Analisi e Geometria 1 - Spazi euclidei, vettori e proprietà, rette, piani, curve nello spazio

SPAZI EUCLIDEI

Rⁿ = R × R × ... × R = v̅ = (v₁, v₂, ... v_n)

v_k = COORDINATE di v̅

Gli elementi di Rⁿ sono detti VETTORI (a n dimensioni)

R¹ = R R² = R × R R³

SOMMA

v̅ = (v₁, ..., v_n) ∈ Rⁿ w̅ = (w₁, ..., w_n) ∈ Rⁿ v̅ + w̅ = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, ..., v_n + w_n)

SOMMA delle componenti OMOLOGHE

MOLTIPLICAZIONE per SCALARI

Rⁿ = v̅ = (v₁, ..., v_n) R ⟶ α

• SCALARE α (numero reale)

α v̅ = (α v₁, α v₂, ..., α v_n) ⟶ DILATAZIONE

Se n = 1: SOLITE OPERAZIONI in R (numeri)

PROPRIETÀ

• v̅ + w̅ = w̅ + v̅ ⟶ COMMUTATIVA
• (v̅ + w̅) + z̅ = v̅ + (w̅ + z̅) = v̅ + w̅ + z̅ ⟶ ASSOCIATIVA
• α (β v̅) = (α β) v̅
• α (v̅ + w̅) = α v̅ + α w̅ ⟶ DISTRIBUTIVA

Elementi Neutri

Per la somma: 0 = (0, 0, 0, ..., 0)

Vettore nullo 0 + v = v Vettore zero

Per il prodotto: 1 ⋅ v = v

Tutte le componenti rimangono inalterate.

0 ⋅ v = (0, 0, 0, ..., 0) = 0 Annichilisce

Vettore Opposto

+ (v₁, v₂, ..., v_n) ∈ ℝⁿ

- (-v₁, -v₂, ..., -v_n) ∈ ℝⁿ Vettore opposto

(0, 0, 0, ..., 0)

Se v = (v₁, v₂, ..., v_n)

-v = (-v₁, -v₂, ..., -v_n)

v + (-v) = 0

Eq. Algebraica

Trovare v ∈ ℝ² tale che

1. 3v + (6, -3) = (2, 5)
2. 3v + (6, -3) - (6, -3) = (2, 5) - (6, -3)
3. 3v + 0 = (2, 5) + (-6, 3)
4. 3v = (-4, 8)
5. v = (-4/3, 8/3)

v = (v₁, v₂)

1. 3(v₁, v₂) = (6, -3) = (2, 5)
2. (3v₁, 3v₂) + (6, -3) = (2, 5)
3. (3v₁ + 6, 3v₂ - 3) = (2, 5)

• 3v₁ + 6 = 2
• 3v₂ - 3 = 5

v₁ = -4/3

v₂ = 8/3

DIMOSTRAZIONE

f: ℝ → ℝ

p(t) := ||x + tŷ||² ≥ 0 ∀t ∈ ℝ

p(t) := ||x + tŷ||² = (x + tŷ) ⋅ (x + tŷ) = x ⋅ x + (tŷ) ⋅ x + (tŷ) ⋅ (tŷ) =

= x ⋅ x + ŷ ⋅ x t + x ⋅ ŷ t + ŷ ⋅ ŷ t² = ||x||² + 2 t x ⋅ ŷ + t²||ŷ||²

t ∈ ℝ

• 0 se x ⋅ ŷ = 0
• Se x ⋅ ŷ ≠ 0

p(t) := 2 x ⋅ ŷ + 2 t ||ŷ||² = 0

troviamo il VERTICE della PARABOLA

t = -x ⋅ ŷ / ||ŷ||²

0 ≤ p(t) = ||x||² − x ⋅ ŷ² / ||ŷ||² + x ⋅ ŷ² / ||ŷ||⁴

0 ≤ ||x||² − (x ⋅ ŷ)² / ||ŷ||²

=> √((x ⋅ ŷ)²) ≤ √||x||² * ||ŷ||²

DISEQUAZIONE INIZIALE

DISEGUAGLIANZA TRIANGOLARE

||x + ŷ||² = (x + ŷ) ⋅ (x + ŷ) = x ⋅ x + 2 x ⋅ ŷ + ŷ ⋅ ŷ =

= ||x||² + 2 x ⋅ ŷ + ||ŷ||² ≤ ||x||² + 2||x|| ||ŷ||

+ ||ŷ||²

= (||x|| + ||ŷ||)²

← CAUCHY SCHWARTZ

PROPRIETA

x̄ ŷ̄ ∈ ℝ²

x̄ ⋅ ŷ̄ = ||x̄|| ||ŷ̄|| cosθ

DIMOSTRAZIONE

Posiamo restringere [rot] cono ||x̄|| / ||ŷ̄|| = 1

x̄ ŷ̄ ∈ cerchio unitario

x̄ = (cosα, senα) ŷ̄ = (cosβ, senβ)

