Analisi 2, Polimi

Teoria Analisi 2° e 3° Parziale

Algebra Lineare

1. Teorema di Laplace: il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici.

2. MatrRank: si definisce rango di una matrice il massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice. Se il determinante è nullo la matrice è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

3. Teorema di Kronecker, sia A una matrice avente un minore non nullo H, si assume A, A ha rango k se e solo se tutti minori di ordine k + 1 contenenti H sono nulli.

4. Matrice inversa: si definisce inverso di una matrice quadrata A, una matrice indicato con A⁻¹, tale che AA⁻¹ = A⁻¹A = I.

1. A ∈ M(n, n) ammette inverso se e solo se det A ≠ 0
2. Se A ammette inverso, allora A⁻¹ = 1/det A · A* dove A* è indicato il determinante, e il teorema di Bart e entrambi i membri per det (AA⁻¹) = det I n → det A det A⁻¹ = 1     →→ det A ≠ 0
3. Se det A ≠ 0, allora A ammette inverso dimostriamolo     assumo che det A ≠ 0 e mostro che esiste v'costruire l'inversa di A     - caso speciale A ∈ M(1,1), det A ≠ 0, v'ex = A⁻¹ = b/a [b ou = e / (a)]     - caso n=2, 3: considerando la matrice A* che è definito essere la trasposta della matrice che al posto i, j ha il complemento algebrico C_ij di a_ij     (C₁₁ C₂₁ C₃₁) (a^-1 A* = C₁₂ C₂₂ C₃₂) = (a^-1     (C₁₃ C₂₃ C₃₃) (a^-1 (C₁₁ C₂₁ C₃₁) a¹ = C₁₂ C₂₂ C₃₂)     (C₁₃ C₂₃ C₃₃)    a¹ inversa di a det a mostro che, è inversa di A propria calcola a¹ = A A A A        (a₁₁ a₁₂ a₁₃) (C₁₁ C₂₁ C₃₁) (det A 0 0)     (a₂₁ a₂₂ a₂₃) (* C₁₂ C₂₂ C₃₂) = (0 det A 0) = (det A) I     (a₃₁ a₃₂ a₃₃) (C₁₃ C₂₃ C₃₃) (0 0 det A) analogicamente si mostra che det a = I

5. Teorema unicità dell'inversa:

L'inversa di una matrice invertibile è unica

Dim: supponiamo che esistono A^-1, A^-1' tali che:

• A • A^-1 = I
• A • A^-1' = I

Si ha che A^-1 = (A^-1 • A) • A^-1' = I • A^-1' = A^-1' ~~ dunque A^-1 = A^-1'

Per cui l'inversa è unica, per cui a_ab = I_ab e I_aa = l₀

Neutro

6. Teorema di Cramer:

Dato il sistema lineare A • x = b in n equazioni in n incognite, se detA ≠ 0 esiste unica la soluzione del sistema.

Dim: dato A • x = b ⇔ l'inversa di A, poiché esiste unica l'inversa di A, la soluzione x è tale che x = A^-1 • b, ovvero A^-1 • (A • x) = A^-1 • b ⇔ x = A^-1 • b (per l'unicità dell'inversa)

E regola di Cramer, l'unica soluzione x_i ( x₁ x₂ ... x_n ) si calcola come segue: x_i = det D_i / det A

D_i è A dove la matrice ottenuta da A sostituendo in A la i-esima colonna con b.

Esempio:

( a₁₁ a₁₂ ... a_1n) ( x₁ ) = ( b₁ )

( a₂₁ a₂₂ ... a_2n) ( x₂ ) = ( b₂ )

( a_n1 a_n2 ... a_nn) ( x_n ) = ( b_n )

A^-1

x_i = det ( b₁ C₁₂ C₁₃ ... C_1n ) / det A

D_i ( b₂ C₂₁ C₂₃ ... C_2n ) = det D₁ = B_i C₁₃ + B₂ C₂₃ + ... + B_n C_n3

( b_n C_n1 C₂₃ ... C_nn )

Colonna: i-esima

D_i = ( b₁ C_n1 ) ( b₁ b₂ C_n3 ) ( B₃ C₂₃ + ... + B_n C_nn )

7. Teorema di Rouché-Capelli: dato A • x = b un sistema lineare di m equazioni in n incognite, il sistema ammette soluzione se e solo se rk(A) = rk([A|b]) ovvero il sistema ha soluzione, queste diverterano da n-rk(a) parametri (o, vi si dice che il sistema ammette ∞^n-rk(a) soluzioni)

