Analisi 2 - Riassunto di appunti teorici per esercizi

Curve: Calcolo Infinitesimale per Le Curve

• Chiusa: Se I = [a,b] e se Z(t) = Z(b) (torna al punto iniziale)
• Semplice: Se non fa nodi, se Z(t₁) = Z(t₂) ovvero t₁ = t₂ salvo nel caso Z(t) = Z(a)
• Regolare: Se Z ∈ C₁(I); Z'(t) ≠ 0 non si annulla mai

Lunghezza Arco di Curva

1. Controllo che sia regolare

L = ∫_a^b ||Z'(t)||dt

Nel caso di integrali curvilinei invece di

∫∫ f dσ = ∫_a^b f(Z(t)) ||Z'(t)||dt

Ascissa Curvilinea

t: [a,b] → ℝ con la lunghezza

s = Di(t) = ∫_a^t ||Z'(u)||du

ottengo il risultato, lo eguaglio e ricavo t in funzione di s

Limiti

Tendono a (0,0)

lim_{(x,y)→(0,0)} x^αy^β/(|x|^α + |y|^β)^δ

con α,β,δ,γ > 0

• Se (α,β) fuori dal triangolo ⇒ lim=0
• Se (α,β) e nell'istruzione ⇒ sotto ⇒ lim→ ∞

• Se esiste:

0 ≤ ^xαyβ/_{|x|^α + |y|^β} ≤ ^{(xα + yβ - |y|β)}/_{x^δ + y^δ} > 0

x_α^r = (x^y β)^r ≤ (x^δ)/γ

y = (y^s)/γ ≤ (x^δ + s)/γ^r

• Se non esiste:
• a) Trovo due curve Z(t) e Ū(t) per cui i due limiti sono diversi;
• b) trovo due sucezioni estremamente

convergenti a (0,0) per n→+∞ tale che Ln p(U_n, V_m)=p(n>+∞) =

c) mangage x^r, y^b = t⁴⁰⁰ e risolvere con

∫ (f(x)) e  se 3 li in quel punto

LIMITI ALL'INFINITO

lim β(x) = L ∈ ℝ

|x| → ∞

• Se esiste maggiore per qualcosa più piccolo che → ∞
• Se non esiste utilizzo le curve

INSIEMI

E₁ = {x ∈ ℝⁿ : β(x) > 0}

E₂ = {x ∈ ℝⁿ : β(x) < 0}

E₃ = {x ∈ ℝⁿ : β(x) ≠ 0}

Sono aperti

F₁ = {x ∈ ℝⁿ : β(x) ≤ 0}

F₂ = {x ∈ ℝⁿ : β(x) ≥ 0}

F₃ = {x ∈ ℝⁿ : p_x = 0}

Sono chiusi

Unione di aperti è aperto Intersezione di chiusi è chiuso Intersezione di un numero finito di aperti è aperto Unione di un numero finito di chiusi è chiuso

LIMITATO se ∃ r > 0 t.c ∀ξ ∈ (0, R)ⁿ

CONNESSO PER ARCHI

Pensato due punti D - Non sono connessi per archi: uno teorema degli zeri

- [ ](x) [ ](x) < 0

Sostituisco i due punti nella funzione & ottengo ... φ (d₁, β) ∈ D | φ (d₁, β) ∈ 0 ASSURDO!

- Se è connesso per archi: presi due punti P₁, P₂ ∈ D esiste una arco di curve da P₁ a P₂ tutto contenuto in D

Se P_i, P₂ ∈ D₁, il segmento che [accomuna] è contenuto [dentro]

Se P₁ ∈ D₁ e P₃ ∈ D₂ si [concilia] [accomuna]

Continuo ad assegnare il

...

Casi particolari della derivazione di funzione composta

a) f: A ⊆ ℝ^m → ℝⁿ, A aperto di ℝ^m e sia x⁰ ∈ A

g: ℝⁿ → ℝ^p, gof sia definito in un intorno di x⁰

• f differenziabile in x⁰
• g derivabile in f(x⁰)

∇(gof)(x⁰) = ∇g(f(x⁰)) ∇f(x⁰)

b) Sia Γ: I ⊆ ℝ → ℝⁿ, I un intervallo aperto di ℝ, e sia t₀ ∈ I

Sia f : ℝⁿ → ℝ^p, f o Γ definita in un intorno di t₀

• Γ derivabile in t₀
• f differenziabile in Γ(t₀)

(foΓ)'(t₀) = ∇f(Γ(t₀)) · Γ'(t₀)

SUPERFICI PARAMETRICHE REGOLARI

Una superficie parametrica è una funzione

\(\Sigma: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 \)

\( R \) CONTINUA su A. NOTAZIONE:

\( R(u,v)= \begin{bmatrix} X(u,v) \\ Y(u,v) \\ Z(u,v) \end{bmatrix} \quad (u,v) \in A \)

L'immagine di \( A \) tramite \( R \) si chiama sostegno della superficie:

\(\begin{Bmatrix} (X,Y,Z) \in \mathbb{R}^3 \\ c.c. \ \exists (u,v) \in A \ c.c. \ (X,Y,Z) = \Sigma(u,v) \end{Bmatrix}\)

Una superficie si dice SEMPLICE se è invertibile: se

\( (u_1,v_1) \neq (u_2,v_2) \implies R(u_1,v_1) \neq R(u_2,v_2) \)

REGOLARE Una superficie si dice regolare se \( A \) aperto di \( \mathbb{R}^2 \) e la matrice jacobiana \( JR \) ha rango massimo (cioè 2) su tutta \( A \).

\( JR(u,v)= \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial u}X(u,v) & \frac{\partial}{\partial v}X(u,v) \\ \frac{\partial}{\partial u}Y(u,v) & \frac{\partial}{\partial v}Y(u,v) \\ \frac{\partial}{\partial u}Z(u,v) & \frac{\partial}{\partial v}Z(u,v) \end{bmatrix}\)

ovvero, se ha rango massimo significa che sono LINEARMENTE INDIPENDENTI

VETTORE NORMALE della superficie regolare \( \Sigma \) nel punto \( (u,v) \) il vettore

\( N(u,v)= \frac{\partial R}{\partial u} (u,v) \times \frac{\partial R}{\partial v}(u,v) \)

\( xy-z= \text{det} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} \)

POSSIAAMO QUINDI DIRE CHE \( \Sigma \) è REGOLARE se e solo se

\( N(u,v) \neq \theta \) ovvero \( ||N(u,v)|| \neq 0 \)

I punti di \( A \) dove il rango di \( J\Sigma(u,v) \) non è 2 si dicono PUNTI SINGOLI → \( \Sigma \) non è regolare

SFERA

1. \( x=R \sin \varphi \cos \theta \)
2. \( y=R \sin \varphi \sin \theta \)
3. \( z=R \cos \varphi \)

\( \varphi \in [0, \pi]; \ \theta \in [0,2\pi[ \)

\( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)

CONO

1. \( x=t \cos \theta \)
2. \( y=t \sin \theta \)
3. \( z=t \)

\( \theta \in [0,2\pi[ \)

\( t \in \mathbb{R}^+_0 = [0, +\infty[ \)

\( z = \sqrt{x^2 + y^2} \)

CILINDRO

1. \( x=R \cos \theta \)
2. \( y=R \sin \theta \)
3. \( z=t \in \mathbb{R} \)

\( x^2 + y^2 = R^2 \)

TORO

1. \( x=(c+t \cos \theta) \cos \varphi \)
2. \( y=(c+t \cos \theta) \sin \varphi \)
3. \( z=t \sin \varphi \)

\( \theta \in [0,2\pi[ \ \varphi \in [0,2\pi[ \)

1. Sia φ: [a,b] → ℝ una funzione Riemann integrabile -> il grafico di φ ha area nulla
2. Unione di insiemi di area nulla ha area nulla

Teorema di Fubini di riduzione 2^o

f: ℝ² [a,b] x [c,d] → ℝ φ limitata

continua se R\Ω, dove Ω⊆R di area nulla ∬ f(x,y) dxdy = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x,y) dx ) dy = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x,y) dy ) dx

y-semplice

se esistono due funzioni g₁,g₂ continue su [a,b] | E = { (x,y) ∈ ℝ², x ∈ [a,b], g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x) }

x-semplice

se esistono due funzioni h₁,h₂ : [c,d] -> ℝ continue su [c,d] | C. E = { (x,y) ∈ ℝ², y ∈ [c,d], h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y) }

Semplice se E^x y-semplice o x-semplice Regolare unione finita di semplici - se E è regolare J⊆E ha area nulla

Integrazione su insiemi regolari

Sia E⊆R² regolare e sia f: E→ℝ, φ limitata Su E φ continua se E \ Ω, con Ω⊆E e Ω di area nulla Sia R un rettangolo che contiene E

Definiamo ∬ f(x,y) dxdy = ∫∫_R f(x,y) χ_E(x,y) R ∈ E χ_e 0 χ_E(x,y) ∉ E₁ ∬_E f(x,y) dxdy = ∫∫_R f(x,y) χ_E1 dxdy