Appunti teorici di Analisi matematica 2

Analisi II

Derivate Parziali

^∂z⁄_∂x → deriv. di f in x trattando le j come cost. vicerversa per ^∂z⁄_∂y

(x₀, y₀, z₀) ⟹ contenuto in (x₀, y₀, z₀)

Derivate direzionali

(α, β), |u̅| = 1, u̅ = (α² + β²) ^∂f⁄_∂x = 3/2   ^∂f⁄_∂y f continua in P₀

^∂f⁄_∂x = ^∂z⁄_∂y   ∇ f(x₀, y₀) ^∂z⁄_∂x   ^∂z⁄_∂y

f derivabile in P₀ se:

f(x,y,z) = f(x₀,y₀) + ^∂f⁄_∂x (x-x₀) + ^∂f⁄_∂y (y-y₀) + ε (x-x₀)(y-y₀)² + ^{(√(x-x₀)2 +(y-y₀)2)}⁄_{√(x-x₀)² +(y-y₀)²}

Criterio di differenziabilità

se ∃ ^∂z⁄_∂x e ∂z⁄∂y e non continui in P₀, allora: f è differenziabile in un punto di Δ f continua ⟹ f è differenziabile

• Piano Tangente
• piano tangente grafico di f in P(x₀, y₀, z₀), è: z = f(x₀, y₀) + ∇f(x₀, y₀) • (P-P₀) + o(P-P₀)
• Vettore ↕ ≡ (∂f(x₀, y₀)/∂x, ∂f(x₀, y₀)/∂y, -1)
• f cresce più rapidamente per ↑ ∇f (P₀) ⟹ P punto nelle dove ⟹ f cresce più rap.

Funzioni Radiali

f variabile se valore di f non dipende dalla distanza di P da (x₀, y₀) radicamente se esistono coppie x come forma di quadarti x²+y² o √(x²+y²)

Derivate di ordine superiore

• Teorema di Schwarz

1. ∂²f / ∂x²   ∂²f / ∂x∂y
2. f è continua su D

Polinomio di Taylor

T_(x,y) = f(x₀, y₀) + ∂f(x₀, y₀)/∂x (x-x₀) +∂f(x₀, y₀)/∂y (y-y₀) + 1/2 ∂²f(x₀,y₀)/∂x² (x-x₀)² +∂²f(x₀,y₀)/∂x∂y (x-x₀)(y-y₀) +∂²f(x₀,y₀)/∂y² (y-y₀)² +o ((x-x₀)² + (y-y₀)²)

f(x₀, y₀) + ∇f(x₀, y₀) (P-P₀) + 1/2 Hf_P0(P-P₀) (P-P₀)^t

Massimi e Minimi

Punti Critici

∇f=0

∇f(P₀)=0 ⇒ P₀ punto critico

calcolare Hf_P0

1. det Hf(ξ)_ξ=0

   • ∂²f/∂x²(ε) > 0 ⇒ P₀ minimo
   • ∂²f/∂x²(ε) < 0 ⇒ P₀ massimo

2. det Hf(ξ)_ξ=0 < 0 ⇒ punto di sella

3. det Hf(ξ)_ξ=0

considera Taylor con autovalori per primo termine xy e studi:f(ξ)=λ₁x² + λ₂y² + o(x² + y²)

• λ₁, λ₂ uno ≠ 0 ⇒ non esime
• λ₁, λ₂ uno ≠ 0 e l'altro < 0 ⇒ punto sella
• λ₁, λ₂ entrambi:
• > 0 minimo
• < 0 massimo

Campi Vettoriali

F (X,y,z) = ( F₁(x₁,y₁,z₁) , F₂(x₂,y₂,z₂) , F₃(x₃,y₃,z₃) )

Jacobiana

matrice delle derivate dei campo

( -∇F_x ∇F_y ∇F_z )

Criterio di Leibniz

(per serie a termini di segno alterno)

∑_n=0^∞ (-1)ⁿ a_n per dati decrescenti risultano a f_n è nulla f_n < 0

Se: a_n => 0 per n => ∞

Un decrescente a_n+1 ≤ a_n Allora la serie converge

Serie di funzioni

∑_n=0^∞ f_n(x) A⊂R ∀x∈A f_n(x) = numero ∑_n=0^∞ f_n(x) serie numerica

∑_n=0^∞ f_n(x) converge in A se ∑_n=0^∞ f_n(x) converge serie numerica

∑_n=0^∞ f_n(x) converge in A se ∀x∈A ∑_n=0^∞ f_n(x) converge

Serie di potenze

serie di funzioni ∑_n=0^∞ f_n(x) con f_n(x) = a_n(x-x₀)ⁿ pone pone (x-x₀)=t con che devia: ∑_n=0^∞ a_ntⁿ

∙ t converge in (a,b) => (x-x₀) converge in (a,b) => x∈(a+x₀; b+x₀)

Da ora è detta serie di potenze centrato in 0 => x₀=0

serie a termini positivi => a_n ≥ 0

Criteri di convergenza

(considera solo a_n)

1. Criterio del rapporto (fattoriali)

∑_n=0^∞ a_n, a_n>0

lim_n→∞ a_n+1/a_n = L∈ℝ

• L1 divergenza
• L=1 non so dire nulla

2. Criterio della radice (funzioni elevate a nⁿ)

∑_n=0^∞ a_n, a_n>0

lim_n→∞ ⁿ√a_n = L∈ℝ

• L1 divergenza
• L=1 non so dire nulla

lim_n→∞ (1+k/n)ⁿ = e^k

f(x) = a₀ + ∑_n=1^∞ [a_n cos nx + b_n sen nx]

1

a₀ = (1/2π) ∫ f(x)dx

2

a_n = (1/π) ∫ f(x) cos nx dx

a₀, a_n, b_n coeff. di Fourier

3

b_n = (1/π) ∫ f(x) sen nx dx

Serie di Fourier = a₀ + ∑_n=1^∞ a_n cos nx + b_n sen nx

• Se pari, f(x) = f(-x) serie di cos, b_n = 0
• Se dispari, f(x) = -f(x) serie di sen, a_n = 0

NORME DI FUNZIONI

f : [π,π] -> ℝ

• || f ||_∞ = max x ∈ [α,β] |f(x)|
• || f - g ||₁ = ∫ |f(x) - g(x)| dx distanze norm 1 tra f e g
• NORMA QUADRATICA
• || g ||₂ = (∫ |f(x)|² dx )^1/2 misura area tra grafico di f(x) e l’asse x

Teorema

Sia s_N N-esima della serie di Fourier di f

• || f - s_N ||₂ ≤ || f - g ||₂ ∀q per trig di grado ≤ n
• ∃p : s_N ∈ P per che meglio approssima f

1. ∑ a_n² + b_n² converge ≤ || f ||₂² a_n, b_n coeff. di Fourier
2. u->a_n => 0; a_n -> 0
3. u->b_n => 0; b_n -> 0

Lemma Riemann-Lebesgue

a_n = (1/π) ∫ f(x) cos nx dx -> u = 0

b_n = (1/π) ∫ f(x) sen nx dx

effetto di cancellazione delle aree