Serie di Fourier, Analisi matematica II

Polinomi Trigonometrica o Serie di Fourier

Def: Un polinomio trigonometrico è dato da

T_n(x) = a₀/2 + Σ (a_ncos(nx) + b_nsin(nx)) ha periodo 2π

1. Convergenza: lim T_n(x) = a₀/2 + Σ a_ni(x)+ b_nsin(nx) ?
2. Costruzione di T_n(x) a partire da f(x) periodica

Esempio: Σ (coshx / n³) è una serie di Fourier con a₀ = 0, |b_n| = 0 ∀k a_n = 1/n³

|Σ (cos(nx) / n³)| ≤ C/n³

La convergenza assoluta ∀x ∈ ℝ

Prop: Se è convergente la serie numerica

Σ |a_n| + |b_n| => la serie di Fourier

a₀/2 + Σ a_n cos(nx) + b_n sin(nx) è convergente

Ma come devono a_n, b_n?

∫f(x) cos(mx) dx = a₀/2 ∫cosx dx + Σ a_n ∫f(x) cos(mx) cos(nx) dx +

Σ b_n ∫sin(kx) cos(mx) dx

Osserviamo che:

∫cos(nxxcos(mx)) dx = ∫(sin(kx) + sin(b_n mx)) dx = ∫(sin(b_n) (x) cos(mx)) dx

a_m = ¹⁄_τ ∫_-π^π f(x)cos(mx)dx m = 1, 2, ... b_m = ¹⁄_τ ∫_-π^π f(x)sin(mx)dx m = 1, 2, ...

OSS. Se l'ha periodo 2τ, i coefficienti non cambiano se l'ottanio integrando su un qualunque intervallo di lunghezza 2τ

Dim: ∀ ∈ ^a+2τ_a ∫ g(x)dx = ^a_-π ∫ g(x)dx + ^π_-π ∫ g₁(x)dx + ^a+2τ_π ∫ g₂(x)dx = ^a+2τ_π ∫ g(x)dx

x = y + 2τ ^y_a ∫ g(x)dx = ⁰_π ∫ g(y+2τ)dy = ^a_-π ∫ g(y)dy = ^a_-π ∫ g(ξ)d/ξ

2. f = g 2_s. q = ∫ cos(nx) 3_s. y = ∫ f(x)sin(nx)

OSS. Se f è pari: F_-x = F_x la x1x seied-Fourier è data da T_x = a₀² + ^{∑a_ncos(nx)}_n=0

Se ƒ è dispasi la sua series di Fourier x_n =  ∑ b_nsin(nx)

Oss. Il teorema precedente riguarda la convergenza puntuale e uniforme della serie Fourier se è assolutamente o in conseguenza integrale o di potenza rivela che sono molte come mostrato seguente e risultante.

Teorema:

Dette f periodiche di periodo 2π e continue e astratte, allora valgono le seguenti conclusioni:

1. La serie di Fourier associata a ∫f Tₙ(x) è tale che:

∫₀^πf(x)Tₙ(x)dx → 0   n → ±∞

2. Vale l'identità di Parseval

_w²/2 + ∑_n=1^∞(_aₙ²+_bₙ²) = ∫_-π^πf(x)dx

3. La serie converge puntualmente

Dim.: Proviamo solo l'identità di Parseval nel caso in cui f è continua. Se bo

1/π∫_-π^πT₂ₙ(x)dx = _ω²/2 + ∑_n=1^∞ [_aₙ²+_bₙ²]

Se f è continua tn converge e f è puntuale quindi possiamo fare il limite per n tendente all'infinito dimostrando l'identità di Parseval.