Analisi e Geometria 1 - Spazi euclidei, vettori e proprietà, rette, piani, curve nello spazio

SPAZI EUCLIDEI

Rⁿ = R x R x ... x R = (v₁, v₂, ..., v_n)

v_k ∈ R

Gli elementi di Rⁿ sono detti VETTORI (a n dimensioni)

R² = R x R

R³

SOMMA

v = (v₁, ..., v_n) ∈ Rⁿ

w = (w₁, ..., w_n) ∈ Rⁿ

v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, ..., v_n + w_n)

SOMMA delle COMPONENTI OMOLOGHE

MOLTIPLICAZIONE per SCALARI

Rⁿ => v = (v₁, ..., v_n)

R ⊃ α

α v = (α v₁, α v₂, ..., α v_n)

DILATAZIONE

Se n = 1: SOLITE OPERAZIONI in R (numeri)

PROPRIETÀ

• v + w = w + v COMMUTATIVA
• (v + w) + z = v + (w + z) ASSOCIATIVA
• α (β v) = (α β) v
• α (v + w) = α v + α w DISTRIBUTIVA

SPAZI EUCLIDEI

Rⁿ = R x R x ... x R = v = (v₁, v₂, ..., v_n)

v_k ∈ R

Coordinata di v

Gli elementi di Rⁿ sono detti VETTORI (a n dimensioni)

R² = R x R

SOMMA

v = (v₁, ..., v_n) ∈ Rⁿ

w = (w₁, ..., w_n) ∈ Rⁿ

v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, ..., v_n + w_n)

Somma delle componenti omologhe

MOLTIPLICAZIONE per SCALARI

Rⁿ => v = (v₁, ..., v_n)

R => α

Scalare α (Numero reale)

αv = (αv₁, αv₂, ..., αv_n)

Dilatazione

Se n = 1: Solite operazioni in R (numeri)

PROPRIETÀ

• v + w = w + v Commutativa
• (v + w) + z = v + (w + z) = v + w + z Associativa
• α(βv) = (αβ)v
• α(v + w) = αv + αw Distributiva

ELEMENTI NEUTRI

Per la SOMMA:

O = (0, 0, 0, ..., 0) VETTOREν+O = O+ν = ν NULLO

Per il PRODOTTO: 1ν = ν Tutte le componenti0ν = (0,0, ...,0) = O VANNO

ANNICHILISCE

VETTORE OPPOSTO

ν = (ν₁, ..., νn) ∈ ℝⁿ (-ν₁,-ν₂,...,-νn) ∈ ℝⁿ- (-ν₁, -ν₂, ..., -νn) = (ν₁, ν₂, ..., νn)

VETTORE OPPOSTO

(0,0,0, ..., 0)

Se ν = (ν₁, ν₂, ..., νn) - ν = (-ν₁, -ν₂, ..., -νn)ν + (- ν) = 0

EQ ALGEBRICA

trovare ν ∈ ℝⁿ tale che3ν + (6, -3) = (2, 5)

3ν + (6, -3) (6, -3) = (2, 5) - (6, -3)3ν = O - (2, 5) + (-6, 3)3ν - (-4, 8)ν = (-₄/3 ₈/3)

ν = (ν₁, ν₂)

3(ν₁, ν₂) = (6, -3) = (2, 5)

(3ν₁, 3ν₂) + (6, -3) = (2,5)

(3ν₁ + 6, 3ν₂ - 3) = (2, 5)

• 3ν₁ + 6 = 2
• 3ν₂ - 3 = 5

ν₁ = ₄/3ν₂ = ₈/3

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Regola del parallelogramma

• α > 1
• 0 < α < 1
• α < 0 (cambia segno ad entrambe le componenti)

PRODOTTO SCALARE

_v = (v₁, v₂, ..., v_n) ∈ ℝⁿ

_w = (w₁, ..., w_n) ∈ ℝⁿ

ℝ > v ⋅ w = Σ v_k w_k = v₁w₁ + v₂w₂ + ... + v_nw_n

Numero e non vettore

_v e _w sono perpendicolarise v ⋅ w = 0   ⊥

(0, 1, 2) ⋅ (3, 1, -1) = 0⋅3 + 1⋅(-1) + 2⋅5 = 9

Non sono perpendicolari

PROPRIETA

(_v1 + _v2) ⋅ _v3 = _v1 ⋅ _v3 + _v2 ⋅ _v3   Distributiva o additiva

(α _v1) ⋅ _v2 = _v1 (α _v2) = α _v1 ⋅ _v2

_vj ⋅ _v2 = _v2 ⋅ _vj

O ⋅ &sub>v = O ⇒ ⊥ O ∈ ℝⁿ⊥ perpendicolare ad ogni vettore _v

NORMA

|V| = √V ⋅ V = √∑_k=1ⁿv_k² ≥ 0 → somma dei quadrati delle componenti.

Distanza Euclidea

tra , ∈ ℝⁿ

↔ distanza tra e = || - || = √∑_k=1ⁿ(v_k - w_k)² )

Interpretazione Geometrica in ℝ²

|| - ||

Proprietà

|V| = 0 ↔ V = 0

|λV| = |λ| |V|

Disuguaglianza Triangolare

|| + || ≤ || || + || ||