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Analisi dei dati Tabella a doppia entrata

Una distribuzione doppia di frequenze è una

tabella a doppia entrata

Può essere di 2 tipi

di contingenza

¾Tabella

e entrambe qualitativi

‘ X Y

Qualitativo e Quantitativo (o

‘ X Y

viceversa)

di correlazione

¾Tabella

e entrambe quantitativi

‘ X Y Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 138

Rappresentazioni grafiche di

distribuzioni doppie

Distribuzione doppia di

frequenze Stereogramma

di contingenza

¾Tabella di correlazione

¾Tabella

Distribuzione unitaria Scatter

doppia di 2 caratteri Plot

quantitativi Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 139 1

Analisi dei dati Stereogramma della distribuzione doppia di frequenze

degli studenti per CDL e Num. Corsi Frequentati

Numero Corsi Frequentati

CDL 1 2 3 4 5 6 7 Totale

12 19 50 47 20 3 1 152

STC 2 23 49 32 12 5 1 124

SCPO 1 1 4 1 0 0 0 7

SCOSV 15 43 103 80 32 8 2

Totale 283

Studenti per CDL e Num. Corsi Freq. Stereogramma

50

40

30

Frequenza

assoluta 20

10

0 1 2 3 4 5 6 7

SCOSV SCPO STC

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 140

Esempio

Distribuzione degli studenti di Scienze della

Comunicazione frequentanti la facoltà

nell’a.a. 2001/2002 per Corso di Laurea e

Numero di Corsi Frequentati

Numero Corsi Frequentati

CDL 1 2 3 4 5 6 7 Totale

12 19 50 47 20 3 1 152

STC 2 23 49 32 12 5 1 124

SCPO n

1 1 4 1 0 0 0 7

SCOSV 2.

15 43 103 80 32 8 2

Totale 283

n n n

24 .6

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 141 2

Analisi dei dati Osservazione Distribuzione marginale

del Num. Corsi Freq.

Distribuzione

marginale del CDL Num. Corsi Freq. n

j

1 15

CDL n 2 43

j

STC 152 3 103

SCPO 124 4 80

SCOSV 7 5 32

Totale 283 6 8

7 2

Totale 283

Numero Corsi Frequentati

CDL 1 2 3 4 5 6 7 Totale

12 19 50 47 20 3 1 152

STC 2 23 49 32 12 5 1 124

SCPO 1 1 4 1 0 0 0 7

SCOSV 15 43 103 80 32 8 2

Totale 283

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 142

Riga i Colonna j

X Tot.

x x

x x … …

j

1 2 K

n n n n

y n .

… …

1 1

11 12 1j 1K

n n n n

… … n

y .

21 22 2j 2K

2 2

: :

: : … : … :

Y n n n n

… … n

y .

i 1 i 2 ij i K

i i

: :

: : … : … :

n n n n n

y .

… …

H H

H1 H2 Hj HK

Tot. n n

n n n

… . … .

. . j

1 2 K

Distribuzione condizionata

Distribuzione condizionata X

del carattere alla modalità

Y

del carattere alla modalità y Y

del carattere

i

x X

del carattere

j Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 143 3

Analisi dei dati Distribuzione condizionata

del carattere Num.Corsi

y

Freq. alla modalità =STC

1

del carattere CDL Numero Corsi Frequentati

CDL 1 2 3 4 5 6 7 Totale

12 19 50 47 20 3 1 152

STC 2 23 49 32 12 5 1 124

SCPO 1 1 4 1 0 0 0 7

SCOSV 15 43 103 80 32 8 2

Totale 283

Distribuzione condizionata

del carattere CDL alla

x

modalità =5 del carattere

5

Num.Corsi Freq.

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 144

Distribuzione Doppia di Frequenze

Tabella a doppia X Tot.

entrata x x

x x … …

j

1 2 K

n n

n n

y n .

… …

1 1

11 12 1j 1K

n n

n n … … n

y .

