Analisi 2 - parte 2

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Revisionato il 17/05/2026

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Serie di potenze. Richiami sulle serie numeriche: criteri di convergenza, convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie di potenze in campo reale: proprietà principali; derivazione e …

Esame Complementi di analisi matematica e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrario Benedetta

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2013-2014

87 pagine

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Estratto del documento

_rel_fa _v(t) = (α₁ + β₁)_i₁ + ... + (α_n + β_n)_i_n t ∈ I

(y - mx + 9)

_v(t) = t_i + (mt + 9)_j t ∈ [a, b]

y = f(x)

LUNGHEZZA curve

f : [a, b] → ℝ f ∈ C¹

l = ∫_a^b√1 + (f'(x))² dx

_v : [a, b] → ℝ^m arco continuo

_v(t) = x₁(t)_i₁ + x₂(t)_i₂ + ... + x_m(t)_e_m

= ( _v̇₁(t), _v̇₂(t), ..., _v̇_m(t) )

_{x_i(t + Δt) - x(t)}

→

_v(t + Δt) - _v(t)

retta

₁ = (a₁ + ₁) e₁ + ... + (a_n + _n)e_n, t ∈ I

(y = mx + 9)

_(t) = t_i + (mt + g)_j t ∈ [a, b]

y_e = f(x) LUNGHEZZA CURVE

f: [o, b] → ℝ f ∈ C¹

ℓ = ∫_a^b √1 + (f ' (x)²) dx

_i : [a, b] → ℝ^m arco continuo

_(t) = x₁(t) e₁ + x₂(t)e₂ + ... + x_m(t) e_m

= ( x₁(t), x₂(t) ... x_m(t)

₁(t + Δt) - ₁(t))/Δt → (_{(t + Δt)} - _(t))/Δt

Def

r'(t) è la direzione tangente al sostegno nel punto r(t)

Se consideriamo r come la spe _ro pere ^care e t il vampo abbiamo che r'(t) è la ^relocivo, infatti individuiamo

|r'(t)| = v(t)

Arco regolare

r: [a,b] -> R^m è arco regolare se:

r ∈ C¹([a,b])
r'(t) ≠ o ∀t ∈ (a,b)
si come adire
v(t) ≠ o ∀t ∈ [a,b]

Exmpl patologico

r(t): 3ē + 4ĵ t ∈ [0,1] du sostegno ho? cso patologico, è un punto

r'(t): o 1 ē o 0 1 j ∀t

Esempio bello

r⃗(t) = 4 cos t i⃗ + 3 sen t j⃗ t ∈ [0, 2π]

x(t) 4 y(t) 3

x²(t)₁₆ + y²(t)₉ = 1

arco chiuso semplice

r⃗'(t) = -4 sen t i⃗ + 3 cos t j⃗

|v(t)| = |r⃗'(t)| = √(16 cos² t + 18 sen² t) ≠ 0 ∀ t

Esempio astroide

r⃗(t) = cos³ t i⃗ + sen³ t j⃗

ARCO SEMPLICE E REGOLARE A TRATTI

r⃗'(t) = -3 cos² t sen t i⃗ + 3 sen² t cos t j⃗

|v(t)| = 3 |cos t sen t|

problema in cuspidi, per eliminare il problema prendo [0, π/2)

^→π: [a,b] → R^m arco regolare

a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b

l (^→π) ≥ l (spezzata)

Se β una partizione dell'intervallo [a,b]

Allora diciamo che

l(^→π) = sup_β l(spezzata β) con l(spezzata β) = = Σ_i=0^m-1 | x(t_i+1) - x(t_i) | =

l (spezzata) = Σ_i=1^m-1 | ^→π(t_i+1) - ^→π(t_i) | (t_i+1 - t_i)

μ_Δt→0

| ^→π'(t) | ------ = ^→π (t_i) t_i+1 - t_i

ds_t

l(^→π) = ∫_a^b | ^→π'_(t) | dt = ∫_a^b ν(t) dt vettore del verso unit

= l(γ)

_{Se sup_β l(spezzata β) < ∞}

SI ASSOCIA LA

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