Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
sott/s
~
t ∈ I &pi(t) = (a1+βx1)e1+...+(am+βxm)em, t ∈ I
(u = mx + q)
&pi(t) = t h(mt + q)l, t ∈ [a, b]
p = [a, b]
LUNGHEZZA CURVE
l : [a, b] -> &R;
l ∈ C1
__________________________
l = ∣ba&Root;1 + (π1(x))2 dx
π : [a, b] -> &R;m arco continuo
__________________________
π(t) = x1(t)e1 + x 2(t)e2 + ... + xm(t)em
= (π(x1(t)), π(x2(t)), ..., π(xm(t)))
_______________________________________________________________________________________
π(x + Δt) - π(x) π(t + Δt) - π(t)
Δt Δt
Def.
r(t) dà la direzione tangente al sostegno nel punto r(t)
Se consideriamo r come lo spazio percorso e t il tempo abbiamo che r(t) è la velocità, infatti indichiamo
r'(t) = v(t)
Arco regolare
r: [a, b] → Rm arco regolare se:
- r' ∈ C1([a, b])
- r'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ [a, b]
- v(t) ≠ 0 Θ ∈ [a, b]
Exmple patologico
r(t) = 3ũ + 4ĵ t ∈ [0, 1]
r(t) = 0ũ + 0ĵ ∀ t
Esempio astratto
r1(t) = cos3t + sin3t 0 ≤ t ≤ 2π
l(Γ) = 2l (quadrato) = 4 ∫0π/2 l(t) dt =
= 4 ∫0π/2 cost sent = 4 [sen2t]0π/2 = 2
Esempio
R(t)
∫0b R(x) dx = area sotteso
INTEGRALE CURVILINEO / di linea di prima specie
f : D ⟶ ℝm ⟶ ℝm
r : [a, b] ⟶ ℝm
R(r(t))
Comp. Lim (r (x)) ⊆ dom (f)
∫ɣ f = ∫ɣ R = ∫ f (r(t)) ⋅ |r'(t)| dt
es. segmento lunghezza infinitesimale
Se f ≡ 1 allora ∫ɣ f = l(ɣ)
Esempio elica cilindrica
\(\vec{r}(t) = R \cos(l(t))\hat{i} + R \sin(l(t))\hat{j} + pt \hat{k}\) \(\vec{r}'(t) = -R \sin(l(t))\hat{i} + R \cos(l(t))\hat{j} + p\hat{k}\) \(|\vec{r}'(t)| = \sqrt{R^2 \sin^2(l(t)) + R^2 \cos^2(l(t)) + p^2} = \sqrt{R^2 + p^2} > 0\)
ascissa curvilinea:
\( l(t) = \frac{\Delta}{\sqrt{R^2 + p^2}}\)
\(\vec{q}(t) = R \cos\left(\frac{\Delta}{\sqrt{R^2 + p^2}}\right) \hat{i} + R \sin\left(\frac{\Delta}{\sqrt{R^2 + p^2}}\right) \hat{j} + p \cdot \frac{\Delta}{\sqrt{R^2 + p^2}} \hat{k}\)
Osservazioni / Proposizioni
Sia \(\vec{r}:[a, b] \to \mathbb{R}^2\) curva regolare Vale che \(|\vec{r}'(t)| = 1 \quad \forall t \in [a, b]\)
Allora si ha che \(\vec{r}'(t) \perp \vec{r}''(t) \quad \forall t \in [a, b]\)
N(t) = x_t''(g)+ y_t''(g)+ z_t''(g) so che |N(t)|^2 = > r_t'^2+ y_t'^2+ z_t'^2=1
