Analisi dei Segnali - Appunti

Appunti di ANALISI DEI SEGNALI

Energia - Potenza media 3

Segnali periodici (complessi) 4

TRASFORMATA DI FOURIER 5

Proprietà della TF 6

Relazioni tempo-frequenza 8

Esistenza della TF 9

Delta di Dirac 10

Proprietà della δ(x) 11

TF della δ(x) - Treno di delta 12

Considerazioni energetiche 13

Teorema di Parseval 14

Trasformata di Fourier di segnali periodici 15

Serie di Fourier Esponenziale 16

Serie / Trasformata di Fourier 17

Serie di Fourier Trigonometrica 18

Considerazioni energetiche 19

SISTEMI LINEARI 20

Funzione di Trasferimento 21

Fisica realizzabilità - Stabilità 22

Larghezza di Banda di un sistema LTI 23

SPETTRI DI ENERGIA 24

Autocorrelazione (energia) 25

Autocorrelazione - Proprietà 26

Spettri di energia mutua 27

SPETTRO DI POTENZA 28

Autocorrelazione (potenza) 29

Autocorrelazione - Proprietà 30

Spettro di potenza di segnali periodici 31

Autocorrelazione (segnali periodici) 32

CONVERSIONE A/D 33

Campionamento Ideale 34

Campionamento Reale 35

Quantizzazione 36

SEGNALI A TEMPO DISCRETO 37

Segnali discreti 38

Energia e potenza media 39

SISTEMI LINEARI DISCRETI 40

Realizzabilità - Stabilità 41

Funzione di trasferimento 42

TRASFORMATA ZETA 43

Proprietà della TZ 44

Trasformata Z 45 1

Sistemi lineari e TZ 46

DTFT 48

DFT 49

Analogie 50

Dal campionamento alla DFT 51

FILTRI NUMERICI 53

Filtri FIR 54

Filtri IIR 55

Confronto FIR / IIR 56

PROBABILITA' 57

Probabilità congiunta 58

Probabilità condizionata 59

Formula di Bayes 60

Teorema della probabilità totale 61

Variabili casuali discrete 62

Valore atteso - quadratico medio 63

Varianza - Deviazione standard 64

Distribuzione cumulativa 65

Variabili casuali continue 66

Densità di probabilità 67

Distribuzioni notevoli - Gaussiana 68

Valore medio - quadratico medio - Varianza 69

Coppie di variabili casuali 70

Probabilità congiunta 71

Coefficiente di correlazione 72

PROCESSI CASUALI 73

Collezione di variabili casuali 74

Densità di probabilità 75

Medie del I ordine 76

Covarianza - Autocorrelazione 77

Esempio 78

Processi casuali stazionari 79

Stazionari in senso lato "WSS" 80

Spettro di un processo WSS 82

Processi ergodici 83

Rumore Gaussiano Bianco (WGN) 85

Processi casuali filtrati 87

Valor quadratico medio 88

Autocorrelazione 89

Spettro di Potenza 90

Rumore colorato 91

Esame del 06-07-2020 92

Esame del 24-07-2020 109 2

Energia - Potenza media 3

Analisi dei Segnali

Segnali periodici (complessi) 4

Analisi dei Segnali TRASFORMATA DI FOURIER

, (variabile

è una rappresentazione alternativa di non in funzione del tempo nativa)

• ma della variabile alternativa frequenza. .

Da si può comunque sempre ritornare indietro a

•

• Si noti anche come le espressioni della trasformata di Fourier diretta e inversa siano

praticamente uguali, a meno del cambio di segno nell'esponenziale complessa dentro l'

integrale. 5

Analisi dei Segnali

Proprietà della TF 6

Analisi dei Segnali

Proprietà della TF 7

Analisi dei Segnali Relazioni tempo-frequenza 8

Analisi dei Segnali Esistenza della TF

• Un segnale strettamente limitato nel dominio t è illimitato nel dominio f, ovvero non può essere a

banda strettamente limitata.

• Vale anche il reciproco: un segnale strettamente limitato in banda non può essere strettamente

limitato nel tempo.

• Tuttavia, nulla vieta che un segnale sia contemporaneamente illimitato sia in t che in f 9

Analisi dei Segnali Delta di Dirac 10

Analisi dei Segnali Proprietà della 11

Analisi dei Segnali - Treno di delta

TF della

Quest'ultima proprietà scaturisce dalla definizione della delta come limite di successione di in

funzioni. La delta centrata in un punto dell'asse "fotografa" il valore del segnale

quel punto 12

Analisi dei Segnali Considerazioni energetiche

(a

La TF del treno di delta nel tempo è un treno di delta in frequenza, di periodo meno del

)

coefficiente moltiplicativo 13

Analisi dei Segnali Teorema di Parseval 14

Analisi dei Segnali Trasformata di Fourier di segnali

periodici 15

Analisi dei Segnali Serie di Fourier Esponenziale 16

Analisi dei Segnali Serie / Trasformata di

SERIE O TRASFORMATA DI FOURIER Fourier

• Nel caso del segnale periodico, serie e TF portano la stessa informazione: “SPETTRO A RIGHE ”;

: frequenza fondamentale, : armoniche.

• I coefficienti delle righe possono essere calcolati come visto prima, oppure come coefficienti della

serie di Fourier. I questo secondo caso dobbiamo integrare tutto quello che, del segnale periodico,

cade nell’intervallo , il che può essere facile (e.g. onda quadra) e difficile (e.g. ripetizione

periodica di gaussiane).

• Se il segnale non è periodico ma diverso da zero solo in un intervallo dell’asse tempi: la serie di

Fourier non esiste.

• Se il segnale non è periodico ma definito esclusivamente in un intervallo dell’asse tempi: la

trasformata di Fourier non esiste.

CONVERVENZA DELLA SERIE DI FOURIER Per quanto riguarda la convergenza punto a punto, valgono le “CONDIZIONI DI DIRICHLET”: Dato

un segnale definito in , se:

Detto il segnale che si ottiene sommando un numero finito N di termini, e detto: • è limitato in :

Il segnale differenza (“ERRORE”) tra e , l’energia di , identificata come la “norma

quadratica”, tende a zero se : • è modulo integrabile:

Questa condizione non richiede che sia identicamente nullo; esso infatti può non esserlo in un

insieme finito di punti, il che non ha impatto sull’energia. • ha un numero finito di discontinuità in

Questo accade nel caso della serie di Fourier qualora il segnale abbia discontinuità (Fenomeno di • ha un numero finito di massimi e minimi in

Gibbs). Allora la serie di Fourier di converge punto a punto a in tutti i punti ove è

Un criterio semplice per assicurare la convergenza in media della serie di Fourier è che il segnale, continuo; nei punti di discontinuità, essa converge al valore medio dei valori assunti da ai

definito in un intervallo limitato (oppure segnale periodico corrispondente), abbia energia finita in due lati della discontinuità.

tale intervallo. 17

Analisi dei Segnali Serie di Fourier

Trigonometrica 18

Analisi dei Segnali Considerazioni energetiche 19

Analisi dei Segnali

SISTEMI LINEARI

martedì 30 giugno 2020 16:06 20

Analisi dei Segnali Funzione di Trasferimento

21

Analisi dei Segnali Fisica realizzabilità - Stabilità 22

Analisi dei Segnali Larghezza di Banda di un sistema LTI 23

Analisi dei Segnali

SPETTRI DI ENERGIA

martedì 30 giugno 2020 16:52 24

Analisi dei Segnali Autocorrelazione (energia) 25

Analisi dei Segnali

Autocorrelazione - Proprietà

SIGNIFICATO DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

• Se fluttua molto rapidamente, allora e sono già significativamente diversi

per piccoli valori di , e quindi decresce rapidamente.

• Se fluttua lentamente, allora e sono quasi uguali per piccoli valori di , e

quindi decresce lentamente.

PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

• : facilmente dimostrabile a partire dalla definizione di .

• Se è reale, è reale e pari:

Dove l’ultima disuguaglianza vige in virtù della “Disuguaglianza di Schwartz”:

E , due segnali qualsiasi ad energia finita.

• Quindi il modulo della funzione di autocorrelazione ha un massimo in , pari a . 26

Analisi dei Segnali

SPETTRI DI ENERGIA MUTUA

Possiamo definire “SPETTRI DI ENERGIA MUTUA”:

Si ha che:

Si noti che:

Notiamo che e rappresentano i prodotti scalari tra i due segnali (o i

loro coniugati).

Ne consegue che condizione sufficiente affinché due segnali a energia mutua siano “ortogonali” è che

il loro spettro di energia mutua sia nullo.

Questo capita, ad esempio, se e occupano regioni disgiunte dell’asse

Notiamo infine che:

FUNZIONE DI MUTUA CORRELAZIONE

Dati i segnali ad energia finita e , possiamo definire “FUNZIONE DI MUTUA CORRELAZIONE”:

Oppure

Si dimostra facilmente che, in modo analogo a prima, che Spettri di energia mutua 27

Analisi dei Segnali SPETTRO DI POTENZA 28

Analisi dei Segnali Autocorrelazione (potenza) 29

Analisi dei Segnali

Autocorrelazione - Proprietà

PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

•

• Se è reale, è reale e pari

• Ancora una volta, il modulo della funzione di autocorrelazione ha un massimo in , dove

vale .

• Tutte queste proprietà sono facilmente dimostrabili a partire dalla definizione di . 30

Analisi dei Segnali Spettro di potenza di

segnali periodici 31

Analisi dei Segnali

Autocorrelazione (segnali periodici)

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI SEGNALI PERIODICI

La “FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI UN SEGNALE PERIODICO” è per definizione la

trasformata di Fourier inversa del suo spettro di potenza.

Siccome lo spettro di potenza è a righe, la funzione di autocorrelazione assume una forma

particolare:

E quindi, sostituendo a la sua espressione derivata della serie di Fourier e ricordando le

proprietà della delta di Dirac, si ottiene infine:

Analogamente si possono definire spettri mutui di potenza e funzioni di cross-correlazione

per i segnali periodici. 32

Analisi dei Segnali

CONVERSIONE A/D

mercoledì 1 luglio 2020 10:36 33

Analisi dei Segnali Campionamento Ideale

TEOREMA DI NYQUIST

Se è un segnale strettamente limitato in banda , è possibile ricostruire esattamente

a partire dai suoi campioni purché .

La ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale (“filtro ricostruttore”):

FENOMENO DELL’ALIASING

Se il segnale non è strettamente limitato in banda, oppure se (sotto

campionamento), le repliche di si intersecano e non è più possibile ricostruire esattamente

neppure con un filtro ricostruttore ideale.

All’uscita del filtro ricostruttore troveremo una versione di affetta da una distorsione detta

“Aliasing”.

Piuttosto che accettare la presenza dell’”Aliasing”, è meglio pre-filtrare il segnale con un filtro

passa basso con frequenza di taglio considerata accettabile per l’applicazione (“Filtro anti-

Aliasing”). 34

Analisi dei Segnali Campionamento Reale 35

Analisi dei Segna