Analisi 2 teoria

Teoria analisi I - 4° parziale algebra lineare

Teorema di Laplace

Il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una sua riga/i osserviti complementari algebrici.

Rango

Si definisce come l’ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice. Si può verificare che il rango è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

Teorema di Kronecker

Sia A una matrice avente un minore non nullo M di ordine n. A ha rango n se e solo se tutti i minori di ordine n+1 contenenti M sono nulli.

Matrice inversa

Si definisce inverso di una matrice quadrata A, una matrice indicata con A^-1, tale che AA^-1 = A^-1A = I.

1. Una A ∈ M_n,n ammette inverso se e solo se det A ≠ 0.
2. Dimostrazione:
   1. Se A ammette inverso allora il suo det A ≠ 0, dimostriamolo. Supponiamo per assurdo che A sia invertibile e det A = 0. Dato il teorema di Binet e Laplace, si dimostra det (AA^-1) = det I_n = 1 => det A = 0.
   2. Se il det A ≠ 0, allora A ammette inverso, dimostriamolo. Assumiamo che det A ≠ 0 e mostriamo che è così costruito l'inverso di A. Caso speciale: n=1 [a₁₁], det A = a₁₁ ≠ 0, A^-1 = [1/a₁₁].
3. Caso n≥2; Consideriamo la matrice A* che è derivato essendo la trasposta della matrice che al posto h ha il complemento algebrico C_ij di a_ij
   1. (c₁₁ c₁₂ ... c_1n)
   2. (c₂₁ c₂₂ ... c_2n)
   3. ...
   4. (c_n1 c_n2 ... c_nn)

L'inverso di A è A^-1 = (1/det A) * A^*, mostro che è l'inversa di A.
Calcolo di beta = det A^-1: det ((det A) * A^-1 = (det A) * I). Analogamente si mostra che beta = det A * I.

Teoria analisi e 1^ parziale algebra lineare

1. Teorema di Laplace: Il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una linea per i determinanti complementari algebrici.
2. Rango: Si definisce come l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice. Si può verificare che il rango è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.
3. Teorema di Kronecker: Sia A una matrice avente un minore non nullo H. Si assume A ha rango k se e solo se tutti i minori di ordine k+1 contenenti H sono nulli.
4. Matrice inversa: Si definisce inversa di una matrice quadrata A una matrice indicato con A^-1 tale che AA^-1 = A^-1A = I.
   • A_(n,n) ammette inverso se e solo se det A ≠ 0.
   • Se A ammette inverso, allora il suo det ≠ 0. Dimostriamolo: se determiniamo che A è invertibile allora A^-1 esiste, quindi applico il determinante e il teorema di Binet e otteniamo il numeratore det(AA^-1) = det I_n = det A det A^-1 = 1, quindi det A ≠ 0.
   • Se det D ≠ 0 allora D ammette inverso. Dimostriamolo: Assumo che det D ≠ 0 e mostro che esiste D^-1 costruttivamente.
     • Caso speciale n=1: A = [a], det A = a, A^-1 = [1/a], quindi D^-1 = [1/a].
     • Caso n≠1: Consideriamo la matrice A* che è definita essere la trasposta della matrice che al posto hij ha il complemento algebrico C_ij di a_ij.
5. Teorema unicità dell'inverso: l'inverso di una matrice invertibile è unico
   Dim. supponiamo che esistano A^-1 e A^-1' tali che:
   • A * A^-1 = A * A^-1' = I_n
   • A^-1 * A = A^-1' * A = I_n
   A * A^-1 * A^-1' = (A * A^-1) * A^-1' = I_n * A^-1' = A^-1' => dunque A^-1 == (A^-1 * A) * A^-1' = A^-1 * (A * A^-1') = A^-1 * I_n = A^-1 neutro neutro.
6. Teorema di Cramer: dato il sistema lineare A x = b di n equazioni in n incognite, se det A ≠ 0 esiste unica la soluzione del sistema
   Dim. Dato A ≠ 0 per l'incomes || del 5 poiché esiste unico l'inverso di A la soluzione x₀ è tale che x₀ = x₀, ovvero (A * x₀) = b — (A^-1 * A) * x₀) = A^-1 * b x₀ = A^-1 * b (per l'unicità dell'inverso).