Analisi 1 - Teoria, esempi

Esercizi limiti

Sia f(x) definita in un intervallo I eccetto eventualmente c(che n) x0 ∈ I, tale che f(x) → ∞ per x → x0. Allora:

1. ⌊f(x)⌋ → ∞ per x → x0, dove ⌊f(x)⌋ è la parte intera di f(x)
2. f(x) > 0 per ogni 0 esiste S > 0 tale che f(x) > 1 ∨ 0

è vera, in quanto f(x) ≥ ⌊f(x)⌋ + 1 per definizione e da parte intera e dunque f(x) > ⌊f(x)⌋ - 1. Dato che f(x) → ∞ per x → x0, ne consegue che per ogni M > 0 esiste S > 0 tale che se x &in; I e 0 M. Essendo S > 0 tale che x < S, 0 M + 1.

è falsa. Considerata la funzione, f(x) = 1_–x² + 4 abbiamo che è definita in |R| ∖ {0} e che f(x) → 0 per x → 0, ma per |x| > 1 si ha x² > 1 da cui 1_–x² –4. Dunque esistono degli x &in; IR con 0

è vera. Infatti, dalla definizione di limite, abbiamo che preso M = 1 esiste S > 0 tale che se x &in; I e 0 1.

Definizione limiti introduzione

lim_{x → x0} f(x) = l → ∃ ε > 0 l - ε

lim_{x → 1} (x + 1) = 2

lim_{x → -1} x² = 1

Esercizi limiti

Sia f(x) definita in un intervallo I eccetto eventualmente che in x₀ &in; I, tale che f(x) → ∞ per x → x₀. Allora:

1. ⌊f(x)⌋ → ∞ per x → x₀, dove ⌊f(x)⌋ è la parte intera di f(x)
2. f(x) > 0 per ogni 0 < |x-x₀| < δ con x &in; I
3. esiste η > 0 tale che f(x) > 1 ∨ 0 < |x-x₀| < δ con x &in; I

a) è vera in quanto f(x) { ⌊f(x)⌋ } + 1 per definizione è di parte intera e dunque f(x) > ⌊f(x)⌋ - 1

basterà che f(x) ≥ M se per x > x₀ ve ne cadaf.mo x ≠ ₀con M > 0 esiste δ > 0 tale che se x &in; I e 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) > 1 &implies; M, essendo ∃ η > 0 tale che x &in; I < o; |x-x₀| < δ allora f(x) > M + 1

b) è falsa. Considerata la funzione f(x) = 1 - ¹/_x, abbiamoche è definita in |R|\{0} e che f(x) ≠ ∞ per x → 0 ma per |x| tik n* si ma x > 1, da cui 1 - ¹/_x ≠ 4 e pertantof(x) = ¹/_x → 4. Dunque esistono degli x &in; IR con 0 < |x| < 1per i quali f(x) 6≠ 0.

a) è vera. Infatti dalla definizione di limite abbiamo chepoiché M &equals; 1 esiste η > 0 tale che se x &in; I e 0 < |x-x₀| < 1 allora f(x) > 1.

Definizione limite introduzione

lim_{x → 0} f(x) = ♀R ⇒ |g(x) - ♀| < ε ⇔ - ε < f(x) < ♀ + ε

lim_{x → 1} (x + 1) = 2_{Estr. da a] quando C satelle 6 all'agutat. x +1 tra ≈ rapérsetto, l'ordinata dei aquando la x sa ouv,}

lim_{x → 1} x → 1 avrete la y

lim_{x → 1} = 1

quando ci m'avirinoad x=1perché non contribuì semplicemente iivalore a chi tende la x?

Dietro 7

perché alcune funzioni hanno comportamenti anomali

la funzione non è definita in due, quindi non possiamo sostituire.

Oltre agli asintoti (nostro caso) in altre situazioni non sarà possibile sostituire il valore a cui tende la x. Ovvero:

Punti esclusi

funzioni definite ovunque tranne che in un punto

Salti

I limiti all’infinito

dirmmi cosa fa f(x) ovvero la y quando faccio diventare la x sempre più grande

più piccola

Ciò che deve verificarsi, per far sì che lim_x→+∞ f(x) = +∞, è che per ogni quota fissata sull’asse delle "orde esiste un punto x₀ sull'asse delle x per cui quando x è maggiore di quel punto (cioè quando siamo a destra di x₀), la funzione stia sempre sopra M

lim_x→+∞ f(x) = +∞

lim_x→+∞ f(x) = -∞

al crescere della x la y diminuisce. Vale lo stesso discorso di prima

Non devono necessariamente decrecere.

lim_x→+∞ f(x) = l (valore qualsiasi (finito))

per x molto grandi le y si avvicinano a un valore l

lim_x→+∞ f(x): non esiste (se non nei casi sopra citati)

è il caso delle funzioni oscillatori e seno e coseno che non diminuiscono ma rimangono costanti

Seno

Coseno

Funzioni continue

Una funzione f(x) si dice continua in un punto x_o ∈ IR se lim_x→xo f(x) = f(x_o). Che cosa significa?

graficamente una funzione è continua se non stacco