21 22 2j 2K

2 2

: :

: : … : … :

Y n n

n n … …

y n .

i i 1 i 2 ij i K i

: :

: : … : … :

n n

n n

y n .

… …

H H

H1 H2 Hj HK

Tot. n n

n n

n … . … .

.

. j

1 2 K

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 145 4

Analisi dei dati Profili riga e profili colonna

X Tot.

x x … x … x

Profili Riga j

1 2 K

n /n n /n … n /n … n /n

y 1

11 1. 12 1. 1j 1. 1K 1.

1 n /n n /n … n /n … n /n

y 1

21 2. 22 2. 2j 2. 2K 2.

2 : : … : … :

: :

Y n /n n /n … n /n … n /n

y 1

i i 1 i. i 2 i. ij i. i K i.

: : … : … :

: :

/n n /n … n /n … n /n

y n 1

H1 H. H2 H. Hj H. HK H.

H n. /n n. /n … n. /n … n. /n

j

1 2 K

X

Profili Colonna x x x x

… …

j

1 2 K

n /n n /n … n /n … n /n

y n ./n

11 . 1 12 . 2 1j .j 1K . K

1 1

n /n n /n … n /n … n /n n ./n

y 21 . 1 22 . 2 2j .j 2K . K

2 2

: : … : … :

: :

Y n /n n /n … n /n … n /n

y n ./n

i 1 . 1 i 2 . 2 ij .j i K . K

i i

: : … : … :

: :