Derivando trovi => x_t''(g)- x_t(g)+ 2 y_t'(t)' \cdot u'_t(t) + 2 x_t(g)' \cdot z_t'(g)=0 > \(\Rightarrow 2 \tilde{r}(t) \circ \tilde{r}'(t) = 0 \quad \text{prodotto scalare}\)
∂k2/∂u ∂v/∂t ∂2u ∂t/∂v ∂u/∂y
con teorema di Schwarz si ha
∂2k2/∂u∂z-0
{
kx: ∂u/∂x
kz: ∂u/∂z
totalé t kinetic + t potenziale = 1/2 mu2 = 1/2 m |ṙ(t)|2 U
d/dt ttot =
1/2 m 2 ṙ(t) o r̈(t) = - ∇U | ṙ(t) | o ṙ(t) =
g(t) = U (ṙ(t) )
g.(t) = ∇U (ṙ(t) ) o ṙ(t)
g: [a,b] → ℝ
ℝ3, regoleo e teorema
F: D ∈ ℝ2 → ℝ3
t = m ( ṙ(t) o ṙ(t) - F ( ṙ(t) ) o ṙ(t) ) = 0
Integrale Doppio
TS
∬[a;b]x[c;d] f(x,y)dxdy = ∫cd (∫ab f(x,y)dx) dy = ∫ab (∫cd f(x,y) dy) dx
Dim
∬[a;b]x[c;d] f(x,y) dx dy = ∫cd (∫ab f(x,y) dx) dy =
= limn→∞ Σ somma integrale su tutto della scelta del punto [f(Pnk)]
φ(x)= ∫cd f(x,y) dy continua e definita ∀φ: C[a;b]→R
Quindi
∫ab(∫cd f(x,y) dy) dx = ∫cd φ(x) dx =
= Σk=1n φ(x̅n) (xn - xn-1) =
= Σh=1m Σk=1n f(x̅n, y̅k) (uk - uk-1) =
= Σh=1m Σk=1n area(Khk) f(x̅n, y̅k)
a - b/n || ∞/m
Formula di integrazione per dominio l-simplice
D = { (x, y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b, ϕ₁(x) ≤ y ≤ ϕ₂(x) }
con ϕ₁ e ϕ₂ continue
f : D → ℝ continua in C ⊆ D con |D\C| = 0
∬ f(x, y) dx dy = ∫ab(∫ϕ₁(x)ϕ₂(x) f(x, y) dy) dx
esempio
R=1
– ϕ₁(x) = ϕ₂(t) ∫ab(ϕ₂(t) - ϕ₁(t)) dx
Dimostrazione
∃ [a, b] × [c, d] ⊆ D
∬ f(x, y) dx dy = ∬[a,b]x[c,d] f(x, y) dx dy = ∫ab(∫cd f(x, y) dy) dx = ∫ab(∫ϕ₁(x)ϕ₂(x) f(x, y) dy) dx
F' = { f(x, y) se (x, y) ∈ D o altrimenti }
= ∫ab(∫ϕ₁(x)ϕ₂(x) f(x, y) dy) dx
yg = 1/10
Densità non omogenea
Xg = 1/m ∬D x ρ(x,y) dx dy
Yg = 1/m ∬D y ρ(x,y) dx dy
con ρ = ρ(x,y) densità
m = ∬D ρ(x,y) dx dy massa
Ellisse
(x²/a²) + (y²/b²) = 1
x = a ρ cosθ
y = b ρ senθ
0 < θ < 2π
0 < ρ < 1
|ε| = ∫∫ dx dy
= ∫02π abρ dρ dθ
= ab ∫02π dθ ∫01 ρ dρ
= ab. 2π . 1/2 = abπ
Esempio
Ω = {(x, y, z) ∈ ℝ³ :
0 ≤ z ≤ 21, x ≥ 0,
43
∬ (x + 43) dz dx dy =
∬ ((x + y2)(1 - 3/2 x) dx dy +
x = -c/3 ρ cos Θ
y = -2ρ cos Θ
0 ≤ ρ ≤ 1
Per svolgere:
∫Ax (x+z) dx dz.
Ax = { (x, y) ∈ ℝ2 : x2 + z2 ≤ a-x2 }
∫Ax (x+z) dx dz = ∫Ax x dA (x) + 0
= x ⋅ √(a-x)
Quindi:
∫2-1 x √(a-x) dx = − √(a-x) (a-x)2 / 2
= -1 / a [ (a-0)2 - (a-1)2 ] = 9/4 π
Esercizio:
RL : { (x, y, z) ∈ ℝ3 : 0 ≤ y ≤ x ≤ 3, 1 ≤ z ≤ x y }
|al| = ∫∫∫ y dx dy dz
Rx y = oxche :
{ (x, y, z) ∈ ℝ2 : (x, y) ∈ D, 1 ≤ z ≤ x y }
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
