Teoria Analisi 2

⊆R

Sia f: A ->R con A aperto, x Є A e V un versore.

0

Si dice DERIVATA DIREZIONALE di f rispetto a V, nel punto x , il seguente limite

0

(che deve esistere ed essere finito):

( + ) − ( )

0 0 )

lim = (

0

→0

TEOREMA 3.9 (p.132) Formula del GRADIENTE

n

⊆R

Sia f: A ->R con A aperto e f differenziabile in (x , y ) Є A.

0 0

Allora per ogni versore V=(V , V ) esiste la derivata direzione ed è uguale a :

x y

) ) ( ) ( )

( , = ( , · = , + ,

0 0 0 0 0 0 0 0

COROLLARIO 3.10 (p.133) Direzioni di massima e minima crescita

n

⊆R

Sia f: A ->R con A aperto e f differenziabile in x Є A.

0

)

(

Allora il vettore indica la direzione (e il verso) di massimo accrescimento di f,

0

ossia la direzione corrispondente alla massima derivata direzionale;

)

−( indica la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale (che in generale è negativa);

0

infine, nella direzione ortogonale al gradiente le derivate direzionali sono NULLE.

Dimostrazione )

( ·

Basta applicare la formula del gradiente e chiedersi per quale versore V il prodotto scalare è

0

rispettivamente massimo, minimo e nullo.

TEOREMA 3.11 (p.134) Formule di calcolo per le derivate

n

Per ogni coppia di funzioni f, g: R ->R e per ogni coppia di costanti α, β Є R, valgono le seguenti proprietà

del gradiente:

→ (

( + ) = + + ) = +

→ (

( ⋅ ) = + · ) = +

+

−

→

( ) = ( ) =

2 2

TEOREMA 3.12 (p.135) Derivazione delle funzioni composte

n

⊆R ⊆R

1. Siano f: A ->R, g: I ->R e supponiamo che la funzione composta h(x)=g[f(x)] sia definita

almeno in un intorno U di x , allora la funzione composta è differenziabile in x e

0 0

′

)

ℎ( = [( )]( )

0 0 0

n n

⊆R ⊆

2. Siano r: I -> R e f: A R ->R e supponiamo che la funzione composta g(t)=f[r(t)] sia definita

almeno in un intorno J di t Є I.

0

Se r è derivabile in t e f è differenziabile in r(t ), allora la funzione composta è derivabile in t e

0 0 0

′ ( ) )]

= [( · ′( )

0 0 0

Ortogonalità del gradiente con le curve di livello (p.137)

n

⊆

Sia f: A R ->R differenziabile e f(x, y)= c l’equazione di una sua linea di livello.

Supponiamo che questa linea ammetta una rappresentazione parametrica regolare r=r(t).

Allora posto g(t) = f[r(t)], è per definizione g(t)=c e dunque g’(t)=0.

′ ()

= [()] · ′()

D’altro canto: ′ ()

[()] · = 0

Per cui

Cioè il gradiente è ortogonale in ogni punto alle linee di livello della funzione

(infatti r’(t) è tangente alla linea di livello).

DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE

TEOREMA 3.14 (p.144) DI SCHWARZ Intercambiabilità dell’ordine di derivazione

n

⊆

Sia f: A R ->R con A aperto.

2 2

(, ) (, )

Se e esistono in un intorno del punto (x , y ) e sono continue in (x , y ),

0 0 0 0

2 2

) )

( , ( ,

allora in tale punto le derivate sono uguali: = .

0 0 0 0

quindi sotto queste ipotesi non è importante l’ordine di derivazione.

k

DEFINIZIONE 3.16 (p.146) Funzione di classe C

n k

⊆

Diremo che una funzione f: A R ->R con A aperto, è di classe C (A) se tutte le derivate parziali fino all’ordine

k esistono e sono continue in A:

continue in A per ogni i , i , … i 1 ≤ r ≤ k

1 2 r

1 2….

DEFINIZIONE 3.18 (p.148) Differenziale secondo

2 2 n

Se f Є C (A) e x Є A, si dice differenziale secondo di f in x la funzione : d f(x ): R ->R

0 0 0

2

=1 =1

2 ∑ ∑ ( )ℎ ℎ

Definita da: d (fx ) =

0 0

2

( )

I coefficienti che compaiono nel differenziale secondo possono essere ordinati in una matrice nxn

0

detta MATRICE HESSIANA di f in x :

0

f (x ) f (x ) … f (x )

x1x1 0 x1x2 0 x1xn 0

f (x ) f (x ) … f (x )

x2x1 0 x2x2 0 x2xn 0

Hf(x ) = c

0 f (x ) f (x ) … f (x )

xnx1 0 xnx2 0 xnxn 0

In particolare se f è una funzione di due variabili:

f (x , y ) f (x , y )

c

xx 0 0 xy 0 0

Hf(x , y )=

0 0 f (x , y ) f (x , y )

yx 0 0 yy 0 0

TEOREMA 3.16 (p.150) Formula di TAYLOR, resto secondo Peano

2

Sia f Є C (A). Per ogni x Є A vale la formula:

0 2

1 2

) ( )ℎ ( )ℎ |)

( + ℎ) = ( + ∑ + ∑ ℎ + (|ℎ ℎ → 0

0 0 0 0

2

=1 ,=1

DEFINIZIONE 3.19 (p.154) Punti di MASSIMO e MINIMO

n

⊆

Sia f: A R ->R e X Є A. Diciamo che:

0

a) X è un punto di MASSIMO ASSOLUTO per f in A e che f(X ) è il massimo assoluto o globale di f in A

0 0

se: per ogni X Є A si ha f(x) ≤ f(X )

0

X è un punto di MINIMO ASSOLUTO per f in A e che f(X ) è il minimo assoluto o globale di f in A se:

0 0

per ogni X Є A si ha f(x) ≥ f(X )

0

b) X è un punto di MASSIMO RELATIVO o locale per f e che f(X ) è un massimo relativo o locale di f se

0 0

esiste un intorno U di X tale che: per ogni X Є U si ha f(x) ≤ f(X )

0 0

X è un punto di MINIMO RELATIVO o locale per f e che f(X ) è il minimo relativo o locale di f se

0 0

esiste un intorno U di X tale che: per ogni X Є U si ha f(x) ≥ f(X )

0 0

TEOREMA 3.17 (p.156) DI FERMAT Punti critici

n

⊆

Sia f: A R ->R con A aperto e X Є A un punto di massimo o minimo locale per f.

0 )

( = 0

Se f è derivabile in X , allora:

0 0

Dimostrazione

Supponiamo che X sia punto di minimo locale. Occorre dimostrare che ogni derivata parziale di f si annulla

0 n

in X . Infatti, sia e ,…, e la base canonica in R . Muoviamoci da X lungo l’asse X considerando la funzione

0 1 n 0 j

della variabile reale t data da: g(t)= f(X + te )

0 j

La funzione g è ben definita in un intorno di t=0 e, poiché X è un punto di minimo locale per f, deduciamo

0

che t=0 è un punto di minimo locale per g. ( ) = ′(0)

D’altra parte, g è derivabile in t=0 e infatti, per definizione di derivata parziale, si ha: 0

Per il teorema di Fermat in una variabile, deve essere allora g’(0)=0. In conclusione:

( ) = 0 = 1, … ,

0

I punti in cui il gradiente di una funzione f si annulla si dicono PUNTI CRITICI o stazionari DI F.

Il teorema precedente afferma quindi che, per cercare i punti di massimo o minimo locale nei quali una

funzione è derivabile, occorre prima di tutto determinare tutti i suoi punti critici, ossia i punti X= (x , x x )

1 2, … n

che risolvono il sistema di n equazioni in n incognite:

f (x , x x )=0

x1 1 2, … n

f (x , x x )=0

x2 1 2, … n

…

f (x , x x )=0

xn 1 2, … n

Non è detto che ogni punto critico sia un punto di massimo o minimo, quindi il secondo passo sarà, una

volta determinati i punti stazionari, stabilire per ciascuno di essi se è un punto di minimo, di massimo o

nessuna delle due cose. Se il punto non è né di massimo né di minimo si dice PUNTO DI SELLA.

DEFINIZIONE 3.20 (p.159) Forma quadratica

n

Una forma quadratica q(h) con h Є R (o la matrice simmetrica corrispondente) si dice:

- DEFINITA positiva (negativa) se per ogni h ≠ 0 q(h) > 0 (<0)

- SEMIDEFINITA positiva (negativa) se per ogni h ≠ 0 q(h) ≥ 0 (≤0) ed esiste h ≠ 0 tale che q(h)=0

- INDEFINITA se esistono h , h tali che q(h ) > 0 e q(h ) < 0

1 2 1 2

Con il caso bidimensionale si avrebbe:

12 22

q(h , h )= ah + 2bh h + ch con a, b, c non tutti nulli.

1 2 1 2

La matrice associata è:

a b

M = c d

TEOREMA 3.18 (p.160) Segno delle forme quadratiche in due variabili

Se a ≠ 0, la forma quadratica è:

- DEFINITA positiva (negativa) se e solo se detM >0 e a >0 (a<0)

- SEMIDEFINITA positiva (negativa) se e solo se detM =0 e a>0 (a<0)

- INDEFINITA se e solo se detM <0

PROPOSIZIONE 3.3 (p.166) PUNTI CRITICI

2 2

Siano f Є C (A), A aperto in R , (x , y ) Є A un punto critico per f e la matrice hessiana nel punto critico è:

0 0

f (x , y ) f (x , y )

xx 0 0 xy 0 0

H (x , y )=

f 0 0 f (x , y ) f (x , y )

yx 0 0 yy 0 0

a) Se det H (x , y ) > 0 e

f 0 0

• f (x , y ) > 0 allora (x , y ) è un punto di MINIMO relativo

xx 0 0 0 0

• f (x , y ) < 0 allora (x , y ) è un punto di MASSIMO relativo

xx 0 0 0 0

b) Se det H (x , y ) < 0 allora (x , y ) è un punto di SELLA

f 0 0 0 0

c) Se det H (x , y ) = 0 occorre un’analisi ulteriore

f 0 0

TEOREMA 3.26 (p.184) DI DINI Funzione implicita

1

f: A ->R una funzione C (A), con A aperto. Supponiamo che in un punto (x , y ) Є A sia:

0 0

f(x , y ) = 0, f (x , y ) ≠ 0

0 0 y 0 0

allora esistono un intorno I di x , un intorno J di y e un’unica funzione g: I ->J tale che

0 0

y = g(x ) e f(x , g(x)) = 0 per ogni x Є I.

0 0 (,())

′

()

= −

1

Inoltre g Є C (I) e per ogni x Є I.

(,())

Il teorema è applicabile anche scambiando i ruoli di x e y.

In sostanza i punti in cui il teorema del Dini NON è applicabile sono quelli in cui il gradient