Analisi 2 - Come fare le cose, spiegato semplicemente

Algebra lineare e Geometria

Un'equazione rappresenta cose diverse in base al contesto di R.

x²+y² = 1 è circonferenza, nel caso piano di R²

è un cilindro, con z (quota) arbitrario, nel caso di R³

Retta

Una retta che nel piano si definisce y=mx+q in R³ trova una diversa rappresentazione: intersezione fra piani (1), forma parametrica (2), forma cartesiana (3)

1. ax+by+cz+d=0 e 2x+by+cz+d=0 Si delinea un fascio di piani, su cui retta cercata è ottenuta dall'intersezione č il "sestegno" al fascio proprio

Individuazione grazie a 2 piani

2. x=x₀ t: 1: n: x=4t Individuabile grazie ad un punto P(x₀,y₀,z₀) e un vettore direzione v: (n: n₁,n₂,n₃) e cui componenti normalizzate, sono "coseni direttori" del vettore direttore (direzzone del parametrico), in questo caso p(1,3,5).

Il n: 1: 4. n: 1. l è 1: a:x₀=1

3. xt+4b=2t ottenuta ricavando tutti è da una forma appart e utilizzandoli

Un'equazione di una retta, per piano ma pensata nello spazio: y:dx+b⇒7:0 è il piano x y z = 0

Piani

Nella forma generali: 2x+by+cz+d=0, ricaviamo serve un punto e un vettore normale del modo da v: :0 se il loro prodotto scalare: P(P1n)=definizione:

Il punti: P(x₀,y₂) (generat.), p₀=(x₀,y₀,z₀) e n:(1,(a,b,c)) (x₀-x,y₀,y₀,z)=0,0=0

3. d(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=2x+by+cz₂-d(x₀-b₄c-z)=costante

Se 2 piani si intersecano non sarà portato propriocoordinate(=>formano un fascio proprio di piani, loro v ha direzione)

Quando piani e retta er non intersezione in nessun punto, allo forma un fascio improprio di piani

Condizione di parallelismo con tassi di proporzione fra coeff: a:d1: = b:b1: b:c:c1:c prodotto per una constante:

d(1 and 4 ) piani concidenti 3 d:3 piani non concidenti=>fasciio improprio

Algebra lineare e Geometria

Un'equazione rappresenta cose diverse in base al contesto di riferimento.

• x² + y² = 1 → è circonferenza, nel caso piano di R²
• x² + y² = 1 → è un cilindro, con z (quota) arbitraria, nel caso di R³

Rette

Omonim. y = mx + q

Una retta che nel piano si definisce y = mx + q si può portare con diverse rappresentazioni: intersezione fra piani, forma parametrica, forma cartesiana.

1. a x + b y + c z + d = 0
   • 2 x + b y + c z + d = 0

Si delinea un fascio di piani, di cui retta cercata è ottenuta dall'intersezione e il "sostegno" al fascio proprio.

Individuazione grazie a 2 piani:

1. x = x₀ + t x₁, x = 4 + t

   y = 2 + t, y = 3 + t z = -t, z = 5 ± t

   Individuabile univoca ad un punto P(x₀, y₀, z₀) e un vettore direzione: v:: (n₁, n₂, n₃) le cui componenti numericamente sono "coseni direttori" del vettore direttore.

   Direttore del piano-tetto, in questo caso P(1, 3, 5).

   Ricavando un'equazione diretto in forma cartesiana.

2. x + 4b + z = c

   Ottenuta ricavando tutti i dati forma parata ed eseguendoli:

   ↳ (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

Un'equazione di una retta nel piano ma pensata nello spazio: y = dx + b

↳ z = 0 è il piano xy

Piani

Nella forma generale: 2x + by + cz + d = 0, per definirla serve un punto e un vettore normale, di modo che 0 = se il loro prodotto scalare: P∗ln:

1. P(x,y,z) (generica), p = (x₀,y₀,z₀) e n(ab, c) ((x - x₀,y - y₀,z - z₀)(a, b, c) = 0

d(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

2x + by + cz - x₀ - by₀ - cz₀ = const

Se 2 piani si intersecano non potranno perpendicolarmente? Formano un fascio proprio di piani, loro v a sistema.

Se piani piani non intersecano in nessun punto, allora formano un fascio improprio di piani

Condizione di parallelismo è che sia proporzionalità fra coeff:

a:d = b:b = c:c

1. d = 1: piani coincidenti = fascio improprio

2. d ≠ 1: piani non coincidenti = fascio improprio

Matrici e sistemi lineari

Tabella A_m,n di m righe ed n colonne. Quadrato se m=n, singolare se detA=0

A_2,3= | a₁₁ a₁₂ a₁₃ | —> A simmetrica: m quadrato, dove elementi della diagonale devono essere uguali agli elementi della I° colonna.

Trasposizione: matrice risultante ad una riga la cor