Analisi 2 - parte 2

Revisionato il 09/06/2026

di Lociano94

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Serie di potenze. Richiami sulle serie numeriche: criteri di convergenza, convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie di potenze in campo reale: proprietà principali; derivazione e …

Esame Complementi di analisi matematica e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrario Benedetta

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2013-2014

87 pagine

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Funzioni e lunghezza delle curve

_rel_fa _v(t) = (α₁ + β₁)_i₁ + ... + (α_n + β_n)_i_n t ∈ I(y - mx + 9)_v(t) = t_i + (mt + 9)_j t ∈ [a, b]y = f(x)

Calcolo della lunghezza delle curve

Lunghezza curvef : [a, b] → ℝ f ∈ C¹l = ∫_a^b√1 + (f'(x))² dx

_v : [a, b] → ℝ^m arco continuo_v(t) = x₁(t)_i₁ + x₂(t)_i₂ + ... + x_m(t)_e_m = (_v̇₁(t), _v̇₂(t), ..., _v̇_m(t))

_{x_i(t + Δt) - x(t)} → _v(t + Δt) - _v(t)

Retta e curva

Retta₁ = (a₁ + ₁) e₁ + ... + (a_n + _n)e_n, t ∈ I(y = mx + 9)_(t) = t_i + (mt + g)_j t ∈ [a, b]y_e = f(x)

Lunghezza curvef: [o, b] → ℝ f ∈ C¹ l = ∫_a^b √1 + (f ' (x)²) dx

_i : [a, b] → ℝ^m arco continuo_(t) = x₁(t) e₁ + x₂(t)e₂ + ... + x_m(t) e_m = (x₁(t), x₂(t) ... x_m(t))

₁(t + Δt) - ₁(t))/Δt → (_{(t + Δt)} - _(t))/Δt

Definizione e un esempio di arco regolare

Def r'(t) è la direzione tangente al sostegno nel punto r(t). Se consideriamo r come la spe _ro pere ^care e t il vampo abbiamo che r'(t) è la ^relocivo, infatti individuiamo |r'(t)| = v(t).

Arco regolare r: [a,b] → R^m è arco regolare se: r ∈ C¹([a,b]) e r'(t) ≠ o ∀t ∈ (a,b) si come adirev(t) ≠ o ∀t ∈ [a,b].

Esempi di curve specifiche

Esempio patologico

r(t): 3ē + 4ĵ t ∈ [0,1] du sostegno ho? cso patologico, è un punto r'(t): o 1 ē o 0 1 j ∀t.

Esempio "bello"

r⃗(t) = 4 cos t i⃗ + 3 sen t j⃗ t ∈ [0, 2π] x(t) 4 y(t) 3 x²(t)₁₆ + y²(t)₉ = 1 arco chiuso semplice.

r⃗'(t) = -4 sen t i⃗ + 3 cos t j⃗ |v(t)| = |r⃗'(t)| = √(16 cos² t + 18 sen² t) ≠ 0 ∀ t.

Esempio di astroide

r⃗(t) = cos³ t i⃗ + sen³ t j⃗ arco semplice e regolare a tratti r⃗'(t) = -3 cos² t sen t i⃗ + 3 sen² t cos t j⃗ |v(t)| = 3 |cos t sen t| problema in cuspidi, per eliminare il problema prendo [0, π/2).

Curva chiusa e regolare

π: [a,b] → R^m arco regolare a = t₀ 1 n = bl (π) ≥ l (spezzata).

l(π) = ∫_a^b | π'_(t) | dt = ∫_a^b ν(t) dt vettore del verso unit= l(γ)_{Se sup_β l(spezzata β) < ∞}SI ASSOCIA LA

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