Analisi 1 teoria

Teoria di Analisi 1: 1^a Prova

1. Non esiste alcun razionale il cui quadrato sia 2. Dim: Per assurdo, supponiamo di prendere due numeri, m e n, e fra i loro quozienti formanti pari, essendo che esiste un numero razionale il cui quadrato è 2, (m/n)² = 2, m² = 2n², quindi m² è pari. Moltiplichiamo per m₀ che è pari, anche m² e n pari [...] assurdo per ipotesi.

2. Assioma di Comunità/Completezza [...figura...] Siano A, B due sottoinsiemi non vuoti di R, x € A, y € B, risulta a € A, b € B. Proprietà: stabilisce che esiste almeno un elemento separatore fra a e b: a ≤ b, perché b € B [...] maggiormente, b ≥ a, allora b è il più piccolo dei maggiori, z = sup a.

3. d'enso in R. Per ogni coppia di numeri reali, x y, con x < y esiste almeno un numero razionale a tale che x < a < y. Dim: Consideriamo il caso o < x < y, per la proprietà archimedea di R, presi x y estere almeno un numero naturale n, nel cui n(x-y) ≥ 1, nx-ny+1; ho cioè nx e ny distano tra loro più di 1, ed esiste quindi un numero naturale m compreso tra loro: m < m < y x < m/n, y con m/n numero razionale.

4. Cardinalità di Q Presi x y € Q, con x < y, esiste un numero razionale z € Q tale che x < z < y. Dim: Consideriamo la media z = (x+y)/2 essistono infiniti numeri razionali tra x e y.

5. Teorema di permanenza del segno se an → a e an ≠ 0 allora an ≠ 0 Dim: Fissato un ε, per definizione di limite si ha an ε ! a + ε, perchè an o scrivo un ε>0 tale che n < ε > 0, da ciò an ≠ 0 definivamente

6. Teorema del confronto o dei due carabinieri: se a_n ≤ b_n ≤ c_n e a_n → l e c_n → l allora b_n → l

Dim: Siano a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀ n ≥ N L + ε a_n ≤ L + ε c_n ≤ L + ε bio con L – ε ≤ a_n e b_n ≤ c_n ≤ L + ε e quindi L – ε ≤ b_n e b_n ≤ L + ε dunque b_n → l

7. Teorema degli zeri: sia f: [a, b] → ℝ continua se f(a) f(b) < 0 ↦ esiste almeno un punto c ∈ [a, b] con f(c) = 0

Dim: Consideriamo il punto c = a+b / 2 (punto medio di [a, b]) se f(a) f(c) < 0 considero l'intervallo [a, b₁] con a₁ = a b₁ = b_o = c;

se f(c) f(b) < 0 " con a₁ = o c b₁ = b

poniamo ora o₁ come nuovo punto medio nel nuovo intervallo [a_o;, b_o]; proseguiamo cosi finché non troviamo f(c_n) = 0

8. Teorema di Weierstrass: sia f: [a, b] ⟶ ℝ continua sull'intervallo chiuso e limitato [a, b] ; esiste x_m (punto di minimo) e x_M (punto di massimo) tali f(x_m) ≤ f(x) ≤ f(x_M)

Dim: Sia l = sup {f(x)} ^{(x ∈ [a, b])} con il metodo di bisezione costruiamo una catena di intervalli [a_n, b_n] con le proprietà:

• l = sup {f(x)} ^{x ∈ [a₂, b₃]}

b_n, a_n sono successioni monotone limitate con b_n – a_n ↦ 0

Per argomento #xo esiste x₀ = [a₂, b₂] tale che l = f(x₂) ( x₃) ↦ ...

l = x_M = 1 / 2 x [...f(x₂)] { } ... possono al limiti lim (...-1/2) {...} lim f(x_n) = l_m i poiché a_n < x_n b_n non ...lim x_n = ; e lim x_n < lim x_n: e lim f(x_n)

Teorema del confronto: lim x_n ↦ −a_n e lim x_n ↦ ... e lim a_n lim f(x_a); x del punto di massimo

9. Teorema dei valori intermedi: sia f: [a, b] → ℝ

una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato [a, b] ; siano H, m il massimo e il minimo di f su [a, b]; ∀ y₀ ∈ (m, H) esiste x₀ ∈ [a, b] tale chef(x₀) = y₀.

o-piccolo: dire che f(x) è o-piccolo di g(x) per x → x₀ se

lim f(x) / g(x) = 0 si scrive f(x) = o(g(x))

x → x₀

In questa definizione f può anche essere ±∞

20. Definizione di limite: lim a_n = l è definito come

n → +∞

∀ε > 0 ∃n_ε ∊ ℕ : |a_n - l| < ε ∀n > n_ε

21. Funzione derivabile in un punto. Diciamo che f_t(x) è y₀ f_{i :} R → R è

una funzione derivabile in un punto x = c banino b di f se

lim f(x_o+h) - f(x_o