Analisi 2 - nozioni generali di teoria + formule

ANALISI II

ACCENNI DI TEORIA + FORMULE

• MASSIMI E MINIMI VINCOLATI
• FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
• QUADRICHE - CONICHE
• SERIE NUMERICHE
• ALGEBRA DELLE SERIE
• SERIE NUMERICHE A TERMINI POSITIVI
• CRITERI
• SERIE NUMERICHE A SEGNI ALTERNI
• SUCCESSIONI DI FUNZIONI
• SERIE DI POTENZE
• METODI DI CALCOLO
• SERIE DERIVATA
• EQUAZIONI DIFFERENZIALI
• INTEGRAZIONE MULTIPLA

Analisi 2

Massimi e minimi vincolati

Teorema di Weierstrass

• Sia f una funzione di m variabili (con m ≥ 1) a valori reali definita e continua in A ⊆ R^m
• Sia C ⊆ A un insieme chiuso e limitato. Allora esiste m ∈ C (almeno) un punto di massimo assoluto e (almeno) un punto di minimo assoluto

Teorema delle funzioni implicite (Teorema del Dini) - Caso di funzioni di due variabili

• Sia g(x,y) una funzione di classe C¹ in un aperto A ⊆ R² e sia P₀(x₀, y₀) ∈ A un punto tale che g(x₀, y₀) = 0 (cioè una soluzione dell'eq. g(x,y) = 0)
• Hp: Supponiamo che la derivata ∂g/∂y (x₀, y₀) ≠ 0 allora:
• Esiste un intervallo I ⊆ R, contenente x₀ e una funzione φ(x) definita e derivabile in I tale che:
• 1) φ(x₀) = y₀
• 2) g(x, φ(x)) = 0, ∀x ∈ I (cioè il grafico di φ(x) è formato da zeri di g(x,y))
• Osservazione: La retta tangente al grafico di φ(x) ha eq. y-y₀ = g_x(x₀)(x-x₀) + ∂g/∂y(x₀, y₀)(y-y₀) = 0

Moltiplicatori di Lagrange

Se la funzione f(x,y) ha un p.to di estremo relativo su C: g(x,y) = 0 e ∇g(P₀) ≠ 0 => ∇f(P₀) è // a ∇g(P₀) e quindi esiste un numero reale λ per cui ∇f(P₀) = λ∇g(P₀)

Applicazione pratica per esercizi:

• Si trovano i p.ti stazionari vincolati su C risolvendo il sistema

• ∇f = λ∇g
• g(x,y) = 0

• ∂f/∂x = λ ∂g/∂x
• ∂f/∂y = λ ∂g/∂y
• g(x,y) = 0

QUADRICHE

EQUAZIONE: x² + y² + z² + xy + xz + yz + x + y + z + d = 0

MATRICI ASSOCIATE:

A' = ( _{(x² / 2) (xy / 2) (xz / 2) (xy / 2) (y² / 2) (yz / 2) (xz / 2) (yz / 2) (z² / 2)} )

A = ( _{x² xy xz xy y² yz xz yz z²} )

1) Calcola det(A')

• det(A') ≠ 0 → QUADRICA NON DEGENERE
• det(A') = 0

QUADRICA DEGENERE

Calcolo rango (A')

• ρ(A') ≥ 3
• ρ(A') ≤ 2

DEGENERE IRRIDUCIBILE

DEGENERE RIDUCIBILE

Calcolo det₂(A)

det(A) ≠ 0

• det(A) > 0
• det(A) < 0

ELLISSOIDE IMMAGINARIOax² + by² + cz² = 1

IPERBOLOIDE IPERBOLICO (1 falda)ax² + by² - cz² = 1

ELLISSOIDE REALEax² + by² + cz² = 1se autovalori di A concordi

IPERBOLOIDE ELLITTICO (2 falde)ax² - by² - cz² = 1se autovalori di A discordi

det(A) = 0

• det(A') > 0
• det(A') < 0

PARABOLOIDE IPERBOLICOax² - by² = 0

PARABOLOIDE ELLITTICOax² + by² - z = 0

Quando ho una forma quadraticafai det > 0?

• segui → definitita positiva
• segui ← definitita negativa

CONO: x² + y² + z² = 0

SFERA: (x-x_o)² + (y-y_o)² + (z-z_o)² = r²

CILINDRO: x² + y² = 1

PIRAMIDE: x + y + z = 1

Criterio del Rapporto

∑ a_m a_m > 0.

