analisi 2- appunti- spazi euclidei

SPAZI EUCLIDEI R^m

DISTANZA EUCLIDEA

A = (a₁, a₂, ..., a_m) B = (b₁, b₂, ..., b_m)

d(A, B) = sqrt((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + ... + (b_m - a_m)²)

d(A, B) = sqrt(∑(b_i - a_i)²) per i=1 fino a m

Proprietà:

• d(A, B) = 0 ⇒ A = B
• d(A, B) = d(B, A)
• d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)

DOMINI CIRCOLARI e RETTANGOLARI (SFERICO)

Dominio circolare: {P ∈ R^m | d(C, P) ≤ ρ}

intervallo chiuso - dominio rettangolare

In R² { (x₁, x₂) a₁ ≤ x₁ ≤ b₁ ; a₂ ≤ x₂ ≤ b₂ } In R^m { (x₁, x₂, ..., x_m) a₁ ≤ x₁ ≤ b₁ ; a_n ≤ x_n ≤ b_n }

Hanno anche una misura: il prodotto di tutti gli intervalli (delle lunghezze degli intervalli) Si può definire un intervallo rettangolare anche tramite il suo centro ⇒ diventa un INTORNO RETTANGOLARE

c_i - h_i ≤ x_i ≤ c_i + h_i ; c_n - h_n ≤ x_n ≤ c_n + h_n

PUNTO INTERNO

Se è un intorno di quel punto che è contenuto anche l'intorno.

PUNTO ESTERNO

Se un suo intorno è tutto

PUNTI DI FRONTIERA:

Non sono né interni né esterni: in ogni intorno vi siano sia punti che sono dell'insieme, sia punti che di complementarità.

FRONTIERA di UN INSIEME:

L'insieme di tutti i punti di frontiera. (la frontiera di un insieme è la stessa sia del suo complemento.)

PUNTO ISOLATO

Quando è possibile prendere un intorno in cui non vi siano punti dell'insieme.

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Se qualunque intorno io prenda posso trovare ∞ punti dell'insieme distinti da lui (che può non appartenere all'insieme).

Tutti i limiti sono sempre di accumulazione. I punti di frontiera sono di accumulazione o sono isolati.

_I=intorno di _I=L'insieme di tutti i punti intorno

_I=chisuura di _I=_I∪_{I I}=frontiera di _I

INSIEME APERTO

Un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni (di frontiera la sua complementarietà) è aperto se il suo complementare è chiuso.

INSIEME CHIUSO

Se il suo complementare è chiuso. Contiene tutti suoi punti di frontiera. È chiuso se tutti i punti di accummulazione (∉) sono contanuti.

INSIEMI LIMITATI

Un insieme è illimitato se ↔ se è sussiettonmente che inferiormente ==> È c/d se e b contiene tutto.

Limialità implicamente (sussicamente)

Numerai che ∀ (x) di _x qualsiasi, I∉ dell'insieme, questo → anche un numerante Maggiore (magiorante). Tali numerante = il massimo (minimo) e questo = l'estremo inferiore (superiore)

DIAMETRO DI UN INSIEME

PEI QEI di (PMQ) (L'insieme delle distanze tra coppie P.M)

Il sup _d(i,j))) = diametro dell'insieme _{(Potrebbe anche essere illimitato)}

Se un insieme è illimitato è il suo diametro L ed è illimitato.

POLIGONALI (o Spezzate) in Rⁿ

Una poligonale si assegna tramite i suoi vertici _A1,_A2...._Am

A1 A1 A2 A3 A4

L'ORDINE DEI PUNTI È IMPORTANTE

• I punti sono sempre distinti tra loro, gli unici che possono coincidencere siano 1_o e L_o e ultimo, in tale aso si ha una poligonale chiusa.

TEOREMA:

Se una funzione è differenziabile (in un punto) => ha derivate parziali (in quel punto) ed è continua (in quel punto).

Dimostrazione:

Differenziabile => Continuità

\[ \lim_{{(h,k) \to (0,0)}} \frac{{\Delta f - [ah + bk]}}{{\sqrt{h^2 + k^2}}} \to 0 \]

allora anche solo il numeratore tende a 0.

\[ \lim_{{(h,k) \to (0,0)}} \{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - [ah + bk]\} \to 0 \]

\[ \Rightarrow f(x_0 + h, y_0 + k) \Rightarrow f(x_0, y_0) \] => è continua.

Differenziabile => Deriv. Parziali

Partiamo dal caso k = 0 e incrementiamo solo lungo x.

\[ \frac{{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0) - ah}}{{|h|}} \to 0 \]

\[ \frac{{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}}{|h|} - (\frac{a}{|h|})h \to 0 \]

\[ \Rightarrow \text{se ho questo} \Rightarrow\ a \] ovvero il rapporto incrementale -> a.

\[ \frac{{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}}{h} \rightarrow a\] (a = f_x )

Se h < 0 viene fuori uguale anche perché:

\[ \Rightarrow \frac{{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}}{h} \rightarrow a\] + a \rightarrow 0

Condizioni necessarie

perché un punto sia di max o min relativo per una funzione di classe C² su un aperto S sono:

• le derivate parziali prime di f(x, y) in (x_o, y_o) siano entrambe nulle
• la forma quadratica ψ(η, μ) sia semidefinita negativa o positiva.

(se gli autovalori propri definiti neg. o pos.)

Ricerca max e min assoluti

Se abbiamo una funzione f(x₁, ... x_m) continua in T⊂R^m chiuso e limitato, per Weierstrass ha min. e max assoluti in T.

Differenziabilità e derivabilità delle funzioni vettoriali

(matrici e determinanti Jacobiani)

Differenziabilità:

• f: A⊂R^m→R^m

f(x + h) - f(x) = δ(h) + ω(h) dove δ(h) ∼ Ah e ω(h)/|h| → 0

Una funzione vettoriale è differenziabile se sono differenziabili le sue funzioni componenti:

(derivate di ogni componente → gradiente f_i)