Analisi dei Segnali - Appunti

FENOMENO DELL'ALIASING

Se il segnale non è strettamente limitato in banda, oppure se (sottocampionamento), le repliche di si intersecano e non è più possibile ricostruire esattamente neppure con un filtro ricostruttore ideale.

All'uscita del filtro ricostruttore troveremo una versione di affetta da una distorsione detta "Aliasing".

Piuttosto che accettare la presenza dell'"Aliasing", è meglio pre-filtrare il segnale con un filtro passa basso con frequenza di taglio considerata accettabile per l'applicazione ("Filtro anti-Aliasing").

Analisi dei Segnali Campionamento Reale

Analisi dei Segnali

CONVERTITORE A/D

Se le condizioni di Nyquist sono soddisfatte, i campioni sono sufficienti per ricostruire il segnale analogico senza perdere informazione.

Questo rende possibile le comunicazioni numeriche (se parliamo di trasmissione), oppure la memorizzazione di segnali nativamente analogici come stringhe di numeri (bit).

Tuttavia,

Normalmente, i campioni sono numeri reali e, come tali, non ammettono una rappresentazione in termini di un numero finito di cifre. L'operazione di quantizzazione consiste nell'arrotondare i valori delle ampiezze dei campioni affinché siano rappresentabili come stringhe finite di cifre. Ragionando in termini binari, le ampiezze dei campioni vengono approssimate in modo che siano rappresentate con .bit" implica livelli, quindi solamente valori di ampiezze di saranno rappresentabili esattamente. La catena "CAMPIONATORE - QUANTIZZATORE" configura il "CONVERTITORE ANALOGICO/DIGITALE (A/D)".

QUANTIZZAZIONE SCALARE UNIFORME

Se la dinamica del segnale di ingresso è e si vuole quantizzare il segnale usando, l'intervallo sarà suddiviso in sotto-intervalli di pari ampiezza:

Qualora l'ampiezza del generico campione cada nell'i-esimo intervallo, esso verrà rappresentato con l'i-esima stringa binaria di

lunghezza , rappresentante dell’i-esimo intervallo.Tutti i valori di che cadono nel medesimo intervallo di quantizzazione vengonorappresentati nello stesso modo e non c’è modo di discriminarli.Questo comporta un errore di quantizzazione, non recuperabile, che diminuisce aumentando ilnumero di bit (ovvero diminuendo ).Il valore massimo dell’errore di quantizzazione, in modulo, è: Quantizzazione 36

Analisi dei SegnaliSEGNALI A TEMPO DISCRETOmercoledì 1 luglio 2020 12:24 37Analisi dei Segnali Segnali discreti 38Analisi dei Segnali Energia e potenza media 39Analisi dei SegnaliSISTEMI LINEARI DISCRETImercoledì 1 luglio 2020 16:02 40Analisi dei Segnali Realizzabilità - Stabilità 41Analisi dei SegnaliFunzione di trasferimento 42Analisi dei SegnaliTRASFORMATA ZETAmercoledì 1 luglio 2020 16:20CARATTERISTICHE DELLA TRASFORMATA ZETARichiamiamo la definizione di “trasformata zeta” di un segnale :• Si tratta di una

nella variabile e . La ROC è pertanto l'interno di una circonferenza. 43Analisi dei Segnali Proprietà della TZ 44Analisi dei Segnali Trasformata ZINVERSIONE DELLA TRASFORMATA ZETA IN PRATICANella pratica può capitare che sia un polinomio in . In questo caso, l'inversione è diretta.Un secondo caso di interesse è che sia una funzione razionale. In questo caso, dopo avereventualmente eseguito la divisione per ottenere un grado del denominatore inferiore a quellodel denominatore, si esegue una scomposizione in fratti.Per linearità, ogni termine della scomposizione, si anti-trasforma separatamente.Si usano casi noti (riportati in tabella) per effettuare l'anti-trasformata. 45Analisi dei Segnali Sistemi lineari e TZ 46Analisi dei Segnali Sistemi lineari e TZCAUSALITÀ NEL DOMINIOSappiamo che un sistema è causale se:In termini di funzioni di trasferimento: è una serie di Taylor. La ROC è

STABILITÀ NEL DOMINIO

Un sistema è stabile se:

(Risposta all'impulso assolutamente sommabile)

Nel dominio : un sistema LTI discreto è stabile se e solo se la sua funzione di trasferimento converge per ,circonferenza di raggio unitario nel piano .

