Integrali doppi e tripli - analisi

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Appunti di Analisi matematica 2 su integrali doppi e tripli che sono basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi della Calabria - …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2016-2017

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INTEGRALI DOPPI

^π∫_-π ^π∫₀ senx seny dx dy = ^π∫_-π senx dx ^π∫₀ seny dy = 0
^π∫₀ ^π∫₀ senx seny dx dy = ^π∫₀ senx dx ^π∫₀ seny dy = ^π∫₀ senx dx [-cosx]^π₀ =

^π∫₀ senx dx . 2 = 2 [-cosx]^π₀ = 2 . 2 = 4
^π∫_-π ^π∫₀ |senx| seny dx dy = ^π∫_-π |senx| dx ^π∫₀ seny dy =

= ^π∫_-π |senx| dx [-cosy]^π₀ = ^π∫_-π |senx| dx . 2 = 2 ^π∫₀ senx dx . 2 =

= 2 . 2 [-cosx]^π₀ = 2 . 2 . 2 = 2³ = 8
^∫_Ω (x+y) dx dy Ω = {(x,y) ∊ ℝ² | 0 < y < ^√2⁄₂ , y < x < √(1-y²)}

^√2∫₀ dy ^√(1-y²)∫_y (x+y) dx = ^√2∫₀ dy [^x²⁄₂ + xy]_y^√(1-y²) =

= ^√2∫₀ dy [^1-y²⁄₂ - ^y²⁄₂ + (y √(1-y²) - y²)] =

= ^√2∫₀ [¹⁄₂ - ^2y²⁄₂ + y√(1-y²) - y²] dy =

INTEGRALI DOPPI

∬_{[-π,π]×[0,π]} senx seny dxdy = ∫_-π^π senx seny dx ∫₀^π dy = 0 per simmetria (senx seny è una funzione dispari)

∬_{[0,π]×[0,π]} senx seny dxdy = ∫₀^π senx dx ∫₀^π seny dy = ∫₀^π senx dx [-cosx]₀^π =

= ∫₀^π senx dx ⋅ 2 = 2 [-cosx]₀^π = 2 ⋅ 2 = 4

∬_{[-π,π]×[0,π]} |senx| seny dxdy = ∫_-π^π |senx| dx ∫₀^π seny dy =

= ∫_-π^π |senx| dx [-cosy]₀^π = ∫_-π^π |senx| dx ⋅ 2 = ∫₀^π senx dx ⋅ 2 =

= 2 ⋅ 2 [-cosx]₀^π = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³ = 8

∬_Ω (x+y) dxdy

Ω = {(x,y)∈ℝ² : 0 < y < √2/2 , y < x < √(1-y²)}

∫₀^√2/2 dy ∫_y^√(1-y²) (x+y) dx = ∫₀^√2/2 dy [ x²/2 + xy ]_y^√(1-y²) =

= ∫₀^√2/2 dy [ (1-y²)/2 - y²/2 + (y√(1-y²) - y²) ] =

= ∫₀^√2/2 (1/2 - y²/2 + y√(1-y²) - y²) dy =

∬_Ω(x²+y²)dxdy Ω={(x,y)∈R²:0≤x≤1,1≤y≤2}

=∫₀¹∫₁² (x²+y²)dy dx = ∫₀¹ [ x²y + y³/3 ]₁² dx = ∫₀¹ [ 2x² - x² + (8/3 - 1/3) ] dx =

= ∫₀¹ (x² + 7/3) dx = [ x³/3 + 7/3 x ]₀¹ = 1/3 + 7/3 = 8/3

6.

∬_Ω xy dxdy

Ω = {(x, y) ∈ ℝ² : 0 < x < 1, x² < y < √x}

∫₀¹ dx ∫_x²^√x xy dy = ∫₀¹ x dx ∫_x²^√x y dy =

= ∫₀¹ x dx [^y²/₂]_x²^√x = ∫₀¹ (x ⋅ (^x/₂ - ^x⁴/₂)) dx =

= ¹/₂ ∫₀¹ (x² - x⁵) dx = ¹/₂ [^x³/₃ - ^x⁶/₆]₀¹ =

= ¹/₂ (¹/₃ - ¹/₆) = ¹/₁₂

7.

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