Analisi 2 - nozioni generali di teoria + formule

ANALISI II

ACCENNI DI TEORIA + FORMULE

• MASSIMI E MINIMI VINCOLATI
• FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
• QUADRICHE - CONICHE
• SERIE NUMERICHE
• ALGEBRA DELLE SERIE
• SERIE NUMERICHE A TERMINI POSITIVI
• CRITERI
• SERIE NUMERICHE A SEGNI ALTERNI
• SUCCESSIONI DI FUNZIONI
• SERIE DI POTENZE
• METODI DI CALCOLO
• SERIE DERIVATA
• EQUAZIONI DIFFERENZIALI
• INTEGRAZIONE MULTIPLA

Analisi II

Accenni di Teoria + Formule

• Massimi e minimi vincolati
• Funzioni di più variabili
• Quadriche - Coniche
• Serie numeriche
• Algebra delle serie
• Serie numeriche a termini positivi
• Criteri
• Serie numeriche a segni alterni
• Successioni di funzioni
• Serie di potenze
• Metodi di calcolo
• Serie derivata
• Equazioni differenziali
• Integrazione multipla

Analisi 2

Massimi e minimi vincolati

Teorema di Weierstrass

• Sia f una funzione di m variabili (con m ≥ 1) a valori reali definita e continua in A ⊆ ℝ^m:

f : A ⊆ ℝ^m → ℝ

• Sia C ⊆ A un insieme chiuso e limitato. Allora, esiste in C (almeno) un punto di massimo assoluto e (almeno) un punto di minimo assoluto.

Teorema delle funzioni implicite (Teorema dei Dini) - Caso di funzioni di due variabili

• Sia g(x,y) una funzione di classe C¹ in un aperto A ⊆ ℝ² e sia P₀(x₀,y₀) ∈ A un punto tale che g(x₀,y₀)=0 (cioè una soluzione dell'equazione g(x,y)=0).
• Hp: Supponiamo che la derivata ∂g/∂y (x₀,y₀) ≠ 0 allora:
• esiste un intervallo I ⊆ ℝ, contenente x₀ e una funzione φ(x) definita e derivabile in I tale che:
• φ(x₀) = y₀
• g(x, φ(x)) = 0, ∀x ∈ I (cioè il grafico di φ(x) è formato da zeri di g(x,y))
• φ'(x) = - (∂g/∂x(x,φ(x))) / (∂g/∂y(x,y))

Osservazione: La retta tangente al grafico di φ(x) ha eq.

y - y₀ = φ'(x₀)(x - x₀)

∂g/∂x(x₀,y₀)(x - x₀) + ∂g/∂y(x₀, y₀)(y - y₀) = 0

Moltiplicatori di Lagrange

• Se la funzione f(x,y) ha un punto di estremo relativo su C: g(x,y) = 0 e ∇g(P₀) ≠ 0
• ⇒ ∇f(P₀) è ∥ a ∇g(P₀) e quindi esiste un numero reale λ per cui ∇f(P₀) = λ∇g(P₀)

Applicazione pratica per esercizi:

Si trovano i punti stazionari vincolati su C risolvendo il sistema

• ∇f = λ∇g
• g(x,y) = 0

Parametrizzare il vincolo.

Esempio: f(x,y)=xy   C: x²+y²=1

h(t)=f(cost,sint)=cost·sint=

e da qui ricavare punti di massimo e minimo disegnando il grafico o calcolando la derivata prima h'(t) e uguagliarla a zero.

Parametrizzazione retta

• x=x₀+αt
• y=y₀+βt
• con α>b e β=-a

Estremi assoluti per funzioni in 3 variabili

• im D

Esempio: f(x,y,z)=x+2y-2z+4

• ∇g=(2x,2y,2z)
• ∇g=0

• im C

Esempio: f(x,y,z)=z²

C=

• {x²+2y²+z²=25
• y+z-5=0

⁰=2λ₁x

⁰=2λ₁y+λ₂

⁰=2λ₁z+λ₂

x²+2y²+z²=25

y+z-5=0

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

• PUNTO INTERNO - Se preso un p.to è il suo intorno, l’intorno del p.to è nell’insiemeSe nel dato ci sono solo punti interni allora l'INSIEME È APERTO.
• INSIEME CHIUSO - Se il complementare è aperto. Se ammette PUNTI DI FRONTIERA
• INSIEME LIMITATO → Se possiamo racchiuderlo in una bolla
• INSIEME COMPATTO → Se chiuso e limitato
• CONVESSO → Se per ogni coppia di punti il segmento che li unisce è dentro
• CONNESSO PER ARCHI → Se posso collegare due p.ti nell'insieme attraverso archi/cammini
• PUNTO ESTERNO → se è interno al complementare dell'insieme
• PUNTO DI ACCUMULAZIONE - Preso un p.to, il suo intorno, l’interno e il dominio.

Se sottoinsieme del dominio in cui la funzione prende un valore assegnato e si dice

INSIEME DI LIVELLOSe f