n /n n /n … n /n … n /n n ./n

y H1 . 1 H2 . 2 Hj .j HK . K

H H

Tot. 1 1 1 1 1 1

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 146

Laureati in Soc. e SDC per

cond. Occupazionale e Sesso

Attuale Sesso

condizione Totale

occupazionale f m

Non lavora 23 19 42

Lavora 190 68 258

Totale 213 87 300

Profili riga Profili colonna

Attuale

Attuale Sesso

Sesso condizione Totale

condizione Totale occupazionale

occupazionale f m

f m Non lavora 0,11 0,22 0,14

Non lavora 0,55 0,45 1 Lavora 0,89 0,78 0,86

Lavora 0,74 0,26 1 Totale 1,00 1,00

Totale 0,71 0,29

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 147 5

Analisi dei dati Relazioni Statistiche

Su ogni u.s. si rilevano + caratteri

Studiare la relazione esistente tra i caratteri

Analisi dell’associazione esistente

Indipendenza

¾ Interdipendenza

¾ Dipendenza

¾ Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 148

Indipendenza Statistica

Due caratteri sono statisticamente indipendenti

quando la conoscenza di uno dei due caratteri

non migliora la “previsione” della modalità

dell’altro

Assenza di qualsiasi legame tra i due caratteri

Relazione simmetrica: se è indipendente da

X Y

allora è indipendente da

Y X

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 149 6

Analisi dei dati Indipendenza Statistica…

Definizione

Definizione

In una tabella a doppia entrata si ha indipendenza

tra i due caratteri e se le distribuzioni relative

X Y

condizionate di rispetto alle modalità di sono

X Y

tra loro uguali e uguali alla distribuzione relativa

marginale

Matrice profili riga ha tutte le righe uguali

¾ Matrice profili colonna ha tutte le colonne uguali

¾ Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 150

Indipendenza statistica

Religione

Cattolico Protestante Altro

Giudizio pena Morte Totale

Favorevole 10 5 15 30

Contrario 14 7 21 42

24 12 36 72

Totale Religione

Cattolico Protestante Altro

Giudizio pena Morte Totale

Profili riga Favorevole 0,33 0,17 0,50 1,00

Contrario 0,33 0,17 0,50 1,00

0,33 0,17 0,50 1,00

Totale Religione

Cattolico Protestante Altro

Giudizio pena Morte Totale

Profili colonna Favorevole 0,42 0,42 0,42 0,42

Contrario 0,58 0,58 0,58 0,58

1,00 1,00 1,00 1,00

Totale

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 151 7

Analisi dei dati Dipendenza perfetta

X = Mezzo Trasporto

Y = Tempo Bici Auto Bus Tot

Interdipendenza Sereno 82 0 0 82

perfetta tra e

X Y Variabile 0 37 0 37

Pioggia 0 0 5 5

Tot 82 37 5 124

X = Mezzo Trasporto

Y = Tempo Bici Auto Tot

dipende

X Sereno 82 0 82

perfettamente da Y Variabile 0 37 37

Pioggia 0 51 51

Tot 82 88 170

X = Diploma

dipende

Y Y = CDL Scientifico Classico Tecnico Totale

STC 0 23 0 23

perfettamente da X SCPO 41 0 8 49

Totale 41 23 8 72

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 152

Indipendenza o interdipendenza?

Le frequenze assolute nell’ipotesi di

indipendenza tra i 2 caratteri sono date da

×

n n

×

Totale riga Totale colonna i. .j

= =

*

n

ij Totale us n

Frequenza Teorica di

Indipendenza Situazione teorica di

Situazione osservata indipendenza

Statura Statura

Totale Totale

Sesso Sesso

Basso Medio Alto Basso Medio Alto

24 24

f 19 5 0 f 15 6,6 2,4

16 16

m 6 6 4 m 10 4,4 1,6

Totale 25 11 4 40 Totale 25 11 4 40

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 153 8

Analisi dei dati Misura di associazione χ

2

Indice di associazione Chi-Quadrato del Pearson

( )

2

− *

n n

H K

∑∑ ij ij

=

2

χ *

n

= =

i j

1 1 ij

Proprietà

Assume valore 0 se e sono perfettamente

¾ X Y

indipendenti

Assume valore positivo se esiste un legame di

¾ dipendenza o interdipendenza tra e

X Y

Ha le dimensioni di una frequenza assoluta

¾ Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 154

Indice di contingenza

quadratica media (phi quadro)

2

χ

=

2

Φ n

Proprietà

L’influenza del numero di unità n è eliminata

¾ Assume valore 0 se e sono perfettamente

¾ X Y

indipendenti

Assume valore massimo = 1 solo quando

¾ altrimenti l’indice Φ > 1

2

H=K=2, Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 155 9

Analisi dei dati Indice di Cramer

2

Φ

=

V { }

− −

min ( H 1

), ( K 1

)

Proprietà

Assume valori compresi tra 0 e 1

¾ Assume valore 0 se e sono perfettamente

¾ X Y

indipendenti

Assume valore 1 quando

¾ due caratteri sono perfettamente associati

‘i

e H=K

dipende perfettamente da e

‘Y X H<K

dipende perfettamente da e

‘X Y H>K

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 156 10

Analisi dei dati Dipendenza o indipendenza ?

Situazione teorica di

Situazione osservata indipendenza

Statura Statura

Totale Totale

Sesso Sesso

Basso Medio Alto Basso Medio Alto

24 24

f 19 5 0 f 15 6,6 2,4

16 16

m 6 6 4 m 10 4,4 1,6

Totale 25 11 4 40 Totale 25 11 4 40

Contingenze Statura

Sesso

− *

n n Basso Medio Alto

ij ij f 4 -1,6 -2,4

m -4 1,6 2,4

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 157

Calcolo di una misura di associazione (χ )

2

Contingenze ( ) 2

χ = 9 , 64

2

Statura *ij

n n

H K ij

2

Sesso χ ∑ ∑

= *ij

n

Basso Medio Alto = =

i j

1 1 9 , 64

2

Φ = = 0 , 241

f 4 -1,6 -2,4 40

2

χ

2

Φ =

m -4 1,6 2,4 n 0 , 241

=

V { }

min (

1

), ( 2 )

2

Φ

=

V { }

− −

min ( H 1

), ( K 1

) 0 , 241

= 1

= 0 , 491

2 2 2 2 2 2

− − − − −

4 ( 1

,

6 ) ( 2

, 4 ) ( 4 ) ( 1

.

