Analisi 2 teoria

Teoria Analisi 2° E 3° Parziale

Algebra Lineare

1. Il teorema di Laplace: il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i relativi complementi algebrici.
2. Il rango è definito come il massimo numero di minori non nulli estraibili dalla matrice. La definizione equivalente che lo definisce è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.
3. Teorema di Kronecker. Sia A una matrice avente un minore non nullo M. Si deduce: A ha rango k se e solo se ogni minore di ordine k+1 contenente M è nullo.
4. Matrice inversa. Si definisce inversa di una matrice quadrata A, una matrice indicata con A^-1, tale che A^-1A = A A^-1 = I.
5. A ∈ M_n,n(K) ammette inverso se e solo se det A ≠ 0.
   1. Dimostriamolo. Osserviamo che se ammette inverso allora A A^-1 = I.
   2. a e il teorema di Binet a entrambi i membri: det (A A^-1) = det I = 1 → det A det A^-1 = 1 → det A ≠ 0.
   3. Se det A ≠ 0 allora A ammette inverso. Dimostriamolo.
   4. Supponiamo che det A ≠ 0 e mostriamo che esiste l’ostruzione dell’inverso di A.
   5. Caso speciale: n = 2. A = [^{a b}_{c d}] det A ≠ 0 A^-1= [^{d -b}_{-c a}]/det A
   6. Caso n > 2, consideriamo la matrice A^* che è definita essere la trasposta della matrice che al posto a_ij ha il complemento algebrico C_ij di a_ij

5. Teorema unicità dell'inverso:

L'inverso di una matrice invertibile è unico.

Dim. Esponiamo che esistono A^-1 e B^-1 tali che:

• A · A^-1 = I
• A · B^-1 = I

B^-1 = B^-1 (A · A^-1) = (B^-1 · A) · A^-1 = I · A^-1 = A^-1, — unico B^-1. Q.E.D.

6. Teorema di Cramer:

Dato il sistema lineare A x = B in n equazioni in n incognite, se det A ≠ 0 esiste unica la soluzione del sistema.

Dim. Dato A · x = B per l'invertibilità di A, poiché esiste unica l'inversa di A, la soluzione

• è x = A^-1 B, ovvero (A^-1 · A)^-1 = B, quindi x = 0ⁿ (per l'unicità dell'inversa).

Il teorema di Cramer: l'unica soluzione x = (x ₁ x ₂ ... x _n) si calcola come segue:

dimostriamo che, per i, la matrice ottenuta da A sostituendo in B la i-esima colonna

con B:

X_i = (B₁ B₂ B₃ ... B_i ... C_nⁱ), dove i = colonna:

det(A_i)/det(A)

D_i = (B₁ B₂ ... B_i ... C_iⁱ)

X_i = det(A)/det(A).

x_i = [det(B₁ C₂ C₃ ... C_n) det(C₁ B₂ C₃ ... C_n) ... det(C₁ C₂ C₃ ... B_n)]

23. Teorema di rappresentazione

Siano V e W spazi vettoriali su K e siano B, b', x, y, v₁, ..., v_n, w₁, ..., w_m basi ordinate di V e W rispettivamente. Siano x ∈ K e y le coordinate di v₁, ..., v_n= v rispetto alle basi B e b', e sia f: V → W un'applicazione lineare. Questo e' l'unico che mantiene A ∈ M_m,n tale che x ₁ (v)= (v₁, v₂, ..., v_n) e siano tali che y = Ax

Quindi esprimiamo f_y(x) rispetto alla base b':

f_x(y) = (a₁₁w₁ + a₁₂w₂ + ... + a_1mw_m)

+ (a₂₁w₁ + a₂₂w₂ + ... + a_2mw_m)

f(y) = a_nmw_m

y=f(x)

f_x(y) = b( x₁ v₁, x₂ v₂, ..., x_n v_n) = x_bf_y(x), ..., x_nf_z(x)

Lineare

= x₁(a₁ w₁ + a₂ w₂ + a_m w_m) + x₂(a_n w₂ + a_n w₃ + ... + a_nm w_m) +

x_k(a_m1 w₁ + a_mn w₂ + ... a_mm w_m )

= (a₁ x₁ + a₁ x₂ + a₁ x₁w₁)

= ( a₃₁ x₁ + a_n1 x_n) w₁ +

+ a_mnx_a) w_m

y = A (a_1n, a_m2, a_mn) x₁, x_n)

y = a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + a_m1 x_a

f_y = x + x₁(a₁ A) → µ e' unica fra l'insieme reali elementi

24. Teorema di dimensione piu' prop

Sia f; V → W un'applicazione lineare, se V ha dimensione finita, allora dim firm (v) + dim (ker f₁) ≠ dim (Im f_k)

25. Autovalori e autovettori

Si dice autovalore di una matrice A ∈ M_n,n, una scalare λ ∈ K, tale che esista un vettore (colonna) v ∈ K^N, non nullo

(A - λl) y = y e' detto autovettore associato all'autovalore λ.

L'indice (v) si trova sull'autovettoriali relativi all'autovalore λ, e' detto autospazio

associato a λ. λ ∈ K e' autovalore di A se e solo se λ e' radice dell'equazione

analogamente possiamo dire che la funzione è derivabile parzialmente rispetto alla variabile y nel punto (x₀, y₀) ∈ A se esiste finito il limite:

(∂f/∂y) (x₀, y₀) = lim_h→0 [f_y(x₀, y₀+h) - f_y(x₀, y₀)] / h = f_y(x₀, y₀)

4) Gradiente. Consideriamo una funzione f(x, y, z) definita su un insieme aperto A ⊆ R³. Si dirà (x₀, y₀, z₀) ∈ A se esistono in (x₀, y₀, z₀) sia il derivato parziale rispetto ad x e rispetto ad y. F_x(x₀, y₀, z₀) e F_y(x₀, y₀, z₀). Dunque è possibile costruire un vettore che ha per componenti le derivate parziali:

∇f(x₀, y₀, z₀) = (f_x(x₀, y₀, z₀), f_y(x₀, y₀, z₀))

Vettore prende il nome di gradiente della funzione f valutato in (x₀, y₀, z₀) o ∇f(x₀, y₀, z₀)

per funzioni a n variabili f(x, y, z) il gradiente in (x₀, y₀, z₀) sarà:

∇f(x₀, y₀, z₀) = (f_x(x₀, y₀, z₀), f_y(x₀, y₀, z₀), f_z(x₀, y₀, z₀))

15) Derivabilità non implica continuità: sia f definita in un intorno di x₀. Si dice che f è derivabile in x se esistono tutte le derivate parziali ∂f/∂x, i = 1, ..., n e si dice che f è derivabile in D se lo è in ogni punto x₀∈D.

se ∇ f è derivabile in x₀ ma non implica f continua in x₀. Considerando: f(x, y), {√1-x²-y² se x²+y²>0, e x,y ∈ R 0 se x=0 oppure y=0 f è derivabile in (0,0) lim_h→0 [f(0, h) - f(0,0)] / h = lim_h→0 3·(-3) / h = 0 = ∂f/∂y (0,0)

lim_h→0 [f(0, h) - f(0,0)] / h = lim_h→0 3·(-3) / h = 0 = ∂f/∂x (0,0)

lim_{(x, y)→(0,0)} √1-x²-y² = 1

f_x asse x = 3, f_y asse y = 3 ↔ il limite non esiste