Si considera lim ^a_m+1/_am = L

1. Se il limite L esiste e L < 1 → la serie converge
2. Se L > 1 → la serie diverge

Se L = 1, non possiamo decidere del comportamento della serie.

Esempio:

∑ a_m = 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + ... = ∑¹/_m!

^a_m+1/_am = ^(m+1)!/₁ • ¹/_m! = ^a_m/_m+1

lim ^a_m+1/_am = lim → 0 < 1 → la serie converge

Criterio della Radice

∑ a_m a_m > 0.

Supponiamo che esista lim a_m^1/m e sia L.

1. Se L < 1, la serie converge
2. Se L > 1, la serie diverge

Metodi di calcolo

dei raggi di convergenza p di una serie ∑a_mx^m

Metodo del rapporto

^a_mxm/_∑ m≥0

Si può usare se a_m≠0

Si studia il lim ^|a_m+1|/_|am| m→∞

Se esiste il limite (e sia ℓ) allora:

1. ℓ=0 p=∞ (la serie conv. ass. ∀x.)
2. ℓ=+∞ p=0 (la serie conv. solo in x=0)
3. ℓ∈ℝ, l≠0 p=1/ℓ

Metodo della radice

Si studia l=lim ⁿ√|a_n| m→∞

Conclusioni uguali a quelle del met. del rapporto.

Somma di una serie di potenze

Proposizione: È data una serie di potenze ∑a_mx^m e I insieme di convergenza (I≠∅?) la serie converge unif. (cioè la successione delle somme tende a S(x) in modo uniforme) su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in I (esclusi estremi)

Applicando Teo curva succ. di ∫ f× si dice che:

1. la somma S(x) di una serie di potenze ∑a_mx^m è continua in ogni I=[a,b]⊆(ρ,p,p)
2. è somm integrabile in [a,b]={ρ,p,p} e ∫_a^b S(x) dx = ∑_m=0^∞ ∫_a^b a_mx^m dx ≠ ∫ a_mx^m dx

Convergenza assoluta uniforme della serie di potenze

1. p=+∞ (la serie converge puntualmente e assen. ∀x.)

C'è convergenza uniforme su ogni intervallo [a,b]

2. ρ∈ℝ (la serie converge puntualmente e assen. in (ρ,p,p), può convergere o no in x=±ρ)

C'è convergenza uniforme in tutti gli intervalli [a,b]⊆(−ρ,p,p)

Vale inoltre: Teorema di Abel

1. Se la serie ∑a_mx^m ha ρ≠ℝ, e converge anche in x=ρ ⇒ conv. uniforme anche in [a,ρ).
2. Se ciercoà convergeva in x=−ρ ⇒ conv. uniʙforme anche in [−ρ,b] con b Vale (*) con costante L = |a| su tutto R.

   Teorema di Peano

   Consideriamo un problema di valori iniziali

   • y' = f(x,y)
   • y(x₀) = y₀

   Sia f continua in un dominio Ω = Σ x I con x₀ ∈ Σ, y₀ ∈ I, allora esiste un intervallo [x₀ - a, x₀ + a] ed esiste una soluzione φ(x) di classe C¹ in [x₀ - a, x₀ + a] che è soluzione del problema dato e tale che φ(x) ∈ I, ∀x ∈ [x₀ - a, x₀ + a].

   Teorema di Cauchy

   Consideriamo un problema di Cauchy

   • y' = f(x,y)
   • y(x₀) = y₀

   Supponiamo f(x,y) continua in Ω = Σ x I e Lipschitziana rispetto a y, uniformemente rispetto a x, allora esiste un'unica soluzione y = φ(x) del problema, in un (opportuno) intorno di x₀.

   Osservazione: Se teo. dice che sono soddisfatte le condizioni su f(x,y) e su intervallo I: [x₀ - a, x₀ + a] sono trovate due soluzioni φ(x) e φ(x), allora φ(x) = φ(x) ∀x ∈ I.

   Proposizione: Se f(x,y) ε continua e deviabile in Ω = Σ x I e la derivata parziale ∂f è limitata su Ω, allora f è Lipschitziana rispetto a y, uniformemente rispetto a x.

   I teoremi di Cauchy e Peano si ̧estendono al caso vettoriale con delle modifiche.