Analisi (Calcolo II)

Calcolo II

Fabiola

2

Indice

1 Equazioni dierenziali 5

1.1 Equazioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Teorema di esistenza e unicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Unicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Prolungamento delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Teorema di escursione dai compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Sistemi dierenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Sistemi dierenziali lineari omogenei a coecienti costanti . . . . . . . . 19

1.6 Equazioni dierenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 Equazioni dierenziali lineari di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.2 Equazioni lineari omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.3 L'algebra degli operatori a coecienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.4 Equazioni lineari non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Sistemi autonomi. Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7.1 Generalità sui sistemi autonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8 Sistemi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8.1 Il concetto di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8.2 Stabilità dell'origine per sistemi lineari autonomi: il caso bidimensionale. 38

1.9 Il metodo di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.10 Il metodo della linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11 Flusso; insiemi -limite e -limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ω α

2 Integrazione multipla 49

2.1 Integrale multiplo secondo Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Integrazione secondo Lebesgue 53

3.1 Funzioni semicontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 Il teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.2 Approssimazione delle funzioni semicontinue . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.3 Teorema del Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Integrazione di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 Teoremi di passaggio al limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 La misura degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Insiemi di misura nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3

4 INDICE

4 Serie di Fourier 69

4.1 Funzioni periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.1 Convergenza della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2 Funzioni di periodo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.3 Serie di Fourier complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 La trasformata di Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1 Proprietà algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.2 Proprietà dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3 Proprietà di derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A Il criterio di Bendixson 81

Capitolo 1

Equazioni dierenziali

equazione dierenziale

Si chiama (di ordine ) un'equazione del tipo

n

0 n

F (t, u, u , ..., u ) = 0

che lega tra loro la variabile indipendente , la funzione incognita e le sue derivate no

t u

all'ordine .

n

Si dice che la funzione è soluzione dell'equazione data nell'intervallo se essa è

u(t) (a, b)

continua in esso assieme alle sue derivate no all'ordine e per risulta

∀t ∈

n (a, b)

=0

0 n

F (t, u(t), u (t), ..., u (t)

Ogni sistema è equivalente ad un sistema del primo ordine, così che in linea generale ci si

può limitare a questi ultimi.

Inoltre, sotto opportune ipotesi di regolarità per la funzione , si può sempre risolvere il

f

problema di Cauchy 0

u = f (t, u)

u(t ) = u

0 0

in un intorno del punto . Quando però da questo teorema generale si vuole passare alla

t

0

soluzione esplicita di una data equazione dierenziale, ci si accorge che questo è possibile solo

in un numero limitato di casi.

1.1 Equazioni del primo ordine

Equazioni lineari Si dice lineare un'equazione della forma

0

u + a(t)u = b(t)

con funzioni assegnate della variabile . La soluzione generale di questa equazione è

a(t), b(t) t

−A(t) A(t)

R

u(t) = e ( b(t)e dt + c)

Dove una primitiva di e costante arbitraria.

A(t) a(t) c 5

6 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Equazioni a variabili separabili Si dicono a variabili separabili le equazioni dierenziali

del tipo 0

u = f (u)g(t)

Osserviamo che se è uno zero della funzione , la funzione costante è soluzione. Se

α f u = α u

non è costante, allora per l'unicità della soluzione non può mai assumere il valore , e dunque

u α

si ha sempre . Dividendo per e integrando si ottiene una soluzione nella forma

6

f (u) = 0 f (u)

implicita Φ(u) = G(t) + λ

dove sono primitive di e è una costante arbitraria. Se la è invertibile,

Φ(u), G(t) 1/f (u), g(t) λ Φ

si può ottenere esplicitamente la u −1

u = Φ (G(t) + λ)

Equazioni omogenee Si dicono omogenee le equazioni della forma

y

0 )

y = f ( x

Esse si risolvono ponendo , con nuova funzione incognita; risulta e dunque

0 0

y = ux u y = xu + u

f (u)−u

0

u = x

Quest'ultima è a variabili separabili.

