Analisi 2 - Come fare le cose, spiegato semplicemente

Algebra Lineare e Geometria

Un'equazione rappresenta cose diverse in base al contesto di R:

• x + y - 3 = 1 ->Una circonferenza, nel caso piano di R²
• Un cilindro, con Z(quota) arbitrario, nel caso di R³

Retta

Una retta che sul piano si definisce y = mx + q ma nello spazio con diverse rappresentazioni: intersezione fra piani, forma parametrica, forma cartesiana.

1. ax + by + cz +d = 0Si parla di un fascio di piani, sul cui retta centrata è ottenuta dall'intersezione↓ ↓2x + b' + cz +d' = 0Il "sistema" al fascio proprioIndividuare grazie a 2 piani
2. x = x₀ + t.n₁ y = 4 + t Individuabile, grazie ad un punto P(x₀, y₀, z₀), e un vettore direzione r: [a, n₁, n₂, n₃] che coi prodotti univelaizzanti, sono "coef. direzion", dal vettore direzione.▼ ↓Rivolcando del parametrico, in questo caso punto P(11, 3, 5)Il vettore r: IA: 4 - 4 - 1 -5, se elimino l'equazione, ottengo la forma cartesiana
3. xt + 4yb = 2t_t Ottenuta ricavando tutti i t da una forma parata, ed uguagliandoli→→x - y - z₀ per y: (x) b - z 0 a

Un'equazione di una retta nel piano ma pensata nello spazio: (y = dx + b)↘ ↙ → z = o

Piani

Nella forma generale: 2x + by + cz + d = 0, per definizione serve un punto p: un vettore normale, se modo da verso e il suo prodotto scalare: (PPL)n = P(0) n12) - P(P) - n Punto dato: P (x0, Y0, z0) (generato) P0 = (x0, y0, z0) e n12: (d, b, c) (x-x0, y-y0, z-0) (b, d, c) - →ϑ = 0 (d (x - X0) + b(y - y - 0) +- Z (z - 2-0) 2x + by + cz + d - 0 → 2x -b by - cz(x0 - b) C2 - 0 =abilità→ costante

Se 2 piani si intersecano (non posta aff’? Perpendicular Normality Formano un fascio → proprio di piani, con una sola altre linea intersecano

Se i piani non pro intersezioni nessun punto, allora formano un fascio improprio di piani (sistema di paralelismo per il caso di proprietà origine prop equipostante fra i due

Matrici e Sistemi Lineari

Tabella: A_mn di m righe ed n colonne.

Quadrata di nm, triangolare se det A=0

A₃ = ^{α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33} → Simmetrica: m quadrato dove elementi della i^ma riga=agli elementi della i^ma colonna i=costanti ^{α b c 2 5 4 3 4 6}

Trasposizione: matrice ottenuta scambiando ad ogni riga la corrispondente colonna. A^T

Operazioni

• Prodotto Matrice-Scalare: λ.A: Ciascun elemento di A moltiplicato per il valore di λ
• Somma tra Matrici: A+B: Ogni elemento di A sommato solo al corrispondente elemento di B, nella stessa posizione.
• Prodotto fra Matrici: A.B: Il numero di colonne di A deve essere = al numero di righe di B! → (m x n).(n x p) = A.B (m x p). Quindi: A.B ≠ B.A non commut.

A_(2x3).B_(3x4) = A.B_(2x4) = ^{-1 0 3} ⟶ ^{5 1 5+0+4 4 1 3 4 4 6 13 = x₁ 2 N.B: A(B+C)= AB+ AC}

A⁰ = I, A⁰ = O

Matrici diagonali: i cui ultimi elementi ≠ 0 sono sulla diagonale principale: es: A. La matrice diagonale dove escono elementi solo sulla diag. princ. ≠ è identità: I

SARUSS (solo 3x3 ) (Somma di tutti i prodotti delle diag. principali) - (Somma di tutti i prodotti delle diagonali secondarie)

Determinante

Si calcola con LAPILACE: Metodo Classico, ricordarsi la regola dei segni: +- - + -|

N.B.: Se una riga/colonna tutta = 0, il det (A) è come una matricie molteplici per un monomial pari al coeff moltiplicant elemento. → det (A)=cat (AT) → Il det non cambia se scrivo una riga con un'altra → Se una A ha due righe / colonne ripetute il suo det è 0 → Una matrice con A⁰ _{- Si dice singolare se non ha rango massimo}

Matrice Inversa

Se det A ≠ 0 E' una matrici inversa A^-1

Se data una A non detta A⁰ con determinante = det A⁰ si costruisce l'inversa, dell'A³ a La trasposizione della matrice dei complenti algebrici

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHÈ A SIA INVERTIBILE (Esista AN -1) che det A≠ 0

Casio 2x2: | α1 α2| ≠ 4 Calcolo il compl alg. xim "quarto al centro" si sommano i componizz in diagon. xpospita Δ = det A₃ per l'inverso si calcola. det: | α2 α2 2-1 ^{α2 α2 α2 donde α 4 det ai 3det → un problema determinante1}

Forme Quadratiche!

