Analisi 1 - Teoria, esempi

ESERCIZI LIMITI

• Sia f(x) definita in un intervallo I eccetto eventualmente x₀ e le cne in x₀ ∈ I, tale che f(x) → 0 per x → x₀. Allora:
  • a) ⌊f(x)⌋ → 0 per x → x₀, dove ⌊f(x)⌋ è la parte intera di f(x)
  • b) f(x) > 0 per ogni 0 < |x-x₀| < con x ∈ I
  • c) esiste > 0 tale che f(x) > 1 ∀ 0 < |x-x₀| < con x ∈ I
• a) è vera. In quanto f(x) < ⌊f(x)⌋ + 1, per definizione di parte intera, e quindi ⌊f(x)⌋ ≤ f(x) - 1.
• b) è falso. Considerata la funzione, f(x) = 1/x abbiamo che è definita in R \ {0} e che f(x) → ∞ per x → 0 ma per 1/x > 1, si ha x,1 da cui 1/x < 4, e pertanto f(x) = 1/x → 0. Dunque esistono degli x ∈ R con 0 < |x| < 1 per i quali 1/x > 0.
• a) è vera. Infatti dalla definizione di limite abbiamo che preso M ∈ I esiste > 0 tale che se x ∈ I e 0 < |x-x₀| < allora f(x) > M+4.

Definizione limite

Introduzione

lim_{x → x₀} f(x) = l → ∀ > 0 ∃ > 0 tale che 0 < |x-x₀| < l - < f(x) < l +

lim_{x → -1} (x + 1) = 2

perchè alcune funzioni hanno comportamenti anomali

la funzione non è definita in due, quindi non possiamo sostituire.

Oltre agli asintoti (il nostro caso) in altre situazioni non sarà possibile sostituire il valore a cui tende la x. Ovvero:

PUNTI ESCLUSI

SALTI

funzioni definite ovunque tranne che in un punto

I Limiti all'infinito

_limx→+∞ f(x) =dimmi cosa fa f(x), ovvero la y quando faccio diventare la x sempre più grande

_limx→+∞ f(x) = +∞ a x grandissime corrispondono y grandissime

Così che deve verificarsi, per far sì che _limx→+∞ f(x) = +∞, è che per ogni quota fissata sull'asse delle ordinate esiste un punto x₀ sull'asse delle x per cui, quando x è maggiore di quel punto (cioè quando siamo a destra di x₀), la funzione sta sempre sopra M.

CASO 4:

quando provo a sostituire x₀ e si annulla sia il numeratore che il denominatore

lim_x→1 (x³ - 3x + 2) / (x² - 1) = [0/0]

lim_x→1 (x-1)(x-2) / (x+1)(x-1) = 1/2

scomposizione e semplificazione

LIMITI FUNZ. RAZIONALI X→∞

Limiti di funzioni polinomiali per x→∞

lim_x→+∞ x³ - 5x² + 1 = [∞ - ∞] f.i

raccolgo il termine grande

x³ (1 - 5/x - 1/x³) = x³(1 - 5/x - 1/x³) = +∞

Limiti funzioni razionali per x→+∞

• lim_x→+∞ x³ - 4x - 3 / -2x² + 5 = [∞/-∞] = +∞ f.i

x²(x / x) (1 - 4/x - 3/x²)

= +∞

• lim_x→-∞ x³ - 4x / 5x⁶ - 1 = -∞ / +∞ = [∞/∞] = [8/8] f.i

x³(1 - 4/x³)

5x⁶(1 - 1/5x⁶)

-1/∞ = 0 => 0

RIASSUNTO LIMITI NOTEVO

_limx→0 sinx / x = 1

_limx→∞ (1 + 1/x)^x = e

_limx→0 tgx / x = 1

_limx→0 ln(1 + x) / x = 1

_limx→0 (1 - cosx) / x² = 1/2

_limx→0 e^x - 1 / x = 1

ESERCIZIO 1

_limx→0 tg(3x) / x = [0/0] = (_limx→0 tg(3x) / 3x) * 3 = 3_limy→0 tg(y) / y = 3 * 1 = 3

ESERCIZIO 2

_limx→0 ln(1 + √2x) / x = [0/0] = _limx→0 √2 (ln(1 + √2x) / √2x) = √2 * 1 = √2

ESERCIZIO 3

_limx→0 ln(1 + sinx) / sinx = [0/0] = 1

ESERCIZIO 4

_limx→0 ln(1 + sinx) / x = [0/0] = sinx / sinx * (ln(1 + sinx) / sinx) / x = _limx→0 sinx / x * (ln(1 + sinx) / sinx) = 1