Equazioni f-lineari Sono della forma

0

x (t) = f (αt + βx(t) + γ)

con . Si risolvono con la sostituzione

∈ 6

α, β, γ R, β = 0 0 0

y(t) = αt + βx(t) + γ y (t) = α + β x (t) = α + βf (y(t))

Equazioni di Manfredi Sono equazioni della forma

at+bx(t)+c

0

x (t) = f ( )

αt+βx(t)+γ

Prendiamo il determinante della matrice dei coecienti ;

a, b, α, β

Quindi l'equazione diventa

• ⇒

det = 0 (a, b) = λ(α, β) λαt+λβx+c c−γ

0 −

x (t) = f ( ) = f (λ + c )

αt+βx+γ αt+βx+γ

cioè una forma f-lineare.

• 6 ⇒ ∃(t

det = 0 , x ) :

0 0 at + bx + c = 0

αt + βx + γ = 0

Quindi Sostituendo otteniamo

a(t−t )+b(x−x )

0 −

0 0

x = f ( ) y(t) = x(t + t ) x

0 0

α(t−t )+β(x−x )

0 0 at+by(t)

0 0 −

y (t) = x (t t ) = f ( )

0 αt+βy(t)

che è un'equazione omogenea, che si riporta a variabili separabili con .

y(t) = zx 7

1.2. TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ

Equazioni di Riccati Siano continue, tali che

→

f, g, h : I R

0 2

y = f (x)y + g(x)y + h(x)

In generale non possiamo risolverle, ma se troviamo una soluzione allora possiamo trovarle

tutte. La forma "originale" è 0 2 α

y = y + bx

e risulta risolvibile se

• −2

α = con

−4k ≥

• k 1

α = 2k±1

1.2 Teorema di esistenza e unicità

Denizione Una funzione si dice lipschitziana in rispetto a , uniformemente in

f = f (x, t) D y

, se (detta costante di Lipschitz) tale che

∃L

t (1.1)

k|f − ≤ − ∀(t, ∈

(t, y) f (t, z)|| L||y z||, y), (t, z) D.

Equazione di Bernoulli Si chiama in questo modo un'equazione dierenziale del ptimo

ordine della forma 0 α

y + a(x)y = b(x)y

dove si può supporre diverso da 0 e 1 dato che altrimenti abbiamo a che fare con una semplice

α

equazione lineare. Un metodo per risolvere l'equazione di Bernoulli consiste nel compiere la

sostituzione 1/(1−α)

y = z

Da cui 0

0 1 α/(1−α)

z z

y = (1−α)

Denizione Una funzione è localmente lipschitziana rispetto a , uniformemente

f = f (t, y) y

in , se ogni punto di ha un intorno in cui vale .

t D (1.1)

Proposizione Se e tutte le derivate sono continue in , allora è localmente

∂f

f D f

i

∂dy j

lipschitziana rispetto a , uniformemente in .

y t

Teorema Sia ; se

n n+1

→ ⊂

f : D R , D R

è continua in

• f D

è localmente lipschitziana in rispetto a , uniformemente in

• f D y t

8 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

allora di in cui è denita una soluzione del

∀(τ, ∈ ∃I −

ξ) D, τ, I = [τ r , τ + r ] φ

r0 ro 0 0

problema di Cauchy 0

φ = f (t, φ)

(1.2)

φ(τ ) = ξ

Tale soluzione è unica nel senso che ogni altra soluzione coincide con nell'intervallo comune

φ

di denizione.

Seguiremo questa strategia:

1. Uso del lemma ;

1.3

2. Interpretazione dell'equazione integrale come problema di punto sso per un particolare

operatore in uno spazio metrico opportunamente denito;

3. Uso del teorema di contrazione di Banach-Caccioppoli.

1.2.1 Esistenza

Lemma 1.3 Siamo nelle ipotesi del teorema. Se è soluzione del problema di

1

∈

φ C (I )

r0 equazione di Volterra

Cauchy , allora soddisfa la seguente equazione integrale, detta

(1.2) φ t

Z (1.3)

∀t ∈

y(t) = ξ + f (s, φ(s))ds, I

r0

τ

e viceversa, se è soluzione di (1.3), allora ed è soluzione del problema

1

∈ ∈

φ C(I ) φ C (I )

r0 r0

di Cauchy (1.2). ⇐⇒

(P V )

t,x t,x

Dim. lemma Prendo e la integro tra e , con .

