Analisi 2 - Come fare le cose, spiegato semplicemente

Algebra lineare e geometria

Un'equazione rappresenta cose diverse in base al contesto di R. x² + y² = 1 è circonferenza, nel caso piano di R²; è un cilindro, con z (quota) arbitrario, nel caso di R³.

Retta

Una retta che nel piano si definisce y = mx + q in R³ trova una diversa rappresentazione: intersezione fra piani (1), forma parametrica (2), forma cartesiana (3).

1. ax + by + cz + d = 0 e 2x + by + cz + d = 0. Si delinea un fascio di piani, su cui retta cercata è ottenuta dall'intersezione ć il "sestegno" al fascio proprio.

Individuazione grazie a 2 piani.

2. x = x₀ t: 1: n: x = 4t. Individuabile grazie ad un punto P(x₀, y₀, z₀) e un vettore direzione v: (n: n₁, n₂, n₃) e cui componenti normalizzate, sono "coseni direttori" del vettore direttore (direzzone del parametrico), in questo caso p(1, 3, 5). Il n: 1: 4. n: 1. l è 1: a: x₀ = 1xt + 4b = 2t ottenuta ricavando tutti è da una forma appart e utilizzandoli.

Un'equazione di una retta, per piano ma pensata nello spazio: y: dx + b ⇒ 7: 0 è il piano x y z = 0.

Piani

Nella forma generali: 2x + by + cz + d = 0, ricaviamo serve un punto e un vettore normale del modo da v: :0 se il loro prodotto scalare: P(P1n) = definizione: Il punti: P(x₀, y₂) (generat.), p₀ = (x₀, y₀, z₀) e n: (1, (a, b, c)) (x₀ - x, y₀, y₀, z) = 0, 0 = 0.

3. d(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 2x + by + cz₂ - d(x₀ - b₄c - z) = costante.

Se 2 piani si intersecano non sarà portato proprio coordinate(=>formano un fascio proprio di piani, loro v ha direzione).

Quando piani e retta er non intersezione in nessun punto, allo forma un fascio improprio di piani.

Condizione di parallelismo con tassi di proporzione fra coeff: a:d1: = b:b1: b:c:c1:c prodotto per una constante: d(1 and 4) piani concidenti 3 d:3 piani non concidenti =>fasciio improprio.

Algebra lineare e geometria

Un'equazione rappresenta cose diverse in base al contesto di riferimento.

x² + y² = 1 → è circonferenza, nel caso piano di R².

x² + y² = 1 → è un cilindro, con z (quota) arbitraria, nel caso di R³.

Rette

Omonim. y = mx + q.

Una retta che nel piano si definisce y = mx + q si può portare con diverse rappresentazioni: intersezione fra piani, forma parametrica, forma cartesiana.

1. a x + b y + c z + d = 0
2. 2 x + b y + c z + d = 0

Si delinea un fascio di piani, di cui retta cercata è ottenuta dall'intersezione e il "sostegno" al fascio proprio.

Individuazione grazie a 2 piani:

1. x = x₀ + t x₁, x = 4 + t
2. y = 2 + t, y = 3 + t
3. z = -t, z = 5 ± t
4. Individuabile univoca ad un punto P(x₀, y₀, z₀) e un vettore direzione: v:: (n₁, n₂, n₃) le cui componenti numericamente sono "coseni direttori" del vettore direttore.
5. Direttore del piano-tetto, in questo caso P(1, 3, 5).
6. Ricavando un'equazione diretto in forma cartesiana.
7. x + 4b + z = c
8. Ottenuta ricavando tutti i dati forma parata ed eseguendoli:
9. ↗ (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

Un'equazione di una retta nel piano ma pensata nello spazio: y = dx + b↗ z = 0 è il piano xy.

Piani

Nella forma generale: 2x + by + cz + d = 0, per definirla serve un punto e un vettore normale, di modo che 0 = se il loro prodotto scalare: P∗ln:

1. P(x, y, z) (generica), p = (x₀, y₀, z₀) e n(ab, c) ((x - x₀, y - y₀, z - z₀)(a, b, c) = 0

d(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 02x + by + cz - x₀ - by₀ - cz₀ = const.

Se 2 piani si intersecano non potranno perpendicolarmente? Formano un fascio proprio di piani, loro v a sistema.

Se piani piani non intersecano in nessun punto, allora formano un fascio improprio di piani.

Condizione di parallelismo è che sia proporzionalità fra coeff: a:d = b:b = c:c.

1. d = 1: piani coincidenti = fascio improprio
2. d ≠ 1: piani non coincidenti = fascio improprio

Matrici e sistemi lineari

Tabella A_m,n di m righe ed n colonne. Quadrato se m = n, singolare se detA = 0.

A_2,3 = | a₁₁ a₁₂ a₁₃ | —> A simmetrica: m quadrato, dove elementi della diagonale devono essere uguali agli elementi della I° colonna.

Trasposizione: matrice risultante ad una riga la cor