Analisi Matematica 1 - Teoria

Analisi di Matematica I

Teoria degli Insiemi:

a ∈ A

a ∉ A

elemento             insieme

appartiene             non appartiene

Per indicare un insieme si usano le parentesi graffe: A = {a, b, c}

• A ∩ B indica l'insieme di elementi che sta sia in A che in B (intersezione)
• A ∪ B indica l'insieme di elementi che sta in almeno uno dei due insiemi (unione)

È possibile che l'intersezione generi un insieme vuoto A ∩ B = Ø e che quindi non vi siano elementi comuni ad A e B. Si parla quindi di insiemi disgiunti se la loro intersezione genera un insieme vuoto.

Abbiamo un sottoinsieme quando x ∈ A ⇒ x ∈ B     (A sottoinsieme di B)

                                        implica

Abbiamo un sottoinsieme proprio quando A è sottoinsieme di B, ma A ≠ B.

Il complementare di A rispetto ad un insieme X assegnato è l'insieme degli x ∈ X | x ∉ A e si indica come A^c

Formule di De Morgan:

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Condizioni necessarie e sufficienti

Poniamo che se a > 10 allora a > x quindi:

a > x è condizione sufficiente affinché a sia maggiore di x a > x è invece condizione necessaria affinché a sia maggiore di 10

In generale, il membro che sta a sinistra della freccia è sempre la condizione sufficiente.

a > x a > 10

• a > x non implica a > 10

a > x non è condizione sufficiente poiché a può essere anche 8 o 9, che sono minori di 10.

Negazioni:

Il simbolo ∀ si nega con ∃ esiste almeno un... ad esempio:

∀ x > 0 ∃ n ∈ N n > x

• Per ogni x maggiore di ∅, esiste un numero n appartenente ai numeri naturali, tale che n sia maggiore di x.

∃ x > 0 ∀ n ∈ N n < x

• Esiste almeno un x maggiore di ∅ per ogni n appartenente ai numeri naturali tale che n sia minore o uguale ad x.

Tipi di numeri:

N: numeri naturali, interi, positivi

Z: numeri relativi, interi, positivi e negativi {0, ±1, ±2}

Q: numeri razionali p/q p, q ∈ Z q ≠ 0

• Numeri periodici o numeri decimali con un numero limitato di cifre.

In Q sono definite le 2 operazioni binarie

• somma
• prodotto

L'ampiezza di un intervallo limitato è la distanza tra i suoi estremi, che è uguale sia per intervalli chiusi che aperti.

Preso un x₀ ∈ ℝ e un r>0, si definisce intorno di centro x₀ e raggio r l'insieme B(x₀, r) = {x ∈ ℝ | |x-x₀| < r}

Il complementare di un intorno non è un intervallo ed è B_c(x₀) = {x | |x-x₀| ≥ r} = (-∞, x₀ - r] ∪ [x₀ + r, +∞)

Risolvi le seguenti disequazioni:

1. |x+3| < |x-1|

   |x+3|² < |x-1|²

   x² + 6x + 9 < x² - 2x + 1

   8x < -8

   x < -1

Def

Si dice grafico di una funzione f: X → Y e si denota con graf(f) il sottoinsieme del prodotto cartesiano X × Y costituito dalle coppie (x, y) che verificano la condizione y = f(x).

graf(f) = {(x, y) ∈ X × Y | y = f(x)}

Non sempre i sottoinsiemi R² sono grafici di funzioni (x² + y² = 1)

Def

È possibile definire una funzione detta funzione inversa di g se e solo se

β(y) = x   dove x è tale che β(x) = y

Se β è anche suriettiva allora β⁻¹ Y → X

y = 3x + 2    x = x - 2/3   β⁻¹

Funzioni reali di variabile reale

• Vengono considerate β: R → R
• Viene detta β (strettamente) crescente se x₁, x₂ ∈ R con x₁ < x₂ ⇒ β(x₁) ≤ β(x₂)
• Vengono dette monotone nel caso siano decrescente o crescente
• Inoltre se β è strettamente crescente o decrescente allora è iniettiva ma non vale il viceversa

iniettive ma non monotone iniettive e monotone

In maniera analoga posso definire le funzioni decrescenti.