∈

φ̇(t) = f (t, φ(t)) τ t t I

r0 1

t t t

0 −

R R R

φ (s)ds = [f (s, φ(s)]ds φ(t) φ(τ ) = [f (s, φ(s)]ds

τ τ τ

t

Z (1.4)

2

φ(t) = ξ + [f (s, φ(s)]ds

τ

Questa è la (1.3) per . Viceversa, sia soluzione di (1.4).

⇒ ∈

φ (P V ) φ C(I )

t,x t,x r0

t

R

φ(t) = ξ + [f (s, φ(s)]ds

τ

Poichè per il teorema fondamentale del calcolo integrale il membro a destra è di classe ,

1

C (I )

r0

lo è anche . Derivo allora la (1.4)

φ 0 ∀t ∈

φ (t) = f (s, φ(s)), I

r0

Sostituisco questo risultato nella (1.4)

t t −

R R

φ(t) = ξ + [f (s, φ(s)]ds = ξ ++ φ̇(s)ds = ξ + φ(t) φ(t)

τ τ

Da cui φ(τ ) = ξ

1 Uso il teorema fondamentale del calcolo integrale

2 Uso la condizione iniziale φ(τ ) = ξ 9

1.2. TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ

Quinti è soluzione di (1.2). ⇒

φ (V P )

t,x t,x

Dim.teorema In base al lemma, basta dimostrare che, scelto opportunamente , (1.3) ha

r

0

una sola soluzione in , con : interpretiamo questa equazione (1.3) come

−

I I = [τ r , τ + r ]

r0 r0 0 0

punto sso, introducendo l'operatore t ∈

R

F [y](t) := ξ + f [s, y(s)]ds, t I

r0

τ

Quindi risolvere la (1.3) equivale a trovare tale che , ovvero un punto sso

∈

φ C(I ) F [φ] = φ

r0

per . Siano allora tali che l'intorno cilindrico (rettangolo se ) denito come

∈

F r , r R n = 1

0 + . con

n+1

∈ |t − | ≤ ||y − ≤ ⊂ −

Γ := (t, y) R : τ r , x|| r D (Q (t, x) := [t r, t + r]xB (x)

0 r r

n

∈ ||y − ≤

B (x) := y R : x|| r)

r

Deniamo inoltre lo spazio metrico delle funzioni continue in il cui graco sia contenuto

Y I

r0

in , cioè

Γ ∈ ||y − ≤ ∀t ∈

Y := φ C(I ) : x|| r, I

r0 r0

Deniamo ora ||f

M := max (t, y)||;

0

si ha

∀t ∈ I

r0 t t

||F − ||ξ − ≤ | ||f ≤ |t − |

R R

[φ] ξ|| = + f [s, φ(s)]ds ξ|| [s, φ(s)]||ds| M τ

0

τ τ

L'ultima maggiorazione è giusticata dal fatto che e dalla denizione di .

||f ∈

[s, φ(s)] Γ M

0

Poichè poi per denizione di , posso inne maggiorare con

|t − | ≤

Γ, τ r

0

|t − | ≤

M τ M r

0 0 0

m ritrovo la denizione dello spazio ; quindi

Quindi segue che, se , cioè r

≤ ≤ Y

M r r r

0 0 0 M 0

. In questo modo abbiamo dimostrato che l'equazione è ben denita.

∈ ∀t ∈

F [φ] Y, I

r0

Prendiamo ora una coppia . Indicando con la costante di Lipschitz di relativa

∈

(φ, ψ) Y L f

al compatto vale

∀t ∈

Γ, I

r0 t t

||F − || − ≤ | ||[f −

R R

[φ](t) F [ψ(t)]|| = [f (s, φ(s)) f (s, ψ(s))]ds|| (s, φ(s)) f (s, ψ(s))]||ds|

τ τ

Posso quindi applicare la denizione di funzione lipschitziana (localmente) perchè lo è per

f

ipotesi del teorema, e così maggiorare con

t

≤ ||φ(s) − ≤ − |d(φ, ≤

R

L| ψ(s)||ds| L|t τ ψ) Lr d(φ, ψ)

0

τ

10 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

si ottiene che è una contrazione costante .