6 ) ( 2

, 4

)

2

χ = + + + + + =

15 6

,

6 2

, 4 10 4

, 4 1

,

6

= + + + + + =

1,066667 0,387879 2,4 1,6 0,581818 3,6

= 9

,

636364 Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 158 1

Analisi dei dati Laureati in Soc. e SDC per

cond. Occupazionale e Sesso

Situazione osservata Situazione teorica indipendenza

Attuale Sesso

Attuale condizione Totale

Sesso

condizione Totale occupazionale f m

occupazionale f m Non lavora 24,8 9,2 34

Non lavora 23 11 34 Lavora 188,2 69,8 258

Lavora 190 68 258 Totale 213,0 79,0 292

Totale 213 79 292 2 2 2 2

− −

( 1

,

8

) (

1

,

8

) (

1

,

8

) ( 1

,

8

)

2

χ = + + + = 0,55

24

,

8 9

, 2 188 69

,

8

Contingenze 2

χ 0

,

55

Attuale Sesso 2

Φ = = = 0,00187

condizione 292

n

occupazionale f m

Non lavora -1,80 1,80 0,00187

= =

V 0

,

04

Lavora 1,80 -1,80 1

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 159

Laureati per cond.

Occupazionale e Facoltà

Situazione osservata Situazione teorica indipendenza

Facoltà

Facoltà Attuale condizione

Attuale condizione Totale

Sc.

Totale occupazionale SDC Soc. Economia

occupazionale Sc. politiche

SDC Soc. Economia

politiche Lavora 295,1 245,0 97,4 251,4 889,0

Lavora 222 276 105 286 889 Non Lavora 90,6 75,2 29,9 77,2 273,0

Non Lavora 190 66 31 65 352 Totale 412,0 342,0 136,0 351,0 1241,0

Totale 412 342 136 351 1241 2 2 2 2

( 73 ,

14 ) ( 31

, 01 ) ( 7 , 58 ) ( 34 , 56 )

χ = + + + +

2 295 ,

1 245 , 0 97 , 4 251 , 4

Contingenze − −

2 2 2 2

( 99 , 37 ) ( 9 , 23 ) (

1

, 08 ) ( 12 , 21 )

+ + + + = 1 39 , 43

Facoltà 90 , 6 75 , 2 29 , 9 77 , 2

Attuale condizione Sc.

occupazionale SDC Soc. Economia χ 2 139 , 43

Φ = = =

2 0 ,

1124

politiche n 1241

Lavora -73,14 31,01 7,58 34,56 0,1124 0,1124

Non Lavora 99,37 -9,23 1,08 -12,21 = = =

V 0 , 335

min(1,3) 1

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 160 2

Analisi dei dati Dipendenza perfetta

Situazione osservata Situazione teorica indipendenza

Attuale Attuale

Sesso Sesso

condizione Totale condizione Totale

occupazionale occupazionale

f m f m

Non lavora 213

213 0 Non lavora 213

155.4 57.6

0 79

Lavora 79 57.6 21.4

Lavora 79

Totale 213 79 292 Totale 213.0 79.0 292

Contingenze 2

χ = + + + =

21,37329 57,62671 57,62671 155,3733 292

Attuale Sesso

condizione 2

χ 292

f m 2

occupazionale Φ = = = 1

n 292

57.63 -57.63

Non lavora -57.63 57.63

Lavora 1

= =

V 1

1

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 161

Rappresentazioni grafiche di

distribuzioni doppie

Distribuzione doppia di

frequenze Stereogramma

di contingenza

¾Tabella di correlazione

¾Tabella

Distribuzione unitaria Scatter

doppia di 2 caratteri Plot

quantitativi Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 162 3

Analisi dei dati Scatter Plot o Grafico di Dispersione

Distribuzione unitaria doppia di 2 caratteri

quantitativi

Sull’asse delle ascisse ( ) e su quello delle

X

) sono riportati rispettivamente i

ordinate ( Y

valori numerici delle modalità assunti dalle

due variabili rilevate su ogni u.s.

L’insieme di punti così ottenuto si chiama

nuvola di punti e consente di studiare la

dispersione delle u.s. e la loro somiglianza

La forma della nuvola può suggerire una

relazione funzionale tra i due caratteri

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 163

Esempio

Distribuzione Unitaria

Doppia

Num. Corsi Num. Ore Scatter Plot

Unità Freq. Univ.

Statistica X Y

1 A 3 6 35

2 A 3 4 Università

3 A 5 28 30

4 A 3 18 25

5 A 4 8

6 A 4 24 20

7 A 6 18 Ore

8 A 5 30 15

9 A 5 30 Numero 10

10 A 4 18

11 A 4 18 5

12 A 5 26

13 A 5 30 0

14 A 2 10 0 1 2 3 4 5 6 7

15 A 2 10

16 A 2 6 U.S.

Numero Corsi Frequentati

17 A 2 12

18 A 4 24

19 A 4 24

20 A 4 24 Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 164 4

Analisi dei dati Esempio Scatter plot

80

70

Studio 60

50

Ore U.S.

40

Numero 30

20

10

0 0 2 4 6 8

Numero Corsi Frequentati

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 165

Interdipendenza tra due

caratteri quantitativi

Distribuzione unitaria di 2 caratteri quantitativi

e

X Y

Analisi dell’associazione attraverso indici

simmetrici che valutano la presenza di

Concordanza: u.s. con valori piccoli (grandi)

¾ di un carattere presentano più

frequentemente valori piccoli (grandi)

dell’altro carattere

Discordanza: u.s. con valori piccoli (grandi)

¾ di un carattere possiedono più

frequentemente valori grandi (piccoli)

dell’altro carattere

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 166 5

Analisi dei dati …continua

Per rilevare interdipendenza Relazione diretta (concordanza)

tra e si può usare lo

X Y 40

35

scatter-plot 30

Y 25

Variabile

Secondo la forma della nuvola 20

15

dei punti si ha 10

5

0

nuvola

¾Concordanza: 0 2 4 6 8 10 12 14

Variabile X

allungata verso alto a

destra Relazione inversa (discordanza)

nuvola

¾Discordanza: 10

allungata verso alto a 5

sinistra Y 0

Variabile 0 2 4 6 8 10 12 14

-5

di

¾Assenza -10

interdipendenza lineare: -15

-20

nuvola pressoché circolare Variabile X

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 167

Scatter plot: esempio

Scatter Plot

25,0

PIL TD DISOCCUPAZIONE 20,0

Regione X Y 15,0

PIE 24,778 7,0

LOM 27,063 4,1 10,0

EMR 25,588 5,0 TASSO 5,0

LAZ 23,107 11,4 0,0

CAM 14,219 21,5 0 5 10 15 20 25 30

PUG 15,168 16,1 Regioni

PIL in migliaia di Euro

Scatter plot con scarti

(x -M ) (y -M )

Regione 12,0

X Y

j j DISOCCUPAZIONE 10,0

PIE 3,124 -3,9 8,0

6,0

LOM 5,409 -6,8 4,0

EMR 3,934 -5,9 2,0

LAZ 1,453 0,6 0,0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-2,0

CAM -7,435 10,7 TASSO -4,0

PUG -6,486 5,3 -6,0

-8,0

PIL in migliaia di Euro Regioni

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 168 6

Analisi dei dati Una Misura di interdipendenza:

la covarianza

Media del prodotto degli scarti delle due variabili dalle

rispettive medie ( )( )

N

∑ − −

x M y M

j x j y

=

j 1

σ

= =

( , )

Cov X Y XY N

Proprietà

assumere sia valori positivi che negativi

¾Può ⇒ in media gli scarti delle due variabili dalle

¾Positiva

rispettive medie sono concordi ⇒ e sono concordi

X Y

(relazione diretta)

