Teoria Analisi 1 (Funzioni, continuità, limiti) [2/5]

Funzione pari

f: A → ℝ ∀ x ∈ A ↔ -x ∈ A

f(-x) = f(x)

Funzione dispari

f: A → ℝ ∀ x ∈ A ↔ -x ∈ A

f(-x) = -f(x)

o f(x) + f(-x)

Funzione periodica

f: A → ℝ

∃ t > 0 ∀ x ∈ A: ↔ x ± t ∈ A

f(x) = f(x + kt) ∀ k ∈ ℤ,

Monotonia

Sia f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, B ⊂ A

- f è crescente in B se:

∀ x₁, x₂ ∈ B con x₁ < x₂, f(x₁) ≤ f(x₂)

- f è strett crescente in B se:

∀ x₁, x₂ ∈ B con x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂)

- f è decrescente in B se:

∀ x₁, x₂ ∈ B con x₁ < x₂, f(x₁) ≥ f(x₂)

4. _f strett. monotona ⇒ f _iniettiva

Ipotesi:

f: A → ℝ

∀ x₁, x₂ ∈ A

x₁ ≠ x₂

t.c. f(x₁) = f(x₂)

tesi:

A → ℝ

∀ x₁, x₂ ∈ A

x₁ ≠ x₂

t.c. f(x₁) ≠ f(x₂)

x₁ ≠ x₂

5. _f monotona (stesso tipo) ⇒ f⋅g monotona

Preipotesi:

f: A → ℝ

∀ x₁, x₂ ∈ A

x₁ < x₂

t.c. f(x₁) ≤ f(x₂)

g: A → ℝ

∀ x₁, x₂ ∈ A

x₁ < x₂

t.c. g(x₁) ≤ g(x₂)

Tesi: f⋅g: A → ℝ

∀ x₁, x₂ ∈ A

x₁ < x₂

t.c. (f⋅g)(x₁) ≤ (f⋅g)(x₂)

Dim.:

∀ x₁, x₂ ∈ A

x₁ < x₂

t.c. f(x₁) ≤ f(x₂) ∧ g(x₁) ≤ g(x₂)

⇒ f(x₁) ⋅ g(x₁) ≤ f(x₂) ⋅ g(x₁)

(3) ⋅ g(x₂)

+ f(x₂) ⋅ ≤ f(x₂)

(f + g) (x₁) ≤ (f + g) (x₂)

(Dimostrazione analoga per f - g strett. monotona se almeno uno delle f e g)

f monotone (stesso tipo)

f(x) ≥ 0 ∀ x ⇒ f⋅g monotona

Proposizione: siano f: A → ℝ

g: B → ℝ

C = A ⋂ B

f⋅g monotone

f(x) > 0 ∀ x ∈ C ⋂ B ⇒ f⋅g monotona

x² = ( -1 , 0 , 1 )

crescente

x

decrescente

x² ( -∞ , 0 , 1 )

Successione Estratta e Sottosuccessione

\( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) è una successione

\( (a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) con \( S \neq \emptyset \) : una successione estratta di \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) (o sottosuccessione)

Monotonia nelle Successioni

\( (a_n)_{n \geq m_0} \) è monotone crescente se

• \(\forall m, n \in \mathbb{N} \) con \( n_0 \leq m \leq n_1 \Rightarrow a_m \leq a_{n_1} \)

Basta dire che:

• \(\forall n \in \mathbb{N} \text{ con } n \geq m_0 : a_n \leq a_{n+1} \)

Maggiore di una Funzione

\( f: A \rightarrow \mathbb{R}, \, M \) è maggiore per \( f \) se

• \(\forall x \in A: M \geq f(x) \iff \forall y \in f(A), \, M \geq y \)

Minore di una Funzione

\( f: A \rightarrow \mathbb{R}, \, m \) è minore per \( f \) se

• \(\forall x \in A: m \leq f(x) \iff \forall y \in f(A), \, m \leq y \)

- x_o ∈ D(f) ∩ ℝ, l = +∞

 ∀ε > 0 ∃ δ_ε > 0 ⇒∀x ∈ A, 0 < |x-x_o| < δ_ε

f(x) > a

- x_o ∈ D(f) ∩ ℝ, l = -∞

 ∀ε > 0 ∃ δ_ε > 0 ⇒∀x ∈ A, 0 < |x-x_o| < δ_ε

f(x) < a

- x_o ∈ D(f), x_o = +∞ l = +∞

∀ε > 0 ∃ δ_ε > 0 ∃ η ∈ ℝ 3° ∀x ∈ A, x > δ_ε:

 f(x) > a

- x_o ∈ D(f), x_o = +∞, l = -∞

∀ε > 0 ∃ δ_ε > 0 ∃ η ∈ ℝ 3° ∀x ∈ A, x < δ_ε:

 f(x) ≤ a

- x_o ∈ D(f), x_o = ±∞, l ∈ ℝ

∀ε > 0 ∃ δ_ε > 0 ∃ η ∈ ℝ 3° ∀x ∈ A, x > δ:

|f(x) - l| < ε

lim_x→x0 f(x) = sup_x∈D(f) f(x) / inf_x∈D(f) f(x)

Se f : A → ℝ f monotona in A, x₀ ∈ D(f (A))

⇒ ∃ lim_x→x0^- f(x) = inf_{x∈A ∩ (x0,∞)} f(x) [ = sup_{x∈A ∩ (x0,∞)} f(x) ]

⇒ ∃ lim_x→x0⁺ f(x) = sup_{x∈A ∩ (x0,x)} f(x) [ = inf_{x∈A ∩ (x0,∞)} f(x) ]

- Criterio

f : (a,b) → ℝ f monotona crescente in (a,b)

∃ lim_x→a⁺ f(x) = inf f(x)

∃ lim_x→b^- f(x) = sup f(x)

A : [a,b] → ℝ

∃ lim_x→a⁺ f(x) = sup_x∈(a,b) f(x) ≠ inf_x∈(a,b) f(x) = ∀x f(a)

∃ lim_x→b^- f(x) = sup_x∈[a,b) f(x) ≠ sup_x∈[a,b) f(x) = f(b)

1. Certo f continuo no intervallo chiuso se f(l) = f(h)

   • boo soluzioni
   • h(x) := f(x) - g(x) h(x) = 0

2. Tutte le ipotesi sono necessarie

   1. f non x > 0

   2. f x = 0 x < 0

1. f(x) (c, l) l != h(x) 0

2. • COROLLORIO DEL TH. DELL' ENESCI EARI
   • CONTI.:

   f: (a, b) → R, f C ( (ue l)) , a/b c R

   Se ∃ lim f(x) = l e ∃ lim f(x)

   a b R < 0

   TESI ∃ c (a, b) R f(a) = 0

   DEROSTRAZIONE

   INTUILE

   a f (a) = l

   f xe E I' ( tard )

   V x e V (a, b) ; f(x) ∃ V e I ( c)

   I ,e < 0 → ∃ v e varo: g e V e x X,x (a,b) px ; x) ; f(x) < 0

   Conc x X V (a,b) posso applicare le th

   X u Vb (a,b)

   dep miele ultter fa di X

   doova f (tux,) e C ( (xt,x )

   ∃ f (e f) < 0 → ∃ 0 X o e (v x, x) 50 f (a) =0

   (τ x Xb_{) C (a,b)}