Scritto Analisi Matematica 2

Argomenti di geometria e calcolo

Curve e vettori

Circonferenza, ellisse con semiassi: a = radice del numero, b = radice del numero. Retta, segmento, grafico, vettore derivata, vettore tangente, vettore velocità, versore tangente, retta tangente, vettori normali, versori normali, retta normale, velocità scalare.

Proprietà delle curve e rette

Curve; vettori; rette; se x’(t)=0 il vettore tangente è verticale; se m=0, la retta normale è verticale. Bordo, lunghezza curva, curve in R³.

Superfici e forme tridimensionali

Piani, paraboloidi circolari generali con V=(Xc, Yc, Zc) z= Zc (±) a ((x-Xc)² + (y-Yc)²). Coni circolari, superfici semisferiche, superfici a sella, cono generico V=(Xv, Yv, Zv) z= Zv ± a (x-Xv)²+(y-Yv)²+(z-Zv)².

Derivate e direzioni

Derivate parziali, vettore gradiente, piano tangente, derivate direzionali, pendenze, direzioni. Derivata direzionale = 0, P1-P0 = (x1-x0, y1-y0), oppure posso trovare la direzione di massima salita (Vmax) nel punto cercato e ruotare di 90 gradi in verso orario e antiorario il vettore (Nor, Nant).

Massimi, minimi e insieme di livello

Massimi e minimi, matrice Hessiana, max/min assoluti, max/min relativi (locali). Se mi chiede “a quale insieme di livello appartiene un punto”, sostituisco x, y (numeri) del punto all’espressione iniziale f(x, y) in x, y.

Calcolo e moltiplicatori di Lagrange

Studio del bordo di E, derivata funzione composta, moltiplicatori di Lagrange, una volta trovati i t, li sostituisco nell’espressione iniziale per trovare i punti dove poi andrò a calcolare i valori, trovo i t f(x, y).

Retta e integrali

Retta per 2 punti: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1). Integrali doppi, domini normali, area E, baricentro di E. E = circonferenza, insieme simmetrico, coordinate polari, E = cerchio, corona circolare.

Cambio di variabile e equazioni differenziali

Cambio di variabile negli integrali doppi (rho, theta), equazioni differenziali, problemi di Cauchy.