Analisi 2, Polimi

Teoria analisi 2: 1° parziale

Algebra lineare

1. Teorema di Laplace: Il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una linea per i rispettivi complementi algebrici.

2. Rango: Si definisce come l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice. Si può verificare che il rango è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

3. Teorema di Kronecker: Sia A una matrice avente un minore non nullo H di ordine k. A ha rango k se e solo se tutti i minori di ordine k+1 contenenti H sono nulli.

4. Matrice inversa: Si definisce inversa di una matrice quadrata A, una matrice, indicata con A^-1, tale che AA^-1 = A^-1A = I.

• A ha (n,n) e ammette inverso se e solo se det A ≠ 0.
• Dim: 1) Se A ammette inverso allora il suo det ≠ 0. Dimostriamolo.

Ammette inverso A è invertibile ⇔ Ax = 0 x = 0. Applicando il determinante e il teorema di Hart, otteniamo det(AA^-1) = det I ⇒ det A det A^-1 = 1 ⇒ det A ≠ 0.

2) Se il det ≠ 0 allora A ammette inverso. Dimostriamolo. Assumo che detA ≠ 0 e mostro che a** (ass. di commut.) Costruisco l'inversa di A.

• Caso speciale n=1: a = [a]¹, det A ≠ 0, a^-1 = 1/a = [1/a]
• Caso n ≥ 2: Consideriamo la matrice A* che è derivato essere la trasposta della matrice che al posto i ha il complemento algebrico c_oj di a_ij

A* = (c₁₁ c₁₂ c₁₃… c_1n) (c₂₁ c₂₂ c₂₃… c_2n) (c_n1 c_n2 c_n3… c_nn)

A^-1 = 1/det A * A*. Dimostrazione mostrata che è l'inversa di A. Calcolato AA^-1 e mostrato che AA^-1 = I(c₁₁ c₁₂ c₁₃… c_1n)(c₂₁ c₂₂ c₂₃… c_2n)(c_n1 c_n2 c_n3… c_nn)(det A)

• Analogamente si mostra che βA = βA * I

Teoria Analisi 1: V parcial

Algebra lineare

1. Teorema di Laplace: Il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una sua riga i, e i rispettivi complementi algebrici.

2. Rango: Si definisce come l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice. Si può verificare che il rango è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

3. Teorema di Kronecker: Se una matrice ammette un minore non nullo H di ordine a, A ha rango a se e solo se tutti i minori di ordine a + 1 contenenti H sono nulli.

4. Matrice inversa: Si definisce inversa di una matrice quadrata A, una matrice, indicata con A^-1, tale che AA^-1 = A^-1A = I.

• A ∈ M_n (ℝ, n) ammette inverso se e solo se det A ≠ 0.
• Dim: 1) Se A ammette inverso allora il suo det A ≠ 0. Dimostriamolo: assurdo che A è invertibile A ^-1 ≤ 0 ↔ det A = 0. Applicando il determinante al teorema di Binet, otteniamo l'assurdo: det(AA)^-1 = det I_n → 0 = det A det A^-1 → det A ≠ 0.

2) Se det A ≠ 0 allora A ammette inverso. Dimostriamolo: assurdo che det A ≠ 0 e mostro che si può costruire l'inverso di A.

• Caso speciale n = 1: A = a_i,j, det A = a_i,j, A^-1 = [1⁄a_i,j]
• Caso n ≥ 2: Consideriamo la matrice A* che è derivata essere la trasposta della matrice che al posto ij ha il complemento algebrico c_is di a_i,j.

A* = (c₁₁ c₁₂ c₁₃ c_1n c₂₁ c₂₂ c₂₃ c_2n c₃₁ c₃₂ c₃₃ c_3n c_m1 c_m2 c_m3 c_mn).

∴ c_* A* = (c₁₁ c₁₂ c₁₃ c_1n c₂₁ c₂₂ c₂₃ c_2n c₃₁ c₃₂ c₃₃ c_3n c_m1 c_m2 c_m3 c_mn).

L'inverso di A è: A ^-1 = 1^-1 A* mostrato che è l'inversa di A. Calcolato det A ^-1 (c₁₁ c₁₂ c_1n c₂₁ c₂₂ c_2n c_m1 c_mn) → det A^-1 (beta beta beta beta beta beta beta beta → det A^-1 (a₁₁ a₁₂ a_1n a₂₁ a₂₂ a_2n a₂₁ a₂₂ a_2n) I.