Teoria analisi 2

Limiti di funzioni a 2 variabili

• Se i 2 limiti sono diversi allora il limite ﹛
• Per verificare se _{(x,y) → (x0,y0)} P(x,y) = P(x₀,y₀) usiamo il fascio di rette y - y₀ = m(x - x₀) e
• Per verificare se ﹛ ∃ lim basta porre x = x₀ o y = y₀

Continuità di una funzione a 2 variabili

• Bisogna studiare limite P(x,y) = P
• Se k = lim y → f continua nel punto

Studio differenziabilità

Lim _P→P0 ^{PP1-P1P₁-P₀P₁(x-x₀)}+P₁g(y-y₀) / √((x-x₀)-(y-y₀))

• p^fg = 0
• ooce _{x → x0} lim ^{o(x-x₀)-p(x-p₁)} = uguale per P_fg (E)
• se f è diff allora continua
• se f è continua non implica allo E ^diff. But se non cont rodeviene diff

Derivabilità

1. P(x₀,0,0) = lim _{(x,y) → (x0,y0)} f(P_{0n,cgj) - P(x0j) = per}
2. se i 2 limiti finite derivabile

Derivate parziali

• Derivata parziale 1° considerare prima x costante poi considerare y costante
• Derivata parziale 2° = f'(¤)g_x^y instante fa // la derivata della derivata 1° rispetto la x₀y di x

Massimi e minimi relativi

1. F''_P0 = P₀ per vedere che hmax è basta sinoiare P
2. P'^fg₀ = 0 fare le derivate e parziali x' overline - P' ^fg₂
3. Controllare max o minimi basta sissionare x_i g_j p_m
4. Calcoliamo esisiamo H(p¹) * (P_j) = (x_i⁰) (P¹ (P))
5. P¹(x,y) per trovare su max e minimi dimmi di minimio do minimo reisani
6. se > 0 allora (P_j) minimo di minimio, se < = 0 e massimo di max
7. se se minnoo, bisogna sinodiare il comportatento vienino al punto conindito P(x₀), P(x₁), P_(o^y1) P(x,₀, x - n^a)

Integrali Doppi

• dL: misura di T

• ∬dxdy: Area T

• ∭dxdydz: Volume T

Tecniche per il Calcolo Integrali Doppi Rionali

1) Sia Ω=Σ{x,y}∈ℝ²: x∈[a,b], dg≤y≤Bgun dominio normale rispetto l'asse x e avente la base [a,b]

E essendo alle z funzione continue dg e Bg con dg≤Bx con dx≤Bg allora

3) SI RISOLVE DA DESTRA VERSO SINISTRA

2) Sia Ω=Σ{x,y}∈ℝ²: y∈[c,d], ag≤x≤dx un dominio normale rispetto l'asse y e avente la base [e o]

E essendo alle z funzione continue dx e ag con dx≤d e x≤d allora

4) Sia Ω non è normale e si de divide nel dominio

Simetrie

1. Funzione Integranda

• P(x,y) si dice pari rispetto ad x se risulta che va (-x,y)=P(x,y)

• P(x,y) si dice dispari rispetto ad x se risulta che va (-x,y)=-P(x,y)

• P(x,y) si dice pari rispetto ad y se risulta che va (x,-y)=P(x,y)

• P(x,y) si dice pari rispetto ad y se risulta che va (x,-y)=-P(x,y)

1. Dominio

• Sia Ω simmetrico rispetto ad x ⟹∬DP(x,y)dxdy=2∬B