lim (x₂ → x₁) _{f(x₂) - f(x₁)}/_{x₂ - x₁} e il rapporto incrementale che se > 0 (< 0) è crescente (decrescente)

Limite finito finito

Prendendo x₀ ∈ ℝ come punto di accumulazione per l'insieme X diremo che f(x) tende a L ∈ ℝ per x che tende a x₀ se:

∀ε > 0 ∃δ_ε > 0: x ∈ X e 0 < |x-x₀| < δ_ε ⇒ |f(x)-L| < ε

Es.

lim (x²+x) = 2 x→1

Si dimostra il risultato.

∀ε > 0 ∃δ_ε > 0: x ∈ X, 0 < |x-1| < δ_ε ⇒ |x²+x-2| < ε

• -ε < x²+x-2 < ε
• {x²+x-2} < ε
• {x²+x-2-ε < 0
• x²+x-2-ε > 0

risolvendo trovo δ_ε che definisce l'intervallo di x: 1 cercato.

Limite finito infinito

Prendo x₀ ∈ ℝ come punto di accumulazione per X e diremo che f(x) tende a ±∞ per x che tende a x₀ se:

∀M ∈ ℝ ∃δ_M > 0: x ∈ X 0 < |x-x₀| < δ_M ⇒ f(x) ⩾ H

lim f(x) = ±∞ x→x₀

Teorema dei carabinieri

Siano f, g, h : X → ℝ e supponiamo

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) in un intorno bucato di x_o e che

lim_x→xo f(x) = lim_x→xo h(x) = l ∈ ℝ

allora lim_x→xo g(x) = l

Dim. Se ε > 0 esiste δ₁ > 0 tale che 0 < |x - x_o| < δ₁

⇒ f(x) ≥ l - ε

esiste δ₂ > 0 tale che 0 < |x - x_o| < δ₂ ⇒ h(x) ≤ l + ε

Sia δ = min{δ₁, δ₂}, allora se 0 < |x - x_o| < δ ⇒ l - ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < l + ε

ne segue g(x) - l < ε

Osservazione

Proviamo che |sen x| ≤ |x| ∀x ∈ ℝ

£ prendendo x ∈ (

è noto che 0 ≤ sen x < x

0 < x < π/2

essendo |sen x| = |x| funzioni pari, si ha |sen x| ≤ |x| se |x| ≤ π/2. Infine

se |x| > π si ha |sen x| ≤ 1 <

0 < |sen x| ≤ |x| applicando il teorema dei carabinieri:

lim_x→0 |x| = 0 lim_x→0 |sen x| = 0

Provare che lim_x→0 cos x = 1

si ha infatti: cos x = 1 - 2 sen²

, e se il sen o tend a 0 allora

cos x = 1

Esempi:

1. f(x) = c → f'(x) = lim (c-c)/h = 0
2. f(x) = x → f'(x) = lim (x+h-x)/h = 1
3. f(x) = x² → f'(x) = lim (x²+hx-x²)/h = 2x
4. f(x) = senx → f'(x) = lim (sen(x) - sen(x₀))/(x - x₀) = lim [sen(x - x₀)/2] [cos(x+x₀)/2] = cosx
5. f(x) = cosx → f'(x) = -senx
6. f(x) = ln x → f'(x) = 1/x

Teorema

Siano f e g funzioni I → R derivabili in x₀ ∈ I allora f+g f∙g sono derivabili in x₀ e si ha che:

• (f+g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀)
• (f∙g)'(x₀) = f'g + fg'
• (f/g)'(x₀) = (g'f-f'g)/g²
• (1/g)' = -g'/g²

Teorema

(regola di derivazione della funzione composta) Sia f derivabile in x₀ ∈ I e sia g derivabile in y₀ = f(x₀), allora g₀f è derivabile in x₀ e si ha:

• (g₀f)'(x₀) = g'(f(x₀))∙f'(x₀)

Ad esempio f = sen(x²) → f' = cos(x²)∙2x