Teoria analisi 1

IRRAZIONALITÁ DI √2

Supponiamo che esista per assurdo che esiste un numero razionale

r = √2

Scriviamo r = p/q con p, q ∈ ℕ, q ≠ 0 e

p e q primi tra loro (cioè senza divisori comuni, a parte 1)

• (p/q)² = 2 → p² = 2q²
• e quindi p può essere scritto come 2z → p² = 4z²
• perciò 4z² = p² = 2q² ma quindi ho
• perché abbiamo 2 come fattore comune.

Teorema: Densitá di ℚ in ℝ

Siano a, b ∈ ℝ, con a < b

Allora esiste q ∈ ℚ t.c. a < q < b, cioè "non ci

sono intervalli nella retta reale senza numeri razionali".

Dim: per ipotesi b - a > 0, a ciò applichiamo la

propr. di Archimede considerando b - a = a e 1 al

posto di b. Proprietà Archimede: na > b

Esiste n ∈ ℕ t.c. n(b - a) > 1 → quindi nh - na > 1

perciò l'intervallo (na, nb) ha lunghezza > 1

_na|—|_nb > 1 esiste un numero intero

che sta in mezzo

Allora esiste p ∈ ℤ tale che na < p < nb

Quindi a < p/n < b

Disuguaglianza Triangolare

1. |x + y| ≤ |x| + |y|

Dim per ogni x ∈ ℝ si ha

|x| = x se x ≥ 0 -x se x < 0

perciò si ha che

-|x| ≤ x ≤ |x| e -|y| ≤ y ≤ |y|

quindi avendo dimostrato

-(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|)

perciò si ha:

• Se x + y ≥ 0 ⇒ |x + y| = x + y non ci sono problemi
• Se x + y < 0 ⇒ |x + y| = -x - y e quindi si ha che

|x| + |y| ≥ -x - y = |x + y| perciò si dimostra che |x + y| ≤ (|x| + |y|)

2. | |x| - |y| | ≤ |x - y|

Dim

Tesi | |x| - |y| | ≤ |x - y|

aggiungo e tolgo y per le disuguaglianze triangolari

per |x| = |(x - y) + y| ≤ |x - y| + |y|

⇒ |x| - |y| ≤ |x - y|

per |y| = |(y - x) + x| ≤ |y - x| + |x| = |x - y| + |x|

⇒ |x| - |y| ≥ -|x - y|

perciò si ha |-x - y| ≤ |x| - |y| ≤ |x - y|

perciò si ha | |x| - |y| | ≤ |x - y|

Per la proprietà di separazione degli intorni, esistono

U di ℓ e U' di ℓ' t.c. U' ∩ U = ∅

Siccome _limx→x₀ f(x) = ℓ esiste un intorno V di x₀ t.c.

x ∈ A∩V , x≠x₀ => f(x) ∈ U

Siccome _limx→x₀ f(x) = ℓ' esiste un intorno V' di x₀ t.c.

x ∈ A∩V' , x≠x₀ => f(x) ∈ U'

Ponendo W = V∩V' . Se x ∈ W , x≠x₀, allora si ha che

x ∈ A∩ V → f(x) ∈ U

x ∈ A∩V' → f(x) ∈ U' ma è assurdo perchè

U ∩ U' = ∅

Teorema dei Carabinieri

Sia A ⊂ ℝ , sia x₀ ∈ ℚ di accumulazione per A .

Siano f, g, h : A→ℚ t.c. f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

definitivamente per x→x₀ .

Supponiamo che _limx→x₀ f(x) = _limx→x₀ h(x) = ℓ ∈ ℚ

Allora _limx→x₀ g(x) = ℓ .

Dim Vogliamo dimostrare che per ogni ε>0 esiste un intorno U di x₀

tale che x ∈ A∩U , x≠x₀ => |g(x) - ℓ| < ε

cioé -ε + ℓ < g(x) < ε + ℓ True

Per ipotesi, esiste un intorno U_ℓ di x₀ tale che

x ∈ A∩U_ℓ , x≠x₀ => |f(x) - ℓ| < ε

cioé -ε + ℓ < f(x) < ε + ℓ

Addendo II: per il teorema sulla base limitatezza delle fun. convergenti esistono M>0 e un intorno M₀ di x₀ tali che

x ∈ A ∖ M₀ , x ≠ x₀ , ⟹ |g(x)| < H   dato che g(x) è convergente

Quindi, se x ∈ A ∖ M₀ , x ≠ x₀ allora

|g(x)| ∣f(x) - l₁∣ ≤ H ∣f(x) - l₁∣

Applico la def. di limite per f con ϵ = e / 2H : esiste un intorno M₁ di x₀ tale che

x ∈ A ∧ M₁, x ≠ x₀ ⟹ ∣f(x) - l₁∣ < e / 2H

quindi H ∣f(x) - l₁∣ < H ⋅ e / 2H = e / 2

Ponendo M = M₂ ∧ M₁ ∧ M₀. Se x ∈ A ∧ M , x ≠ x₀, allora

I < e / 2   e   II < e / 2

quindi ∣f(x) - g(x) - l₂ + l₂∣ < e / 2 - e / 2 = e .   #

Il limite fondamentale sinx_x per x → 0.

lim_x→0 sin x / x = 1   (è una forma indeterminata 0 / 0)

Usando una disuguaglianza geometrica

Risulta che 0 < x < π/2 , allora

sin x < x < tan x , cioè sin x < x < sin x / cos x

2) Mostriamo che \( \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \ge 3 \) per \( n \in \mathbb{N} \), \( n > 0 \).

Infatti \( \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \left( 1 + 1 \right) + \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \)

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \, \frac{1}{k!} = \frac{n!}{n!}, \, -1< t \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^k} \approx \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^1 = 2.\)

4) \( e \approx a \) e quindi \( e < 3 \)

iii) a₂. Panico... K : [ ... q ] + 1 (a)

Si ha

^n!/_aⁿ ≫ ^n!/_Kⁿ = n(n+1)...(n-(n-k))...(K-1)!/(K-n+k+1)...(K-k)! = (n+n+k)...(n-k)...(K-1)!

quindi per ... lim ^n!/_aⁿ = +∞

n! = σ(nⁿ) per n -> ∞

Infatti

ⁿⁿ/_n! ......... n!

quindi per ......... lim ⁿⁿ/_n! = +∞

Def di somma parziale

Data la serie Σ a_n, ... somma parziale .... n-esima sec il numero

S_n = Σ a_k = a₀ + a₁ + ... + a_n

Def di serie convergente, divergente e indeterminata

Data la serie Σ a_n, ... se è

• convergente se lim S_n = ...) esiste finito
• divergente se lim S_n = +∞ ...
• indeterminata se lim S_n non esiste