Forma polinomio omogeneo di 2^o grado! — es: x² + 2xy + y²

Portano a studiare linee e superfici

X ∈ ℝⁿ contiene n variabili

In forma algebrica esse sono composte da:

Polin. omog.: q(x) = X^t A X: [_k=1^n∑ a_ik X_k ⋅ X _k], [_k=1^n∑ a_ik ⋅ X _k]

N.B. Essendo simmetrica, nella A: a₁₂ = a₂₁

(20) d x² + 2bxy + c y² corrisponde alla matrice ^{[a b] A → Ë un paraboloide} [b c]

Nel caso mono dimenso.: ∀x² - μ è solamente il cambiamento della convata

Questo paraboloide può essere: 1. Il cilindro parabolico ↔ δ = 0 2. Parab. ellittico ↔ δ > 0 3. Parab. iperbolico ↔ δ ᐧ 0

Se posto H: det A = b2 - ac = Δ → ancora si può classificare

➔ Nomenclatura e Classificazione!

Formato che g(x)= 0 dove x=0 (null’ origine e’ nullo), allora:

Definita positiva, se g(x) > 0 ∀x ≠ 0

Definita negativa, se g(x) < 0 ∀x ≠ 0

Semi-Definita positiva, se g(x) ≥ 0 e g(x) = 0: pun ∀x ≠ 0

Semi-Definita negativa, se g(x)≤ 0 e g(x) = 0: pun ∀x ≠ 0

Indefinita nel caso dimostra x^t dove g(x) > 0 e x^t dove g(x) < 0

Generalizza il caso quadratico

Nel caso assiomo sotto la matrice, come definita?

yo(x): UN PARTICOLARE INT. DELLA COMPOSTA

TROVARE UN INT. PART. SFORNANDO UN’ESPRESSIONE SIMILE A f(x) 1) f(x)=e^px CERCO UNA POLINOMIA DI TIPO g(x)=A·x^re^px SE y NON E’ SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE CARATTERISTICA CERCO UN g(x)=A·x^re^px EN: f(x)=7e^2x IN QUESTO CASO r=0 E LA NOSTRA E’ SOLUZIONE CERCO UN A·x⁰e^px IO DERIVO N VOLTE G’: q⁰=q¹·x^#+q²·x²+# E LI SOSTITUISCO NELLA DIFF. INIZIALI IPPOTENDO che siano f=0e^px DOBBIAMO ORA EQUAGLIANI I COFFEI DI UGUALI INCORTE: e TROVO A SE x^k E SOLUZIONE DELLA EQ. CARATTERISTICA MODIFICO IN g(x): A·x^mr^kx^q E CON m! MA QUANTE VOLTE ANNULZA LEA (F)₁(2)₁,(2)₂ O (pi) NOE: MOLTIPLICIA EN) f(x)=x²e^px IN QUESTO CASO R=MP=1 (r: radice doppia moltiplicia = 2) cerco un A_k(x^k-2)e^px E POSEO ALO 1!0 2) f(x)=P(x) POLINOMIO DI GRADZO n ||! CERCA LQ INDURLINE G(x) CON GRADO n SE b#0, APORTO UN POLINOMIO DI GRADO n, CERCA UN Q_xxi: A·x+B EN) f(x)=3x+0 (#·=1) f=molepedo cerco un Q_ixi: Ax+B DOPO QUAN: h:21, io DERIVO DUE VOTUE E SOSTITUISCO MUL:E? ottimune fIPESNO =*X EGUAGLIANDO I COFF. DI INCONTRI SICILI E’ TROVANO NEI SE f:_doc/g_ç, AVVERTO UN PO.LINOMIO DI GRADO n^# cerco 1! Q(xi): x^#(Ax+B), con m=1,1 notepl = 1 ------------- EN): f(x)=x CERCO UN G(x): x(Ax+B) PERCHE b=0,2=0 (QUINDI noi: =1) E RISOVLO ALLO STESSO mod0 SE b_{q~2, dönüşü ayarlo} AVVERTO UN POLINDOMIC DI GRADO n^# CERCO UN Q_x=1(x^m (eAX+b OPPURE (A^k+1,A^m+1,*...B) con M=2, notepl=2 EN): f+x= x+3 CERCO UN g(xi^x! [A!+!B] PERCHE · b=0=0 IMP! FOL EN): f(x)=x^#, CERCO UN G(xi⁼x(A^Zum, Bx+A +C} fO KANMAR PIRUS DEESFICZUO SEI IL mio Q(x_k:A o^c SEUCI su/su A^x f^g#_concetto