISEQUALIANZA DI BESSEL:

(CROSS) \( \frac{{a_0}^2}{2} + \sum_{n=1}^{m} b_n^2 k_n^2 \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [F(\xi)]^2 dt

Supponiamo che (CROSS) e di Fourier (CROSS) convegge uniformamente (CROSS) possono scambiare le simbolo la di serie e quello di integrale col la serie ni pour intergale termiv o termini povi pr la serie di Fourier vale un risultato (CROSS)

(CROSS) (Teorema) Sica f periodica e continua tratti, allora la sua serie di Fourier si può integrare termine a termine cioe:

(CROSS)

\( S(f) = a(x) = (x-x_0) \pm b(x) = \int_{a_x}^{b} (x - x_0 + b) \sin(nx) + b_n \sin nx \cos n x + b m n (H E) dt \)

Disuguaglianza di Bessel

w₂/2 + ∑ᵤ_n² + b_n² ∈ 1/π∫[F(t)]²dt

Dimostrazione: Si ha

∫_-π^π[F(t) - T_m(t)]²dt >= 0 da cui

∫_-π^π[F(t)]²dt >= 2∫_-π^πF(t)ᵢ - ∫_-π^π[m]² - 2π[w_a/2 + ∑ᵤ_n² + b_n²] - [

w_a/2 + ∑ᵤ_n² + b_n²]

Radisuguaglianza di Bessel implica che la serie convergend un un-DO|un-DO cioè x f², integrabile

lim ∫[f(t)cosAt]dt = lim ∫[f(t)sinAt]dt = 0

t-0∞ t-0∞

inverse e di Fourier individuare in modo univoco la funzione

teorema: Se f ₁ f ₂ sono funzioni continue e periodiche che

le hanne gli stem coefficienti di Fourier allin

Sappiamo che se uno serie converge uniformemente si

possono scambiare il simbolo di serie e quello di integrale

cioè la serie si puo integrare tenutre a tenutire

pero per la serie di Fourier vale un risultato un a≠n≤cos

treorema: Sia f periodica e continua e bratti: allora

la sue serie di Fourier si può integrare teniture a

tenure cando se non c’è convergenza uniforme e memmop restante

∫_x0^x f(ξ)dξ - ω₀² (x - x₀) = ∫_x0^x ∑_m=1^∞ [a_mcoskt + b_nsinkt]dt

x₀ e [ ]

Se f ha periodo L > 0 invece di 2π e sull'intervallo applicando il teorema precedente alle funzioni f(Ly/2π) dove ho periodo 2π

an₀² + ∑_n=1^∞ a_ncos(nω₀x) + b_nsen(nω₀x) ω₀ = π/ L

I coefficienti di Fourier sono dati da:

α⁰ = 2/L ∫_-L/2^L/2 f(x) cos(kω₀x) dx β_n = 2/L ∫_-L/2^L/2 f(x) sen(kω₀x) dx

am₀ e cos(y) = f(Ly/2π) g = 9(y) = f(2y/ 2π) è periodica di periodo 2π

f(Ly/2π) = g(y) = a₀/2 + ∑_m=1^∞ a_n cos(ny) + b_n sin(ny)

cos(m + 1) - e e

d₀ = 2/L ∫_-1/2^1/2 f(x) dx