⇒ in media gli scarti delle due variabili dalle

¾Negativa

rispettive medie sono discordi ⇒ i caratteri e sono discordi

X Y

(relazione inversa)

e sono statisticamente indipendenti ⇒ σ =0

¾Se X Y XY

σ ⇒ e sono incorrelati ma non si può affermare che

=0

¾Se X Y

XY

sono statisticamente indipendenti

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 169

Esempio: calcolo della covarianza

PIL TD 2 2

(x -M ) (y -M ) (x -M ) (y -M ) (x -M )(y -M )

Regione j X j Y j X j Y j X j Y

X Y 3,124 -3,9 9,76 14,82 -12,028

PIE 24,778 7,0 5,409 -6,8 29,26 45,56 -36,512

LOM 27,063 4,1 3,934 -5,9 15,48 34,22 -23,015

EMR 25,588 5,0 1,453 0,6 2,11 0,30 0,799

LAZ 23,107 11,4 -7,434 10,7 55,26 113,42 -79,181

CAM 14,219 21,5 -6,485 5,3 42,06 27,56 -34,051

PUG 15,168 16,1 153,92 235,90 -183,987

153

,

92

= =

VAR ( X ) 25

, 65 N

129

,

923 ( )( )

6 ∑

= = − −

Media 21,65 x M y M

X j x j y

6 = =

X

sqm( ) 25

, 65 5

, 065 =

1

j

=

( , )

Cov X Y

65

,

1 N

,

235 90

= =

Media 10,85 = =

VAR Y ,

( ) 39 32

Y 6 - 183,987

6 = =

( , )

Cov X Y -30,6645

6

= =

Y

sqm( ) 39,32 6,27

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 170 7

Analisi dei dati Perfetta dipendenza con =0 : esempio

σ

XY

σ

DOMANDA: Se =0 possiamo dire che e sono

X Y

XY

statisticamente indipendenti?

RISPOSTA: NO!

(x -M ) (y -M ) (x -M )(y -M )

X Y 16

j X j Y j X j Y 14

u1 1 14 1 14 14 12

u2 2 7 2 7 14 10

u3 3 2 3 2 6 Y 8

u4 4 -1 4 -1 -4 Variabile 6

u5 5 -2 5 -2 -10 4

u6 6 -1 6 -1 -6 2

u7 7 2 7 2 14 0

u8 8 7 8 7 56 0 2 4 6 8 10

-2

u9 9 14 9 14 126 -4

N N Variabile X

∑ ∑

x y

j j

45 42

= =

1

j 1

j

= = = = = =

5

M 4 , 67

M

X Y

N 9 N 9 2

= − +

Y X 10 X 23

( )( )

N

∑ − −

x M y M

j x j y Relazione di dipendenza non

0

=

1

j

= = =

( , ) 0

Cov X Y lineare

N 9

Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 171

Coefficiente di correlazione lineare

di Bravais-Pearson

Assume valori tra –1 e +1

Se i due caratteri sono

σ

( , )

Cov X Y statisticamente indipendenti

XY

= =

r σ σ allora σ e r=0

=0

( ) ( )

Var X Var Y X Y XY

Se r=0 non è detto che e

X

siano statisticamente

Y

indipendenti

r>0 ⇒ σ ⇒ e sono

>0 X Y

− ≤ ≤ +

1 1

r XY

correlati positivamente

(concordi)

È un numero puro (non ha unità di misura) r<0 ⇒ σ ⇒ e sono

<0 X Y

XY

correlati negativamente

σ

= ⇔ =

r 0 0 (covarianz

a nulla) (discordi)

XY Analisi dei Dati - a.a.2004/2005 172 8


PAGINE

41

PESO

1.28 MB

AUTORE

flaviael

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze e tecnologie della comunicazione (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi dei dati e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Baragona Roberto.

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