Analisi 2 prof. Bonfiglioli

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Lezioni complete corso Analisi 2 ingegneria energetica del prof A. Bonfiglioli. Appunti completi teoria, esempi, esercizi Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bonfiglioli Andrea

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2018-2019

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20/09/19

Strutture di Rⁿ

Spazio Vettoriale

somma vettori u+v = (u₁+v₁, ..., u_n+v_n) ∀ u,v ∈ Rⁿprodotto per uno scalare αu = (αu₁, ..., αu_n) ∀ α ∈ R, u ∈ Rⁿ

def dato u₁, ..., u_k ∈ Rⁿ si pone SPAN { u₁, ..., u_k } come l'insieme delle combinazioni lineari cioè { α₁u₁, ..., α_ku_k | α₁, ..., α_k ∈ R }

SPAN { u } = { tu | t ∈ R } (retta)

SPAN { u, v } (piano)

Spazio Affine

traslazione degli spazi vettoriali

es p ∈ E ∈ Rⁿ e u₁, ..., u_k ∈ Rⁿ allora:

p + SPAN { u₁, ..., u_k } = { p + ∑_i=1^k α_iu_i | α₁, ..., α_k ∈ R }

Traslazione dello SPAN dei vettori: u₁, ..., u_k passante per P.

Spazio Normato

def dato x ∈ Rⁿ si pone ||x|| = √(x₁² + ... + x_n²) norma di x

oss: Possiamo intendere la norma come distanza tra l'origine e il vettore

2019/19Strutture di Rⁿ

SPAZIO VETTORIALE

somma vettori u+v = (u₁+v₁,...,u_n+v_n) ∀ u,v ∈ Rⁿ

prodotto per uno scalare αu = (αu₁,...,αu_n) ∀ α ∈ R, u ∈ Rⁿ

def. dato u₁, ..., u_k ∈ Rⁿ si pone SPAN {u₁, ..., u_k} come l’insieme delle combinazionilineari cioè {α₁u₁ + ... + α_ku_k, α_i ∈ R}

es.

SPAN {u} = {tu | t ∈ R} (RETTA)

SPAN {u, v} (PIANO)

SPAZIO AFFINE

traslazione dagli spazi vettoriali

es. P ∈ Rⁿ e u₁, ..., u_k ∈ Rⁿ allora:

P ∈ SPAN {u₁, ..., u_k} ⇔ P = ∑_i=1^k α_iu_i, α_i ∈ R

Traslazione dello SPAN dei vettori v₁, ..., v_k passante per P.

SPAZIO NORMATO

def. dato x ∈ Rⁿ si pone ||x|| = √x₁² + ... + x_n² norma di x

oss. Possiamo interpretare la norma come distanza tra l’origine e il vettore

Proprietà della norma:

Dati: x, y ∈ ℝⁿ

∥x∥ ≥ 0 ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0 (Positività)
∥α x∥ = |α| ∥x∥ &hspace{2em} ∀α ∈ ℝ, x ∈ ℝⁿ (Omogeneità)
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ &hspace{2em} ∀x,y ∈ ℝⁿ (Disuguaglianza triangolare)

Dato x_o ∈ ℝⁿ e r > 0, si pone palla di centro x_o e raggio r

B(x_o, r) = {x ∈ ℝⁿ | ∥x - x_o∥ < r}

Spazio metrico

Sia A ⊆ ℝⁿ, x ∈ ℝⁿ, si dice che:

x è interno ad A se ∃r > 0: B(x,r) ⊆ A
x è di aderenza per A se ∀r > 0 ∃ a ∈ A: a ∈ B(x,r)
x è di accumulazione per A se ∀r > 0 ∃ a ∈ A con a ≠ x: a ∈ B(x,r)
x è di frontiera per A se ∀r > 0 ∃ a ∈ A, b ∉ A: a,b ∈ B(x,r)

Si pone:

Interno di A, Int(A) = {x ∈ ℝⁿ | x è interno ad A}
Chiusura di A, A = {x ∈ ℝⁿ | x è di aderenza per A}
Derivata di A, D(A) = {x ∈ ℝⁿ | x è di accumulazione per A}
Bordo di A, Fr(A) = {x ∈ ℝⁿ | x è di frontiera per A}

Sia σ ⊆ ℝⁿ, si dice insieme aperto se σ = Int(σ).

Sia A ⊆ ℝⁿ, si dice insieme chiuso se A = A

A è detto limitato se ∃M > 0: ∥ x ∥ ≤ M ∀x ∈ A, ossia: A ⊆ B(0,M).

A è detto compatto se è limitato e chius

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