47Analisi dei Segnali DTFT

48Analisi dei Segnali DFT

49Analisi dei Segnali Analogie

OSSERVAZIONI:

• La DFT è definita solamente per sequenze di lunghezza finita
• Per tali sequenze, essa è invertibile
• La coppia DFT / IDFT lega gli campioni di una sequenza finita a campioni della suatrasformata di Fourier a tempo discreto (DFTT)

50Analisi dei Segnali Dal campionamento alla DFT

Se il segnale è campionato bene e non c'è Aliasing, la DTFT rappresenta , altrimenti nerappresenta una versione con Aliasing.

Oltre la banda lo spettro di un segnale analogico non può essere rappresentatonumericamente

51Analisi dei SegnaliDAL

CAMPIONAMENTO ALLA DFT

Volendo lavorare al computer, tratteremo sequenze di lunghezza finita. Quindi (normalizzando):

A questo punto campionando , otteniamo la DFT, che accetta in ingresso un vettore di campioni del segnale nel tempo e fornisce un vettore di campioni in frequenza.

La DFT riflette lo spettro del segnale campionato se questo è campionato bene (altrimenti ne riflette una versione con Aliasing), ed è di lunghezza finita. Dal campionamento alla DFT

Analisi dei Segnali

FILTRI NUMERICI

mercoledì 1 luglio 2020 18:59

FILTRI NUMERICI

Un filtro numerico è un sistema LTI che elabora un ingresso e fornisce un'uscita con caratteristiche volute - specificate in termini di risposta in frequenza. Il progetto avviene nel dominio zeta anche se le specifiche sono date nel dominio delle frequenza. Esso è quindi definito mediante la sua funzione di trasferimento, o in modo equivalente dalla risposta all'impulso. Ricordiamo che: Un filtro numerico

La linearità della trasformata zeta, la risposta all'impulso del filtro si può costruire sommando termini di questo tipo (se ci sono poli multipli, è possibile ricorrere alla tabella delle trasformate zeta per reperire la corrispondente sequenza).

In ogni caso, la risposta all'impulso che si ottiene è di lunghezza infinita: Infinite Impulse Response - IIR.

In pratica: se ha almeno un polo, il filtro è IIR. Se non ha poli (eccetto ), il filtro è FIR.

La ROC del filtro IIR sarà l'esterno di una circonferenza nel piano zeta che include tutti i poli:

• il modulo del polo di raggio massimo 55

Analisi dei Segnali Confronto FIR / IIR

• Non è garantito che la circonferenza di raggio unitario sia inclusa nella ROC.
• I filtri IIR possono essere stabili. Essi sono stabili solamente te:

Una conseguenza del fatto che ha lunghezza infinita è che la convoluzione non è realizzabile in pratica per

ottenere l'uscita del filtro, in quanto comporterebbe l'esecuzione di un numero infinito di somme di prodotti:

• Per realizzare le operazioni di filtraggio, ricordiamo che:
• Di conseguenza:
• Anti-trasformando termine a termine, otteniamo la relazione ingresso-uscita recursiva:
• Il campione n-esimo del segnale filtrato si ottiene combinando linearmente valori (presente e passati) del segnale di ingresso, e valori passati dell'uscita stessa (piuttosto coefficiente da calcolare normalmente e sono numeri moderati).

CONFRONTO TRA FILTRI FIR E IIR

FIR:

• Intrinsecamente stabili
• Possibile avere fase lineare
• Tecniche di progetto direttamente nel dominio numerico
• Realizzabili con numero generalmente elevato di somme di prodotti (procedura costosa)

IIR:

• Possibile essere instabili (anche per motivi numerici)
• Non hanno fase lineare
• Tecniche di progetto che partono da un prototipo analogico
• Efficienti da realizzare

56Analisi