Analisi (Calcolo II)

R R R

n

R P

f := α m(I )

i i

n i=1

R

dove è una qualsiasi rappresentazione di .

ni=1

P

f = α χ f

i I i

Ma cosa stiamo misurando se l'integrale dipende dalla rappresentazione di ? Cambiando

f

rappresentazione cambia il valore dell'integrale?

Osseravzione 4 NON dipende dalla rappresentazione: prendiamo due funzioni e

R f

n

R

dimostriamo la validità di questa aermazione. Siano

n m

P P

f (x) = α χ (x) = β χ (x)

i I i J

i=1 k=1

i k

Non è restrittivo supporre . Abbiamo quindi che

6

α , β = 0

i k 5

˙ ∪

S

I = (I J )

i i k

1≤k≤m . Prendiamo quindi

Abbiamo poi che n

m ∩ ∩

P

P m(I J ), m(J ) = m(I J )

m(I ) = i k

i i k k 1

1 n

R P

f = α m(I ) =

i i

n

R

n m ∩

P P α m(I J ) =

i i k

i=1 k=1

m n ∩

P P α m(I J )

i i k

k=1 i=1 . 6

m n

⇒ ∩

P P

β m(I J ) = m(J )

k i k k

k=1 i=1

Proposizione 2 Siano , allora

n

∈ S(R ∈

f, g ), λµ R

1. 7

R R R

(λf + µg) = λ +µ g

n n n

R R R

4 indica il massimo.

∨

5 L'inclusione è ovvia, infatti i singoli mentre per l'altra, preso

⊃ ∪ ⊂ ∈ 6 ⇒ ∃J

(I J ) I x I , f (x) = α = 0 :

i k i i i k

per denizione.

∈

x J k

6 Questo è vero perchè se deve necessariamente essere perchè preso

∩ 6 ∈ ∩

m(I J ) = 0, α = β x m(I J )

i k i k i k

la funzione caratteristica vale 1 e allora per denizione.

f (x) = β = α

k i

7 è un funzionale su .

R S

f 51

2.1. INTEGRALE MULTIPLO SECONDO RIEMANN

2. se 8

≥ ⇒ ≥

R R

f g f g

n n

R R

Teorema di riduzione Sia allora

2

∈ S(R

f )

1. ∀x ∈ R

8 Monotonia dell'integrale. Ha come conseguenza che il modulo dell'integrale è dell'integrale del modulo.

≤

52 CAPITOLO 2. INTEGRAZIONE MULTIPLA

Capitolo 3

Integrazione secondo Lebesgue

3.1 Funzioni semicontinue

Non sempre il limite di una funzione esiste: i queste situazioni sono di solito di aiuto il limite

destro e sinistro, che però, come il limite, non sempre esistono. e' possibile allora introdurre

in questi casi il concetto di (e l'analogo ) che possiede da una

massimo limite minimo limite

parte le proprietà del limite, dall'altra ricorda l'estremo superiore: come questo, infatti, esiste

sempre. Il massimo limite non è altro che una localizzazione dell'estremo superiore, il quale

però è per sua natura un concetto globale, cioè ha a che fare con i valori della funzione in

f

tutto l'insieme di denizione, mentre il massimo limite dipende solo dai valori della funzione in

Denizione

un intorno di un punto . Sia una funzione reale denita in un insieme A

x f (x)

0

e sia un punto di accumulazione di A; diremo che un numero reale è maggiorante locale

x M

0

per se esiste un intorno di tale che diverso da .

→ ≤ ∀x ∈ ∩

x x I x f (x) M, A I, x x

0 0 0

Se la funzione non ha maggioranti locali, diremo che il suo massimo limite è , altrimenti

+∞

massimo limite

chiameremo della funzione per l'estremo inferiore dei maggioranti

→

f x x 0

locali, e lo indichiamo con 1

lim sup f (x)

x→x 0

Analogamente un numero reale m si dice minorante locale se esiste un intorno di tale

J x 0

che per ogni . Se la funzione non ha minoranti locali si dice che il suo

≥ ∈ ∩ −

f (x) M x A J (x )

0 minimo limite

minimo limite è , altrimenti si chiama della funzione l'estremo superiore

−∞

dei minoranti locali e si indica con 2

lim inf f (x)

x→x 0

1. Il valore della funzione in non ha alcun eggetto sul valore del massimo e minimo limite;

x 0

2. poichè se ed sono un minorante e un maggiorante locale risulta si ha

≤

m M m M

1 Sia di accumulazione per A; prendiamo il e ne prendo il limite per : questo è

→

x sup f (x) δ 0

0 ∩A−(x

x∈B )

0

δ

il massimo limite. Restringendo il sup diminuisce perchè funzione monotona di : farne il limite come trovarne

δ δ

l'estremo inferiore per .

δ > 0

2 Analogamente a quanto detto sopra, il minimo limite è funzione decrescente di . Esistono sempre entrambi

δ

e se coincidono esiste il limite (in generale non è necessario che lo facciano).

53

54 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE

;

≤

lim inf lim sup

x→x x→x

0 0

3. se vale Se

a > 0 lim sup[af (x)] = a lim sup f (x); a < 0 lim sup[af (x)] = a lim inf f (x)

4. se in un intorno di allora

≤

f (x) g(x) x 0

infatti ogni maggiorante locale della lo è anche della e

≤

lim sup f (x) lim sup g(x) g f

ogni minorante locale della lo è anche della .

f g

Anche il concetto di funzione continua si biforca in due.

Denizione semicontinua

Sia e sia ; diremo che la funzione è

→ ∈

f : A R x A f

0

superiormente (SCS) in se

x 0 ≥

f (x ) lim sup f (x)

0 x→x 0

semicontinua inferiormente (SCI)

e analogamente si dirà se

.

