Analisi 1 - teoremi sui limiti

Analisi 1 - Lezione 5

Limiti e definizioni

y = f(x) z₀ è un punto nel dominio di f(x). Il punto z₀ è un punto di V(z₀). Esiste x ∈ un intorno di un punto U in &Ropf;. Un intorno di z₀ è: tutti gli x tali che |x - z₀| < a in &Ropf;², intorno circolare.

lim f(x) = L _{x → z0}, con z₀ finito o infinito e L finito o infinito.

Definizione topologica

∀ U(L), ∀ V(z₀). ∀ x ∈ V(z₀) (x ≠ z₀) f(x) ∈ int(L).

Per z₀ finito: U(z₀) = {x ∈ &Ropf; : |x - z₀| < a}

0---------------------0----------------z₀ - a z₀ z₀ + a (intorno interno)

Per z₀ infinito: U(z₀) = {x ∈ &Ropf; : |x > M, M > 0} (intorno destro di z₀)

0------------------------0----------------------z₀ z₀ + b (intorno sinistro di z₀)

z₀ infinito positivo = +∞

U(+∞) = {x ∈ &Ropf; : x > M, M > 0}

Analisi dettagliata

Limiti: y = f(x) z₀ ∈ dominio di f(x). z₀ è punto di V(z₀). Non ∈ x ∈ intorno di un punto U in R. Intorno di z₀: tutti gli x tali che |x - z₀| < a in R², intorno circolare.

lim f(x) = L; z₀ finito o infinito, x → z₀. L finito o infinito.

∀ U(L) ∀ V(z₀) ∀ x ∈ V(z₀) (x ≠ z₀) x ∈ U-L ⇒ f(x) ∈ int(L).

z₀ finito: U(z₀) = {x ∈ R : |x - z₀| < a} (intorno intorno)

Per z₀ infinito: U(z₀) = {x ∈ R : |x > M, M > 0}

Intorno destro di z₀, con z₀ finito.

Intorno sinistro di z₀, con z₀ finito.

z₀ = infinito positivo = +∞

U(+∞) = {x ∈ R : x > M, M > 0}

 (-∞): {∈ℝ: