Analisi 2 - Riassunto di appunti teorici per esercizi

CURVE

CHIUSA Se =[,) e se (\textsubscript{1}) = (\textsubscript{2}) (torna al punto iniziale)

SEMPLICE Se non ha nodi, se (t\textsubscript{1}) = (t\textsubscript{2}) ovvero \textsubscript{1} = \textsubscript{2} salvo che nel caso \textsubscript{1} = \textsubscript{2} = =

Se = ed ≠

REGOLARE Se t ∈ (t); '(t) ≠ 0 non si annulla mai

LUNGHEZZA ARCO DI CURVA:

1) Controllo che sia REGOLARE

2) ℓ\textsubscript{} = ∫_a^b||'(t)||dt

Nel caso di integrali curvilinei invece uso la formula: ∫f ds = ∫_a^bf((t)) • ||'(t)||dt

ASCISSA CURVILINEA

: [,] → ℝ uso la lunghezza

= (t) = ∫||'(μ)||dμ

ottengo il risultato, lo eguaglio e ricavo t in funzione di s

LIMITI

TENDONO A (0,0)

lim\textsubscript{(x,y) → (0,0)} (xy / [|x|+|y|])

con , , , >0

Se (,) fuori dal triangolo ⟹ lim=0

Se (,) e nell'ipotenusa o sotto ⟹ lim ≠ 0

Se esiste:

0 ≤ (xy / |x|+|y| ) ≤ ((x^/ + y^/)^/r • (x^/ + y^/)^1/) / x + y → 0

x¹ = (x¹)^/ ≤ (x¹+y¹)^1/

y¹ = (y¹)^/ ≤ (x¹+y¹)^/

• Se non esiste:

a) trovo due curve (t) e *(t) per cui i due limiti sono diversi x=⁶ e y=

b) trovo due successioni x, = ∀(,) entrambe convergenti a (0,0) per → +∞ tali che lim ρ((x)) = ∀₁, lim (x)

c) mangio xy + y → t⁺∞ e risolvo con x^1/ + y^1/

f(x,y) e continuo se ∃ lim in quel punto

(x ± t₂)

CURVE _{CALCOLO INFINITESIMALE PER LE CURVE}

• CHIUSA Se I = [alpha, beta] e se x(alpha) = x(beta). (torna al punto iniziale)
• SEMPLICE Se non fa nodi, se x(t₁) = x(t₂) ovvero t₁ = t₂ salvo che nel caso t₁ = alpha t₂ = beta se x(alpha) = x(beta) allora x è chiusa
• REGOLARE Se x ∈ C¹ (I); x'(t) ≠ 0 ∀t ∈ I, x'(t) non si annulla mai

LUNGHEZZA ARCO DI CURVA

1. controllo che sia REGOLARE
2. gamma = ∫_a^b ||x'(t)||dt Nel caso di integrali curvilinei invece uso la formula: ∫∫ f ds = ∫_a^b f(x(t)) * ||x'(t)||dt

Uso le lunghezza

1. S = ∫_alpha^t ||x'(u)|| du

ottengo il risultato, lo esprimo e ricavo t in funzione di s

LIMITI

TENDONO A (0,0)

lim (x,y) -> (0,0) ^{xalpha ybeta}/_{|x|^delta + |y|^delta} δ con α, β, δ, ε > 0

Se (α, β) fuori dal triangolo => lim = 0 Se (α, β) è sull'ipotenusa o sotto => lim ∃

Se esiste:

0 ≤ ^{xα yβ} / _{|x|^δ + |y|^δ} δ ≤ ^{(xγ + yγ)δ/r} / (x^δ + y^δ)^β/r -> 0

x^α = (x^t)^α/t ≤ (x_ts + y_s)^β/r

y^β = (y^s)^β/s ≤ (x_s + y_s)^β/r

Se non esiste:

1. trovo due curve x(t) e x~(t) per cui i due limiti sono diversi. x = t^ε e y = δz.
2. trovo due successioni x_njm = (x_njm, y_njm) entrambi convergente a (0,0) per n -> +∞ tali che lim _{n -> +∞} della curva ρ(x_njm) >=