Analisi 2: integrali doppi e tripli

Schema di lavoro per studio estremi vincolati con moltiplicatori di Lagrange

1. Si isolano i punti di ∇v. ∇v (x₀, y₀) = 0 che vanno studiati a parte.

2. Costruisco la lagrangiana L(x,y,λ) = F(x,y) - λ (v(x,y)) e cerco i suoi punti stazionari.

   • dL/dx = 0 → dF/dx = λ dv/dx
   • dL/dy = 0 → dF/dy = λ dv/dy
   • dL/dλ = 0 → v = 0

   ΔF = -λ ∇v

3. Studio la natura dei punti trovati al punto 2. Spesso è utile utilizzare il Teorema di Weierstrass.

Integrali doppi

Sia Q = [a,b] x [c,d] e sia F: Q → R limitata.

1. Date due partizioni β₁ = {a = x₀ 1 n = b} e β₂ = {c = y₀ 1 n = d}.

2. Ponxo ∀i=1,...,n ∀j=1,...

   • m_ij = inf F(x)x ∈ [x_i-1, x_i] x [y_j-1,y_j]
   • M_ij = sup F(x)x ∈ [x_i-1, x_i] x [y_j-1,y_j]

   Chiamo β = β₁ x β₂ partizione di Q e pongo ∑(F, β) = ∑ⁿ_i=1 ∑^K_j=1 M_ij (x_i-x_i-1) (y_j-y_j-1) → somma inferiore relativa a β

Schema di lavoro per studio estremi vincolati con moltiplicatori di Lagrange (ripetizione notata e mantenuta)

1. Si isolano i punti di ∇v. ∇v(x₀,y₀) = 0 che vanno studiati a parte.

2. Costruisco la lagrangiana L(x,y,λ) = F(x,y) - λ(v(x,y)) e cerco i suoi punti stazionari.

3. Studio la natura dei punti trovati al punto 2. Spesso è utile utilizzare il Teorema di Weierstrass.

Integrali doppi (ripetizione notata e mantenuta)

Sia Q = [a,b] x [c,d] e sia F: Q ⟶ ℝ limitata.

1. Date due partizioni β₁ = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} e β₂ = {c = y₀ < y₁ < ... < y_m = d}.

2. Ponpo ∀i = 1,...,n ∀j = 1,...

   • m_ij = inf F(x) x ∈ [x_i-1, x_i] x [y_j-1, y_j]
   • M_ij = sup F(x) x ∈ [x_i-1, x_i] x [y_j-1, y_j]

   Chiamo β = β₁ x β₂ partizione di Q e pongo S(F, β) = → somma inferiore relativa a β S(f,P) = ∑_i=1ⁿ ∑_j=1^k M_i,j (x_i-x_i-1) (y_j-y_j-1)

Vale S(f,P) ≥ L(f,P) ∀ P partizione

DEFINIZIONE: f ∈ F si dice Riemann-integrabile in Q se sup S(f,P) = inf S(f,P). In tal caso il valore comune si chiama integrale doppio di F in Q e si indica con:

∬ F(x,u) dx du

Interpretazione geometrica: Volume del cilindroide descritto da F.

Esempio

1. Q = [a,b] x [c,d]

2. F(x,u)=1 ∀ (x,u) ∈ Q

3. m_i,j = 1, M_i,j = 1

4. S(f,P) = ∑_j=1^k ∑_i=1ⁿ (x_i-x_i-1) (y_j-y_j-1) == ∑_i=1ⁿ (x_i-x_i-1) ∑_j=1^k (y_j-y_j-1)= (b-a)(d-c)

F ∈ R(Q) e ∬∬ F(x,u) dx du = (b-a)(d-c)

Funzione è Riemann-integrabile.

Teorema - Formule di riduzione

Sia Q = [a,b] x [c,d] e è F: Q → R continua. Allora F ∈ R(Q). Inoltre ∬∬ F(x,u) dx du = ∫_a^b (∫_c^d F(x,u) du) dx

Notazione

F ∈ R(Q) → F è integrabile.

Caso particolare

f(x,u) = q(x)h(u), q: [a,b] → ℝ e h: [c,d] → ℝ

∮∮ f(x,u) dx du = (∫_a^b qx dx) (∫_c^d h(u) du)

Esempi

Q = [1,2] x [0,1]

f(x,u) = 𝑒^u/x / x³, F è continua su Q → F ε R(Q)

Fissa lo x

∮∮ f(x,u) dx du = ∫₁² (∫₀¹ 𝑒^u/x / x³ dy) dx == ∫₁² (∫₀¹ 𝑒^y/x) dx = ∫₁² (𝑒^y/xdx) == ∫₁² x^-3 (𝑒^y/x - 1)