{ x̄ ⋅ ŷ̄ = cosα cosβ + senα senβ = cos (β−α) = cos α

Parallelismo

3 punti ₀, ₁, ₂ ∈ ℝ³ sono allineati

se ∃ l ∈ ℝ³ tale che ∈

(₁ - ₀) ∧ (₂ - ₁) = 0

Incidenza

₁, ₂ rette incidenti se ₁ ∩ ₂ ≠ Ø

Se ₁ ∥ ₂, sono incidenti se e solo se ₁ = ₂

Se ₁ ∦ ₂, sono incidenti se e solo se #( ₁ ∩ ₂ ) = 1

₁ incidente a ₂ ⟺ ∃ , ∈ ℝ

= ₁ + t_{1 1} ≠ 0

= ₂ + _{2 2} ≠ 0

⟺ = ₁ - ₂ ⟹ (₁ - ₂) + t₁ = (₂ - ₁) + ₂

= t( ₁ ∧ ₂ ) = (₂ - ₁) ∧ ₂ + ∧ ₁

= t( ₁ ∧ ₂ ) ∧ [(₂ - ₁) ∧ ₂ ] = 0

= t [ ]₁ ∧ ₂ = ₂

= t = ₁ ∧ ₂ ] ∧ (₁ - ₂)

=

=

= t ₁ ∧ ₂ = -

t =

t =

Retta per _P1 di direzione _P2P3

x = -1 + t

y = -1 + 6 t

z = 2 - t

t = 2 - λ

2 - 1 λ

Pa (2; -7, 1)

t = 1

INTERSEZIONE

4 - 3t = -1 - 6λ

t = 1

Pa (2; -7, 1)

MODULO

AREA = |_{P2P4 ∧ P2P3}|

= | 0 -3 1 |

i j k

1 6 -1

= | i (3 + 6) - (-1) j + k (3 + 3) | = √9¹ + 1 + 9

= √9¹

_P2P4 = √10

_P2P3 = √38

per CALCOLARE l'ANGOLO

_{P2P3 · P2P4} = (0, -3, 1) · (1, -6, 1) = 0 + 18 - 1 = 17 > 0

ACUTO perché il PRODOTTO SCALARE è POSITIVO

PIANO

Determinare l'equazione del piano _|_ a

e passante per P(1, 1, 1)

Prendo un punto qualsiasi Q(x, y, z) e scrivo

il vettore _PQ = (x - 1) i + (y - 1) j + (z - 1) k

π: _{PQ · ṽ} = 0

PIANO

[(x - 1) i + (y - 1) j + (z - 1) k] · (i + 2 j + 8 k) = 0

(x - 1) - 2 (y - 1) + 8 (z - 1) = 0

x - 1 - 2y + 2 + 8z - 8 = 0

π: x - 2y + 8z = 7

PIANO

d(_q, _p) = ^n̅ | _{q̅ - q̅} | = ^{| n̅ (_{p0 - q}) n̅ |} = ^{|n (_{p0 - q})|}

            ||n̅||²           ||n||

FUNZIONI A VALORI VETTORIALI

p̅: I → ^Rn  I⊂R

∇ t ∈ I    ^Rn → p̅(t) = (p₁(t), p₂(t), … , p_n(t))

p_K   I → R        FUNZIONI COORDINATE - componenti p

DEFINIZIONE

p̅: I → ^Rn   ē CONTINUA   in t₀ ∈ I

se ∇ lim_t→t0   ||p̅(t) - p̅(t₀)|| = 0

LEMMA

p̅   ē   CONTINUA   in   t₀   ↔ ci   sono   TUTTE   le   componenti   p_K

lim  _t→t0   [ ^{p_K(t) - p_K(t₀)} ] = 0

©

p(t) = (t  -z,  ^sint,  ^et)   t∈R

→ ē   CONTINUA   in   quanto   ci   sono   tutte   le   COMPONENTI

||p̅(t) - p̅(t₀)||² = _k=1∑ⁿ [ p_k(t) - p_k(t₀) ]²   ≥   |p_j(t) - p_j(t₀)|

TENDONO → 0       ∀j: 1, … ,n

DEFINIZIONE

p̅: I → ^Rn   ē DERIVABILE   in   t₀ ∈ I

∧ ∃ v̅ ∈ ^Rn lim_t→t0   ||^{p̅(t) - p̅(t₀)}_{- v̅} || ^/ |t - t₀| = 0

In   tal   caso   si   pone   p̅'(t₀) = v̅