23. Teorema di rappresentazione

Siano V e W spazi vettoriali su K e siano B: {v₁, ..., vₙ} e B': {w₁, ..., wm} due basi ordinaite di V e W. Bieiettivamente siano x <— Kⁿ e y <— Km le coordinate di x <— V e w <— W rispetto alle basi B e B' e sia F: V —> W un'applicazione lineare. Questa ammette ed è unica la matrice A <— Mₙ,ₘ (m, n) tale che, ponendo X = (x₁, ..., xₙ) e siano tali che Y = Ax Dopnuri esprimiamo (f(v))_i e (f(v)) rispetto alla base B': f₁(y) = b(:, v₁) wm = a₁ wm = f₂(y) = b(:, v₂) wm = a₂ wm = y = f(x) = f(x₁, x₂, ..., xₙ) = (a₁₁x₁, a₁₁x₂, ..., a₁₁xₙ) wm fₜ(y) = b(x₁, x₂, w₁, ..., vₙ wₘ) x₁b(y) = x₁b(v₁,x₁, x₁ wₘx) = x₂b(yx₁x₁, ..., x₁b(xₙ))           y = a₁

Lineare

          x₁(axλ) (ax₂, w (a₁₂w₂ m₁ wm a₁ₘ m) +           x₂ (a₂₁w₁, (a₂₂ wm², ..., w₂, a₂ₙxₙm                   aₓₘ wm...) + (a₂₁x₁, a₂₁x₂ w a₂₁xₙ) wₖ +                  (a₁, a₂, ..., aₙm xₙ a) wm m

    y = f₂(vₓ) y = x₁w₁, + ..., yₙ wm         y₁ = a₁₁x₁ + a₂x₁x₂ₙxₙ

        y₂ = a₂₁x₁, a₂₂x₂ w xₙxₙ         yₘ aₘ₁xₙxₘ x₁, aₙₘx xₘ

                        y = aₘ₁ + aᵢₙxₙ + aₙxₙ y = y₁ <— ax₁, ax₂, ax₃ aₙ, a₁) = (y = è unica fra l'incirto real elemrenti

24. Teorema di numero più grande

Siano f; v = w un'applicazione lineare, se V ha dimensione finita, allora dim(val ᵥ) dim(Vec aₗf) dim (im f)

25. Autovalori e Autovettori

Si dice autovalore di una matrice A <— Mₙ,ₘ (n,n), una scalare λ <— K, tale che esiste un vettore (colonna) v <— Kₙ (mx), non nullo tale che Av = λv. Il vettore bento autovettore associato all’autovalore λ l'indietro Vₙ è tutti gᵢ autovettori relativi all’autovalore Un bento autovettorio associato di λ, λ <— K autovalore di D se e solo se λ è radice dell'equazione

v variabile e nel punto _{(xo, yo)} se esiste finito il limite:

_∂v/∂y _{(xo, yo)} = lim_h→0 [v(x_o, y_o + h) - v(x_o, y_o)] / h,

₄₎ Gradiente

Consideriamo una funzione v(x, y) definito su un insieme aperto

v e ^{(x_o, y_o)} e A se esistono in _{(xo, yo)} sia la derivata parziale

rispetto ad x e rispetto ad y, f_x(x_o, y_o) e f_y(x_o, y_o), allora è possibile

costruire un vettore che ha per componenti le derivate parziali:

▽f(x_o, y_o) = (f_x(x_o, y_o), f_y(x_o, y_o)).

Vettore prende il nome di gradiente della funzione f valutato in (x_o, y_o) o ▽f(x_o, y_o).

Funzione di 3 variabili f(x, y, z) è gradiente in (x_o, y_o, z_o) sarà:

▽f(x_o, y_o, z_o) = (f_x(x_o, y_o, z_o), f_y(x_o, y_o, z_o), f_z(x_o, y_o, z_o)).

₁₅₎ Derivabilità non implica continuità: sia f₁ e g C^∞ su IR² e sia x < F.

Si dice che f_e derivabile in x se esistono tutte le derivate parziali.

∂t/∂x =

˙, … ∂/˙, … ⁿ o dice che f_e derivabile in D se lo è in

ogni punto < ∞ GA).

Se n > 2 f_e derivabile in x 0 non implica f_e continuo in x _o cominciamo:

f_e(x, y) (√1 - x² - y²) ³ se x² + y² > 0 e x, y ℝ,

{ ∫³-------------------------------------------------se x < + ℝ oppure y < 0

f_e derivabile in (0, 0).

lim_h→0 f_o(h, 0) - f_o(0, 0) o lim_h→0→o o → 3

lim_h→o f_o(h, 0) o lim_h→0 -h - h 0 - 3x f_y(h, 0)

lim_{(x, y)→(0, 0)} √1 - x² - y² h,

f_w base x ^-3 , f_w base y ³ → ^{il limite non esiste}