Teoria analisi 2

Limiti di funzioni a 2 variabili

• Se i 2 limiti sono diversi allora il limite ∄
• Per verificare se ∃ _{(x,y)→(x0,y0)}P(x,y) usiamo il fascio di rette y-y₀=m(x-x₀) e
• Per verificare se ∃ basta porre x=αcosθ y=αsenθ

Continuità di una funzione a 2 variabili

• Bisogna studiare limite P(x,y) = P
• Se L=lim λ∊_D con λ∉D nel punto

Studio differenziabilità

P(P(P(P(P(x)-P(a)_(x-x0)(y-y0)y₀/√(x-x₀)²+(y-y₀)²

• -O(
• -O(

Derivabilità

1. P(x₀,0)=∌(1/n³)∌(0,0)
2. Se i 2 limiti sono i derivabili

Derivate parziali

• Derivata parziale 1° considerare prima x come costante poi considerare y costante
• Derivata parziale 2° = ∂P(x,y)/∂y

Massimi e minimi relativi

1. Per vedere come massimo e basta studiare P
2. Fare le derivate 2 parziali P_xxP_xy
3. Calcoliamo eseguendo H(f)

Max, Min Assoluti

• Uguaglianza dica che nel dominio c'è un punto di max o di min assoluto
  1. \( F_x = 0 \)
  2. \( F_y = 0 \)

  Per vedere che è un min basta studiare \( F'' \)

• Controlliamo appartenenza al dominio
• Vedere i punti di frontiera:
  • x = k cost
  • y = k sint
• Per dominio circonferenza
  • \( \begin{cases} x = k \cos t \\ y = k \sin t \end{cases} \)
• Per dominio ellisse
  • \( x = k \cos t \\ y = k \sin t \rightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Metodo Alternativo

1. \( F_x = 0 \) e prendiamo solo dei punti che sono dentro il dominio ed escludo quelli alla frontiera
2. \( \nabla \) vincoli (per certo differenziali)
3. F\( (x, y, \lambda) = P'_xy + \lambda g(x) \) e faccio derivata F', x', F'_y, F'\(\lambda\)
4. • \( \begin{cases} F'_x = 0 \\ F'_y = 0 \end{cases} \)
   • e trovo i piani
   • F' \(\lambda = 0 \)

Curve in IRⁿ

Si dice che γ è una curva parametrica se γ ∈ C⁰(I; IRⁿ) le cui equazioni descrivono le componenti di γ.

• CIRCONFERENZA = γ(t)=(x₀+n cos⁡t, y₀+n cos⁡t), t∈[0,2π] dove (x₀,y₀ è il centro e raggio n
• CUSPIDE = γ(t) = (t², t³), t∈IR
• STOMOIDE = γ(t) = (t², t⁴ - t²), t∈IR
• ELLISSE = γ(t) = (a cos⁡ t, b sen⁡ t) t∈[0,2π]

CURVA SEMPLICE: nessio piu Valori in intervallo, γ(ĉ≠ γ(ĉ₂)

CURVA CHIUSA = se γ(ĉ₁) = γ(ĉ₂)

CURVA REGOLARE: si dice γ ∈ C¹(I;IRⁿ) se γ ≠ 0 ∀t∈I

VETTORE TANGENTE: T in un punto t₀ = γ (t₀) è ciò che descrive la tangente a γ nel punto (γ(t₀) = |γ'(t₀)|

VETTORE NORMALE PRINCIPALE = la curva γ nel punto, il versore normale γ nel punto γ(t₀)

Il versore Tangente e N _t0 del versore tangente è il verso orario dove N_t0 = ^γ'(t₀)/_|x'²t²| ^|√γ'2t3

CURVE EQUIVALENTI: se una funzione φ: I -> J bicont di classe C¹ e con φ'≠0 ∀t∈I

Integrale curvilineo 1^a specie

l'integrale e che i valori del parametro le corrispondenti ai punti a e b

∫_γ(a,b) P(x,y,z)ds = ∫_a^b [P(xε, yε, zε) |x'ε(t)|y'ε²+z'ε²|dt

PER VEDERE SE È DIFFERENZIABILE

1. A=IR²
2. vedere se è chiuso _dy/_dx

PRIMITIVA

1. _∂F/_∂x = x₁(x,y) _∂F/_∂y = y₂(y)
   • 2 VARIABILI
2. P(x,y) = x₁(x,y) + P₂(y)
3. _∂F/_∂y = ∫(P(x,y) + P₂) dF
4. _∂F/_∂y = ∫(y) + ∫P_x,y
5. Puoi sostituire P₂ in 2

3 VARIABILI

1. dF = _∂F/_∂x dF = _∂F/_∂y
2. P(x,y,z) = x(x,y,z) + P(x,y,z) in rispetto x
3. _∂F/_∂y = dP(x,y,z)/dy si sostituisce dF/dz
4. _∂F/_∂y = dP(x,y,z)/dz
5. Scegliamo uno dei due e integriamo rispetto a y o z rispetto a quello scelto Pyz = ∫ + 4yz
6. dP(y,z) dP(y,z) ∫ o ∫

INTEGRALI CONCLUSA DA P A P₂

• Se P(x,y):
  • Se ho cura para metrica sostituire valore min e max t ∈ [m,n]
  • ε si omette A ∈ B
• ∫ω = {P_x,y,z(P,ω)}

FORCE

1. Verificare se è irrotazionale DF= _{∂ₓ ∂ₙ}
2. Verificare se i conseguenti sono ordinati e diviso in insiemi semplicemente connessi
3. Prima primitiva F o fare V₀-Vₙ per lavoro

Integrali Doppi

∬_T dξ = misura di T      ∬_T dx dy = area T      ∬∬_T dxdydz = Volume T

Tecniche per il calcolo integrali doppi

1. Sia Ω = {(x,y)∈ℝ² : x∈[a,b], α(x) ≤ y ≤ β(x)} un dominio normale rispetto l’asse x e avente la base [a,b] e siano α,β due funzioni continue di x con α(x) < β(x) con ∂Ω = α(x) ∪ β(x) allora

∬_Ω P(x,y) dx dy = ∫_a^b ∫_α(x)^β(x) P(x,y) dy dx     (Si risolve da destra verso sinistra)

2. Sia Ω = {(x,y)∈ℝ² : y∈[c,d], γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} un dominio normale rispetto l’asse y e avente la base [c,d] e siano α,β due funzioni continue di x con α(x) < δ(x) con ∂Ω = α(x) ∪ δ(x) allora

∬_Ω P(x,y) dx dy = ∫_c^d ∫_γ(y)^δ(y) P(x,y) dx dy

3. Siano T₁ e T₂ normali verso x,y vale ∬_T P(x,y) dx dy = ∫_a^b [∫_α(x)^β(x) P(x,y) dy] dx
4. Sia Ω un dominio normale se Ω si divide ne I classi

∬_Ω P(x,y) dx dy = ∫_T1 P(x,y) dx dy + ∫_T2 ∬_T P(x,y) dx dy

Simetrie

1. Funzione integranda

• P(x,y) si dice pari rispetto ad x se risulta che ∀α (-x,y) = P(x,y)
• P(x,y) si dice dispari rispetto ad x se risulta che ∀α (-x,y) = -P(x,y)
• P(x,y) si dice pari rispetto ad y se risulta che ∀α (x,-y) = P(x,y)
• P(x,y) si dice dispari rispetto ad y se risulta che ∀α (x,y) = -P(x,y)

2. Dominio

• Se Ω simmetrico rispetto x ⸢∬_Ω P(x,y) dx dy⸥ = 2∬_Bd P(x,y) dx dy dove Ω è dominio che sta nella parte assima x, considerando 2º quadrante
• Se Ω dispari rispetto y ⸢∬_Bd P(x,y) dx dy⸥=0 ⸢∬_Ω P(x,y) dx dy⸥=0
• Sia Ω simmetrico rispetto x ⸢∬_Ω P(x,y) dx dy⸥ = ∬_Ω P(x,y) dx dy 1º quadrante
• Se Ω simmetrico rispetto x e P(x,y) dispari rispetto y ⸢∬_Ω P(x,y) dx dy⸥ = 0

Cambiamento di Variabile in 2

Coordinate Polari

• ,

• ,

Integrale Triplo

Regole Integrazione Aggiunte

3) Integrazione per Strati

CAMBIAMENTI DI VARIABILE INT. 3

1) PASSAGGIO COORDINATE SFERICHE

• Le usiamo quando x²+y²+z²
• x=ρsinøcosθ
• y=ρsinøsenθ
• z=ρcosø

S=ρ²sinø

∬∬∬ f(ρcosø,ρsinøcosθ,ρsinøsenθ)ρ²sinø dρdødθ

2) COORDINATE CILINDRICHE

• Si usa abbiamo x²+y²
• x=ρcosθ
• y=ρsenθ
• z=z

S=ρ

∬∬∬ f(ρcosθ,ρsenθ,z)ρ dρdθdz

Equazioni Diff Primo Ordine

1. Variabili Separabili

   • La P(x) si può scrivere come la molt di P(x₀) e g(y)
   • Individuare delle soluzioni singolari se sono costanti (int singolari) int particolari g(y)=0
   • • ∫_y0^y(dy/g(y)) = ∫_x0^xP(x)

2. Omogenee di Grado 0

   • y' = P(x/y)
   • Abbiamo ricondotti alla forma y' = P(u) x/y = u -> y = u*x
   • Risolvere sostituendo quello che abbiamo trovato

3. Non Omogenee

   • y' + a*y = P(x)
   • Integrali amo il mR per S_a(x)
   • y e^∫a_x = ∫P_x
   • y = (∫P/e^∫a_x)

Equazioni Diff 2° Ordine

1. F(x,y,y')=0

   • y''=px e y''=p ^ix
   • y'=∫(g(x,e))dx+e2
   • Portare in forma normale y'+axy'=px

2. F(y',y'')=0

   • y'=-p ^-2=^py=y''≠pp
   • ∫_(dy/g(y,e))=∫_dx+e2

3. F(y,y',y'')=0

   • Sostituiamo (y+y'x+y'-y',g,y')
   • Vediamo il caso di x e fame τ ^(:F(x,y,y'))
   • Sostituiamo px=∫_e2px=τp0 2 se 2λ; .λ > 0:; 0 ∠e^1.2 ; e^x2
   • ai) Se ∆=0 7 sol No.:0: /. ; .;0 An^0
   • ii) Se ∆