≤

f (x ) lim inf f (x)

0 x→x 0

Una funzione è continua in un punto se e solo se in quel punto è SCS e SCI.

f (x)

La funzione caratteristica di un insieme è SCI, quella di un insieme chiuso è .

aperto SCS

Valgono proprietà simili a quelle del e

lim sup lim inf .

1. Se è SCS, è SCS se e SCI se ;

f af a > 0 a < 0

2. se e sono SCS, allora è SCS;

f g f + g

3. se e sono SCS in un punto, anche il massimo tra e e il minimo tra le due sono

F g f g

SCS in quel punto.

Teorema Una funzione è SCS in se e solo se per ogni successione a

→ ∈

f : A R x A x

0 n

valori in e convergente a si ha

−

A (x ) x

0 0 ≥

f (x) lim sup f (x )

n

n→+∞

Analogamente è SCI se e solo se per ogni successione a valori in si ha

−

A (x )

0

≤

f (x) lim inf f (x )

n→+∞ n

Teorema (proprietà di reticolo) Se è una famiglia di funzioni SCI in un punto,

∈

f , t T

t

allora F (x) = sup f (x)

t

t∈T

inviluppo

denito è SCI in quel punto.

Dimostrazione Si ha e quindi

≤

f (x) F (X)∀t

t .

≤ ≤

f (x ) lim inf f (x) lim inf F (x)

t 0 x→x t x→x

0 0

Poichè vale per ogni , prendendo l'estremo superiore rispetto a vale

t t

≤

F (x ) lim inf F (x)

0 x→x 0

che è la denizione di funzione SCI.

Allo stesso modo si mostra che l'estremo inferiore di una famiglia di funzioni SCS è SCS.

55

3.1. FUNZIONI SEMICONTINUE

3.1.1 Il teorema di Weierstrass

Teorema Una funzione SCS in un insieme compatto K ha massimo; una SCI in un compatto

K ha minimo.

Dimostrazione Sia SCI in K, vogliamo dimostrare che ha minimo, ossia esiste un

f f

punto . Sia una successione in tal che tende

∈ ≤ ∈

x K : f (x ) f (x)∀x K x K f (x )

0 0 n n

all'estremo inferiore della in K. Poichè K è compatto possiamo estrarre una sottosuccessione

3

f

convergente a un punto , che, essendo estratta dalla ha come limite .

∈

x x K f (x ) inf f (K)

k 0 n

n

Per la semicontinuità di f ≤ ≤

f (x ) lim inf f (x ) = inf f (K) f (x )

0 n→+∞ k 0

n

da cui si ha e dunque è punto di minimo.

f (x ) = inf f (K) x

0 0

3.1.2 Approssimazione delle funzioni semicontinue

Teorema Sia SCI allora esiste una successione crescente di funzioni continue tale

f (x) f (x)

n

che .

f (x) = lim f (x) = sup f (x)

n→inf ty n n∈N n

Dimostrazione Per prima cosa dimostriamo il teorema per : faremo vedere che la

≥

f 0

successione −

f (x) = inf [f (y) + n|x y|]

n y∈R

ha le proprietà richieste.

Posto risulta e in particolare

≤ ≤

Φ (y, x) = f (y)+n|x−y| f (x) Φ(y, x)∀y f (x) Φ(x, x) =

n n n

. Faremo la dimostrazione in 3 passi, dimostrando cioè la monotonìa, la continuità e la

f (x)

convergenza.

Monotonia

La successione è crescente, infatti risulta e preso il sup si trova

≤

f Φ (y, x) Φ (y, x)∀y

n n n+1

.

≤

f (x) f (x)

n n+1

Continuità

Prendiamo due punti : vogliamo limitare l'oscillazione ;

|f − ≥ ∈

x , x (x ) f (x )|, n x , x R

0 1 n 1 n 0 1 0

partiamo senza il modulo. Essendo SCI, ∃y ∈ |

R : f (y ) + n|x + y < inf[f (y) + n|x + y|] + =

0 0

⇒ ≤ −y |−f −y |+ ≤ −x −y |+

f (y)+ f (x )−f (x ) f (y )+n|x (y )−n|x n|x +y =

n n 1 n 0 1 0 1 0

.

− |

n|x x +

1 0

quindi non c'è più la dipendenza da e preso otteniamo una funzione lipschitziana

y = 0

con , e dunque continua.

L = n

3 Esiste per denizione di estremo inferiore, infatti non è un minorante di e dunque per

inf f (K) + 1/n f (K)

ogni esiste un punto . La successione tende a .

≤

n x : f (x ) inf f (K) + 1/n f (x ) inf f (K)

n n n

56 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE

Convergenza

Tenendo conto della denizione di estremo inferiore, per ogni esiste un punto che lo

∈

n N y

n

approssimi a meno di , ovvero

1/n .

− − ≤ ≤

f (y ) + n|y x| 1/n f (x) f (x)

n n n

Allora − ≤

lim inf [f (yn) 1/n] < lim inf f (x) f (x)

n→∞ n n

Ma a sua volta 4

− ≥ ≥

lim inf [f (yn) 1/n] lim inf f (y) f (y) = f (x)

n→∞ y→x

⇒ ≤ ≤

f (x) lim inf f (x) f (x)

n

e dunque .

f (x) = lim f (x)

n→∞ n

Per eliminare ora 'ipotesi di positività della basta dimostrare che esiste una funzione

f g(x)

continua, : basterà quindi applicare il teorema a ; detta infatti

≤ ≥

g(x) f (x) f (x)−g(x) 0 g (x)

n

una successione crescente di funzioni continue, che tende a ,