Analisi 2 prof. Bonfiglioli

20/02/19

Strutture di ℝⁿ

• Spazio Vettoriale

somma vettori: u + v = (u₁ + v₁, ..., u_n + v_n) ∀ u, v ∈ ℝⁿ

prodotto per uno scalare: αu = (αu₁, ..., αu_n) ∀ α ∈ ℝ, u ∈ ℝⁿ

def Dato u₁, ..., u_k ∈ ℝⁿ si pone SPAN {u₁, ..., u_k} come l'insieme delle combinazioni lineari cioè {α₁u₁ + ... + α_ku_k , α_i ∈ ℝ}

es

SPAN {u} = {tu | t ∈ ℝ} (retta).

SPAN {u, v} (piano).

• Spazio Affine

traslazione degli spazi vettoriale

es, Se P ∈ ℝⁿ e u₁, ..., u_k ∈ ℝⁿ allora:

P + SPAN {u₁, ..., u_k} | P + ∑^k_i=1 α_iu_i , α_i ∈ ℝ}

P + SPAN {u₁, ..., u_k}

Traslazione dello SPAN dei vettori {u₁, ..., u_k} passante per P.

SPAN {u₁, ..., u_k}

• Spazio Normato

def Dato x ∈ ℝⁿ si pone ||x||= √(x₁² + ... + x_n²) norma di x

Oss Possiamo intendere la norma come distanza tra l'origine e il vettore

Proprietà della norma:

Nat. x,y ∈ ℝⁿ

1. l. ||x|| ≥ 0 ∀x = 0 ⇔ x = 0 _{(Positività)}
2. ||λx|| = |λ| ||x|| ∀λ ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝⁿ _{(Omogeneità)}
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x,y ∈ ℝⁿ _{(Disuguaglianza Triangolare)}

def ¹ dato x₀ ∈ ℝⁿ r > 0, n. palla di centro x₀ e raggio r

B(x₀,r) = {x ∈ ℝⁿ |||x - x₀|| < r}

• SPAZIO METRICO
• def sia A ∈ ℝⁿ, x ∈ ℝⁿ, si dice che:
• x e interno ad A se ∃ r > 0: B(x,r) ⊆ A
• x e di aderenza per A se ∀r > 0 ∃a ∈ A: a ∈ B(x,r)
• x e di accumulazione per A se ∀r > 0 ∃a ∈ A con a ≠ x: a ∈ B(x,r)
• x e di frontiera per A se ∀r > 0 ∃a ∈ A, b ∉ A: a,b ∈ B(x,r)

Si pone:

• Interno di A, Int(A) = {x ∈ ℝⁿ | x e interno ad A}
• Chiusura di A, A = {x ∈ ℝⁿ | x e di aderenza per A}
• Derivata di A, D(A) = {x ∈ ℝⁿ | x e di accumulazione per A}
• Bordo di A, Fr(A) = {x ∈ ℝⁿ | x e di frontiera per A}

def sia s ∈ ℝⁿ, si dice insieme aperto se s = int(s).

def sia A ∈ ℝⁿ, si dice insieme chiuso se A = A.

s dice limitato se ∃ M > 0: ||x|| ≤ M ∀ x ∈ A, ossia A ⊆ B(O,M).

s dice compatto se e limitato e chiuso.

OSS:

• (l) A e chiuso ⇒ D(A) ⊆ A
• (ll) s e aperto ⇒ ∀ x ∈ s ∃ r > 0: B(x,r) ⊆ s
• (lll) B(x₀,r) e un insieme aperto, ||B_k(x, r)||, = {x ∈ ℝⁿ | ||x - x₀|| < r }.
• Fn (B(x₀,r)) = {x ∈ ℝn | ||x - x₀|| = r}

df: sia ₁ f:A⊂Rⁿ→R^m x₀∈D(A) l∈R^m si dice che f ha x₀ se si verifica che:

∀ε>0 ∃S(ε)>0 : ∀x∈A |x-x₀|0 : ∀x∈A |x-x₀| f(A) e compatto

df: sia A⊆Rⁿ n dice che A e connesso per archi: quando si verifica: ∀ coppe di punti x₀, y₀∈A ∃φ : [a,b]≠Rⁿ con a,b∈R talc che:

1. φ∈C([a,b],Rⁿ)
2. φ(a)=x, φ(b)=y
3. φ([a,b])≠A

22/02/19

Teorema _{di valori intermedi di Bolzano}

sia A⊆Rⁿ conesso per archi se f∈C(A,R^m) allora f(A) e anchesso connesso per archi

DIM

A→Rⁿ

A₁, A₂∈A: b₁=f(a₁) e b₂=f(a₂)

28/02/19

Teorema (differenziabile totale)

Sia f da Ω ⊆ ℝⁿ a ℝᵐ, Ω aperto.

Supponiamo che f verifichi:

∃ D₁f(x), ..., Dₙf(x) ∀ x ∈ Ω e le funzioni D₁f, ..., Dₙf sono continue in Ω

df = In tal caso si dice che f è di classe C¹, cioè f ∈ C¹(Ω, ℝᵐ)

Se f ∈ C¹ (Ω, ℝᵐ) allora è differenziabile ∀ x ∈ Ω

Oss: Riassumendo

• (1) ∃_∂f/_∂v ∀ v versore ⇏ f differenziabile
• (2) f ∈ C¹ⁿ ⇒ f differenziabile

1. Controesempio
2. f(x,y) =
   • x²y/x² + y² se (x,y) ≠ (0,0)
   • 0 se (x,y) = 0

in questo caso = ∂_∂f/_∂v (0,0) = v₁,+v₂

ma non vale la formula df/∂v (0,0) = <Df(0,0), v>

quindi f non è differenziabile in (0,0)

• (••) Vedi: proprietà delle funzioni differenziabili
• (•••) Controesempio
• f: ℝ → ℝ
• f (x) =
  • x²sen(π/x) se x ,0
  • 0 se x = 0

f è derivata in x = 0 (cioè differenziabile in ℝ) ma f ∉ C¹² poiché f non è continua in x = 0.

• (iv) Vedi: teorema del differenziale totale

Teorema (Classificazione di una forma quadratica mediante autovalori)

Sia A matrice n×n simmetrica allora esistono gli autovalori di A λ₁,λ₂,...,λₙ ripetuti secondo le loro molteplicità algebriche. Allora:

• (i) A é definita positiva ⟺ λ₁,...,λₙ > 0
• (ii) A é definita negativa ⟺ λ₁,...,λₙ < 0
• (iii) A é semidefinita positiva ⟺ λ₁,...,λₙ ≥ 0
• (iv) A é semidefinita negativa ⟺ λ₁,...,λₙ ≤ 0
• (v) A é indefinita ⟺ ∃ i, j : λᵢ > 0 e λⱼ < 0

OSS.: La matrice nulla è sia semidefinita positiva sia semidefinita negativa.

es. A = ₃^-1₂³ autovalori: det (A - λI) = det _{-λ + 3}³ =

= (λ - 1)(λ + 2) - 9 = ^{λ² - 3λ + 1} λ₁,₂ = ^{3 ± √3 2} indefinita

Massimi e minimi relativi

def Sia f: A⊆Rⁿ → R, X₀∈A allora:

• (i) X₀ è un punto di massimo relativo per f se ∃ r>0 : f(X) ≤ f(X₀) ∀X∈A ∩ B(X₀,r)
• (ii) X₀ è un punto di minimo relativo per f se ∃ r>0 : f(X) ≥ f(X₀) ∀X∈A ∩ B(X₀,r)
• (iii) X₀ è un punto estremante relativo per f se è un punto di massimo o minimo relativo

OSS:

Potremmo studiare il comportamento dei punti del bordo per trovare massimi e minimi assoluti: studieremo solo gli estremanti relativi interni cioè nell'interno topologico del dominio.

def Sia f: A⊆Rⁿ → R, n aperto, X₀ ∈ a allora X₀ è punto critico per f

se f è differenziabile in X₀ e ∇f(X₀) = 0.

ossia: _(Df)i(X₀) = 0

_(Df)i(X₀) = 0