Scegliendo 3

1 ≤

≤ F Lr 1

r 0

0 L

In conclusione, se , esiste un unico punto sso per in . Questa di-

r 1

r < min(r, , ) F Y

0 M L esiste

0

mostrazione fornisce un'importante informazione sulla soluzione: essa almeno in I =

r0

con 1

r

− , ).

[τ r , τ + r ] r < min(r,

0 0 0 M L

0

Proposizione 1.4 Nelle ipotesi del teorema, la seguente successione denita per ricorrenza

converge uniformemente in alla soluzione del problema di Cauchy [1.16]

I

r0 φ (t) = ξ

(1.5)

0

t ≥

R

φ = F [φ ] = ξ + f (s, φ (s))ds n 0

n+1 n n

τ

Dim.proposizione Deniamo per ricorrenza la successione

x (t) = ξ

0

t ≤ ≤

R

x = x + F (s, x (s))ds 0 r r

n+1 0 n 0

t

0

Resta denito , con . In un tempo valutiamo la

1

r ≥ ∈ ≥

r := min(r, , ) n 1, t I , t τ t

r0

0 M L

0

distanza tra due elementi della successione

t t

||x || ≤| ||[F

R R

(t)−x (t)|| = [F (s, x (s))−F (s, x (s))]ds|| (s, x (s))−F (s, x (s))]||ds|

n+1 n n n−1 n n−1

τ τ

, quindi sappiamo maggiorare lo jacobiano.

Deniamo ∂F (t,x) ||

M := max||

1 ∂dx

Allora maggioro l'ultimo integrale con t ||x −

R

M (s) x (s)||ds

1 n n−1

τ

Per si ha

n = 1 t

||x − ≤ ||x −

R

(t) x (t)|| M (s) x (s)||ds

2 1 1 1 0

τ

Per quanto dimostrato sopra, vale

∀t ∈ [τ, τ + r ]

0

t t

||x − || ≤ ||F ≤ |t − | ≤

R R

(t) ξ|| = F (s, x (s))ds|| (s, x (s))ds|| M τ r M

0 0 0 0

1 0

τ τ

Posso maggiorare la distanza con

||x −

(t) x (t)||

1 0

t

≤ ||x − ≤ |t − |

R

M (s) x (s)||ds M M r τ

1 1 0 1 0 0

τ

Al passo successivo sarà 2

(t−τ )

t 2

||x − ≤ |t − |ds

R

(t) x (t)|| M M r τ = M M r

3 2 1 0 0 0 0

1

τ 2

Questo suggerisce di poter trovare per induzione , con

n

(t−τ )

n

||x − ≤ ∀n, ∈ ≥

(t) x (t)|| M M r , t I n 1

n+1 n 0 0 r0

1 n!

3 Una contrazione o applicazione di contrazione è una funzione da uno spazio metrico in se stesso tale che la

distanza tra l'immagine di due elementi qualsiasi del dominio sia inferiore alla distanza delle relative controim-

magini.

Sia uno spazio metrico, si denisce contrazione una funzione tale che esiste una costante

→

(X, d) f : X X

che soddis la seguente condizione

k, 0 < k < 1 .

≤ ∀(x, ∈

d(f (x), f (y)) kd(x, y), y) X

Il più piccolo valore di per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz.

k 11

1.2. TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ

Prendendone l'estremo superiore, segue che n

n r

(t−τ )

n n

||x − ≤ ≤

(t) x (t)|| M M r M M r 0

n+1 n 0 0 0 0

1 1

n! n!

La serie al secondo membro converge, quindi anche la serie delle norme

∞ ||x −

P (t) x (t)||

n+1 n I

n=0 r0

converge. Di conseguenza la serie di funzioni

∞ −

P (x x )

n+1 n

n=0

converge totalmente, e quindi uniformemete, in . Poichè si tratta di una serie telescopica, la

I

r0

sua somma parziale è ∞ − −

P (x x ) = x ξ

n+1 n n+1

n=0

Quindi la successione converge uniformemente ad una funzione in . Poichè le

x (t) x(t) I x (t)

n r0 n

sono continue, lo è anche , e poichè tutte le sono comprese tra e , anche

−

x(t) x (t) ξ r ξ + r

n

sarà in questo intervallo.