Siano f(x) e g(x) 2 funzioni definite in un intorno di x₀. Allora

per x → x₀.

f(x) ∼ g(x) ↔ f(x) = g(x) + o(g(x))

PER X→0

1. sinx ∼ x → sinx = x + o(x)
2. 1−cosx ∼ ¹/₂x² → 1−cosx = ¹/₂x² + o(x²)
3. tgx ∼ x → tgx = x + o(x)
4. e^x−1 ∼ x → e^x−1 = x + o(x)
5. (1+x)^α−1 ∼ αx → (1+x)^α−1 = αx + o(x)
6. ln (1+x) ∼ x → ln (1+x) = x + o(x)

NB: o(kxⁿ) = o(xⁿ)

ESEMPIO

sinx³ + 3x⁴ + ln (1+2x⁵) = x³ + o(x³) + 3x⁴ + 2x⁵ + o(x⁵)

= x³ + o(x³)

Formula Taylor

con resto di Peano

La formula di Taylor consente di approssimare, almeno localmente, tutte le funzioni sufficientemente regolari con polinomi!

Sia f(x) una funzione definita in un certo intervallo (-δ, δ) per qualche δ>0 e supponiamo che:

• f(x) sia derivabile n-1 volte nell'intervallo
• esista il derivato n-esimo particolare in 0

In questo caso

f(x) = Tn (x) + o(xⁿ)

PER x→0

Uso gli sviluppi di Taylor

per x→0

√1+x = (1+x)^1/2 = 1+₁/₂x−₁/₈x²+₁/₁₆x³+o(x³)

√1-x = (1-x)^1/2 = 1-₁/₂x −₁/₈x²−₁/₁₆x³+o(x³)

√1+x−√1-x−x = _x³/₈+O(x³)

f(x) è infinitesimo di ordine 3 con p.p. _x³/₈

Osservazione 1

Il limite di un rapporto tra quantità infinitesime non cambia aggiungendo o togliendo agli infiniti

esimi dati degli infinitesimi di ordine superiore

• (lim_{x→0 sinx+x²+2x⁵}/_x+sin(x²) elimina le qt. trascurabile

lim_{x→0 sinx}/_x = 1

Si ha infatti che: 0 < a_n < 1 ∀n ∈ IN

La successione {n_n} i cui p.t. sono 1, 2, 3, ...

è inferiormente limitata {a_n ≤ 0 ∀n} ma non

limitata superiormente.

• Monotona crescente se a_n ≤ a_n+1 ∀n ∈ IN
• Monotona strett. crescente se a_n < a_n+1 ∀n ∈ IN

(stesso ma contrario con la decrescente)

Si dice che una successione {a_n} possiede (o acquista) una certa proprietà definitivamente se esiste

n∈IN tale che a_n soddisfa quella proprietà ∀n≥n̅

es. a_n = 2n - 3 → è definitivamente positiva

a_n = ¹/_n+1 → è definitivamente < ¹/₃

CRITERIO DEL RAPPORTO

Sia a_n > 0 definitivamente e supponiamo che

• \( \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{a_n+1}}{{a_n}} = \ell \)

• se \( \ell < 1 \) allora \( \Sigma a_n \) CONVERGE
• se \( \ell > 1 \) allora \( \Sigma a_n \) DIVERGE
• se \( \ell = 1 \) tutto è possibile (si cambia criterio)

ESEMPIO 1

Studio il carattere di:

\( \sum_{{n=0}}^{\infty} \frac{{n^{2016}}}{{3^n}} \)

Si tratta di una serie a termini non negativi, tutti i termini sono positivi, apparte qualcosa di trascurabile a n=0 che fa zero.

Quindi a_n > 0 definitivamente e continuo

Provo a calcolare allora il limite

\( \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{a_n+1}}{{a_n}} \)

• \( = \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{(n+1)^{2016}}}{{3^{n+1}}} \cdot \frac{{3^n}}{{n^{2016}}} \)
• \( = \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{(n+1)^{2016}}}{{3}} \cdot \frac{1}{{n^{2016}}} \)
• \( = \frac{1}{3} < 1 \)

Quindi la mia serie CONVERGE

ESEMPIO 2

\( \sum_{{n=0}}^{\infty} \frac{{n!}}{{n^n}} \) serie a termini positivi

\( \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{a_n+1}}{{a_n}} = \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{(n+1)!}}{{(n+1)^{(n+1)}}} \cdot \frac{{n^n}}{{n!}} \)

\( = \lim_{{n \to +\infty}} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \)

\( = \lim_{{n \to +\infty}} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \)